Làm thử Đề cương ôn tập Giữa kì 1 · Toán 9 · THCS Nguyễn Văn Linh · 2025–2026

Bài 1. Giải các phương trình a) $(x-3)(3x+2)=0$ b) $(x^2+2024)(x-3)=0$ c) $\left(\dfrac{3}{4}x-2\right)\left(\dfrac{5}{3}x+1\right)=0$ d) $(x+4)(2x-0{,}5)=0$

Bài 2. Giải các phương trình a) $2x(3x-1)=(3x-1)$ b) $3(x-5)(x+2)=x^2-5x$ c) $(x-3)^2=(2x+7)^2$ d) $(x+2)(3-4x)=x^2+4x+4$ e) $x^2+7x+12=0$ f) $3x^2-5x+2=0$

Bài 3. Giải các phương trình sau: a) $\dfrac{11}{x}=\dfrac{9}{x+1}+\dfrac{2}{x-4}$ b) $\dfrac{14}{3x-12}-\dfrac{2+x}{x-4}=\dfrac{3}{8-2x}-\dfrac{5}{6}$ c) $\dfrac{x+1}{x-1}-\dfrac{x-1}{x+1}=\dfrac{16}{x^2-1}$ d) $1+\dfrac{1}{2+x}=\dfrac{12}{x^3+8}$ e) $3x-\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{x-1}{2-x}$ f) $\dfrac{6-5x}{9-x^2}=\dfrac{4}{x-3}-\dfrac{2}{x+3}$

Bài 4. Giải các hệ phương trình sau a) $\begin{cases}x+y=5\\4x-3y=-1\end{cases}$ b) $\begin{cases}x-2y=2\\2x-4y=4\end{cases}$ c) $\begin{cases}8x-2y=10\\-4x+3y=3\end{cases}$

Bài 5. Giải hệ các phương trình sau a) $\begin{cases}2(x+y)+3(x-y)=4\\(x+y)+2(x-y)=5\end{cases}$ b) $\begin{cases}(x+y)(x-1)=(x-y)(x+1)+2(xy+1)\\(y-x)(y+1)=(y+x)(y-2)-2xy\end{cases}$ c) $\begin{cases}(x-1)(y+3)=xy+27\\(x-2)(y+1)=xy+8\end{cases}$ d) $\begin{cases}\dfrac{2x-3y}{4}-\dfrac{x+y-1}{5}=2x-y-1\\\dfrac{4x+y-2}{4}=\dfrac{2x-y-3}{6}-\dfrac{x-y-1}{3}\end{cases}$

Bài 7. Một khu đất hình chữ nhật có chu vi là 280 người ta làm đường đi xung quanh rộng 2m nên diện tích phần còn lại để trồng vườn là $4256m^2$. Tính kích thước ban đầu của khu vườn.

Bài 8. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là $168m^2$. Nếu giảm chiều dài đi 1m và tăng chiều rộng thêm 1m thì mảnh vườn đó trở thành hình vuông. Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn.

Bài 14. Ban đầu, khán đài của nhà thi đấu các nội dung thuộc môn Bơi tại SEA Games chứa 1188 ghế được xếp thành các dãy, số lượng ghế ở các dãy bằng nhau. Để phục vụ đông đảo khán giả hơn, khán đài sau đó đã được lắp thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy được lắp thêm 4 ghế. Vì thế, khán đài được tăng thêm 254 ghế. Tìm số dãy ghế ban đầu của khán đài.

Bài 15. Tìm các hệ số $x,y$ để cân bằng mỗi phương trình phản ứng hoashocj sau a) $2Fe+yCl_2\to xFeCl_3$ b) $xFeCl_3+Fe\to yFeCl_2$

Bài 16. Cho $a<b$. Chứng minh a) $3a+19>-3b+19$ b) $-2a-8>-2b-8$ c) $2a+1<2b+1$

Bài 17. Cho $a<b$. Chứng minh rằng a) $2a+1<2b+2$ b) $-2a-5>-2b-7$ c) $4a+2<4b+3$

Bài 18. Giải các bất phương trình sau:

1. $2x+3>5$
2. $(x+1)(2x-1)<2x^2-4x+1$
3. $x^2-3x+1>2(x-1)-x(3-x)$
4. $(x-1)^2+x^2\leq(x+1)^2+(x+2)^2$

Bài 19. Giải các bất phương trình sau: a) $\dfrac{x-6}{3}\leq\dfrac{2x+1}{4}$ b) $\dfrac{4x-5}{3}>\dfrac{7-x}{5}$ c) $\dfrac{2x-3}{2}<\dfrac{1-3x}{-5}$ d) $\dfrac{2x-3}{2}>\dfrac{8x-11}{6}$ e) $\dfrac{3x-1}{3}\geq\dfrac{4-2x}{2}$ f) $\dfrac{5-2x}{6}>\dfrac{5x-2}{3}$

Bài 20. Một chiếc máy bay từ mặt đất bay lên với vận tốc trung bình là $500$ km/h. Đường bay lên tạo với phương nằm ngang một góc $20^\circ$. a) Viết biểu thức biểu thị độ cao của máy bay so với mặt đất sau $x$ phút bay. b) Hỏi sau khi bay $12$ phút thì máy bay ở độ cao bao nhiêu so với mặt đất? (Vận tốc trung bình là $500$ km/h. Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.) Hình kèm theo thể hiện đầy đủ các điểm, đoạn thẳng, góc và số liệu được nhắc trong đề.

Bài 21. Một học sinh có tầm mắt cao $1{,}6$ m đứng trên sân thượng của một căn nhà cao $h$ m nhìn thấy một chiếc xe đang đứng yên với góc nghiêng xuống $38^\circ$. a) Hãy viết biểu thức biểu thị khoảng cách của chiếc xe và căn nhà? b) Giả sử nếu khoảng cách của chiếc xe và toà nhà khoảng $34$ m. Hỏi chiều cao toà nhà mà học sinh đứng cao bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng đơn vị)? Hình kèm theo thể hiện đầy đủ các điểm, đoạn thẳng, góc và số liệu được nhắc trong đề.

Bài 22. Hai con thuyền $P$ và $Q$ cách nhau $300$ m và thẳng hàng với chân $B$ của tháp hải đăng ở trên bờ biển. Từ $P$ và $Q$ người ta nhìn thấy tháp hải đăng dưới góc $\angle BPQ=14^\circ$ và $\angle BQA=42^\circ$. Đặt $h=AB$ là chiều cao của tháp hải đăng. a) Tính $BQ$ và $BP$ theo $h$. b) Tính chiều cao của tháp hải đăng (kết quả làm tròn đến hàng phần mười). Hình kèm theo thể hiện đầy đủ các điểm, đoạn thẳng, góc và số liệu được nhắc trong đề.

Bài 23. Lúc 6 giờ sáng, bạn An đi xe đạp từ nhà (điểm $A$) đến trường (điểm $B$) phải leo lên và xuống một con dốc (như hình 1). Biết đoạn thẳng $AB$ dài $762$ m, $\widehat{A}=6^\circ$, $\widehat{B}=4^\circ$. Hình kèm theo thể hiện đầy đủ các điểm, đoạn thẳng, góc và số liệu được nhắc trong đề.

Bài 24. Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao. a) Giả sử $AB=9$ cm; $AC=12$ cm. Tính $BC$ và các tỉ số lượng giác của góc nhọn $B$. b) Chứng minh rằng $AH^2=AB\cdot AC\cdot\cos B\cdot\cos C$.

Bài 25. Cho $\triangle ABC$ vuông tại $B$. a) Giả sử $AB=8$ cm; $BC=6$ cm. Tính $AC$ và các tỉ số lượng giác của góc nhọn $C$. b) Lấy điểm $M$ trên cạnh $AC$. Kẻ $AH\perp BM$ tại $H$ và $CK\perp BM$ tại $K$. Chứng minh rằng $CK=BH\cdot\tan\widehat{BAC}$.

Bài 26. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Biết $BC=8$ cm, $AB=4$ cm. a) Giải tam giác $ABC$. b) Trên cạnh $AC$ lấy điểm $K$, kẻ $AD$ vuông góc với $BK$ tại $D$. Chứng minh $BD\cdot BK=BH\cdot BC$. c) Chứng minh $S_{\triangle BHD}=\dfrac{1}{4}S_{\triangle BKC}\cos^2\widehat{ABD}$.

Bài 27. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$, đường cao $BH$. Gọi $E$, $F$ lần lượt là hình chiếu của $H$ lên $AB$ và $BC$. a) Giải tam giác $ABC$ biết $AB=6$ cm, $AC=10$ cm. b) $BE\cdot BA=BC^2-HC^2$ c) Chứng minh $BF=BE\cdot\tan C$.

Bài 28. Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A$, đường cao $AH$ ($H\in BC$). a) Nếu $\sin\widehat{ACB}=\dfrac{3}{5}$ và $BC=20$ cm. Tính các cạnh $AB$, $AC$. b) Đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $B$ cắt đường thẳng $AC$ tại $D$. Chứng minh rằng: $AD\cdot AC=BH\cdot BC$. c) Kẻ phân giác $BE$ của $\widehat{DBA}$ ($E\in DA$). Chứng minh: $\tan\widehat{EBA}=\dfrac{AD}{AB+BD}$. d) Lấy điểm $K$ thuộc đoạn $AC$. Kẻ $KM$ vuông góc với $HC$ tại $M$, $KN$ vuông góc với $AH$ tại $N$. Chứng minh: $NH\cdot NA+MH\cdot MC=KA\cdot KC$.

Bài 29. Cho hình chữ nhật $ABCD$. Kẻ $BH\perp AC$ ($H\in AC$). a) Tính số đo $AC$, $BH$ và số đo góc $HBC$ biết $AB=8$ cm, $AD=6$ cm. (Kết quả độ dài làm tròn đến chũ số thập phân thứ nhất, góc làm tròn đến độ). b) Đường thẳng $BH$ cắt đường thẳng $AD$ và $DC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh $BH^2=HE\cdot HF$. c) Chứng minh $S_{\triangle AHB}=S_{\triangle EAB}\cdot\sin^2\widehat{ACD}$.

Bài 30. Với mọi $a,b$, chứng minh: a) $\dfrac{a^2+b^2}{2}\geq\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$ b) $a^2+b^2\geq\dfrac{(a+b)^2}{2}$ c) $\dfrac{(a+b)^2}{2}\geq2ab$ d) $a^2+\dfrac{b^2}{4}\geq ab$ e) $a^2+b^2+1\geq ab+a+b$

Bài 31. Với mọi $a,b,c$, chứng minh: a) $\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\geq\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2$ b) $a^2+b^2+c^2\geq\dfrac{(a+b+c)^2}{3}$ c) $\dfrac{a^2}{4}+b^2+c^2\geq ab-ac+2bc$

Bài 32. Với mọi $a,b,c$, chứng minh: a) $a^2+b^2\geq ab$ b) $2a^2+b^2+c^2\geq2a(b+c)$ c) $a^4-2a^3b+2a^2b^2-2ab^3+b^4\geq0$ d) $a^4+b^4+c^2+1\geq2a(ab^2-a+c+1)$ e) $a^2+b^2+c^2+\dfrac{3}{4}\geq(a+b+c)$ f) $a^2+b^2+c^2\geq a(b+c)$

Bài 33. Với mọi $a,b,c$, chứng minh: a) $a^4+a^3b+ab^3+b^4\geq0$ b) $(a^2+b^2)^2\geq ab(a+b)^2$ c) $a^3+b^3+abc\geq ab(a+b+c)$ d) $4(a^3+b^3)\geq(a+b)^3$ e) $2(a^3+b^3)\geq(a+b)(a^2+b^2)$ f) $(a+b)(a^3+b^3)\leq2(a^4+b^4)$