Làm thử Đề cương ôn tập Giữa kì 2 · Toán 8 · THCS Thành Công (Hà Nội) · 2025-2026

Điều kiện xác định của phân thức $\dfrac{x-5}{x^2-4}$ là

Giá trị của phân thức $\dfrac{x^2-1}{x-2}$ tại $x=-1$ bằng

Để phân thức $\dfrac{x+1}{x-2}$ có giá trị bằng $0$, giá trị của $x$ là

Mẫu thức chung của $\dfrac1{2x^2y}$ và $\dfrac1{3xy^2}$ là

Đổi dấu phân thức $\dfrac{x-5}{-3}$ để có mẫu dương, ta được

Rút gọn $\dfrac{(x+y)^2-z^2}{x+y+z}$, với mẫu khác $0$, ta được

Kết quả của $\dfrac{x-2}{x+3}\cdot\dfrac{x+3}{x^2-4}$ là

Kết quả của $\dfrac1{x-1}:\dfrac1{x^2-1}$ là

Với các số nguyên $A,B$ và $A\ne0$, phép chia $1:\dfrac AB$ có giá trị nguyên khi

Hai tam giác $ABC$ và $PMN$ đồng dạng khi nào?

Nếu $\triangle ABC\sim\triangle DEF$ theo tỉ số đồng dạng $k$, thì $k$ bằng

Nếu $\triangle ABC=\triangle MNP$ thì

$\triangle ABC\sim\triangle DEF$ theo tỉ số $1/2$, còn $\triangle DEF\sim\triangle MNP$ theo tỉ số $2$. Tỉ số đồng dạng từ $ABC$ đến $MNP$ là

Trong hình, $DE\parallel BC$, $AD=3$, $DC=4$, $EB=3$. Độ dài $AE$ bằng

Trong hình, $MN\parallel AB$. Chọn khẳng định sai.

Cho $HK$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, với $H$ trên $AC$, $K$ trên $BC$. Tỉ số đồng dạng từ $\triangle ABC$ đến $\triangle HKC$ bằng

Trong hình, $AB\perp AC$, $MH\perp AC$, $BM=MC=2$ và $HC=1{,}7$. Độ dài $AC$ bằng

$\triangle ABC\sim\triangle DEF$ theo tỉ số $k=2$. Chu vi $\triangle ABC$ gấp chu vi $\triangle DEF$

$\triangle ABC\sim\triangle DEF$ theo tỉ số $k=2$. Diện tích $\triangle ABC$ gấp diện tích $\triangle DEF$

Bài 1. Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau:

1. $\dfrac{2}{x+2}$; 2. $\dfrac{3}{2x-4}$; 3. $\dfrac{x}{3x+1}$; 4. $\dfrac{4}{x^2-9}$;
2. $\dfrac{x-1}{x^2-1}$; 6. $\dfrac{x-3}{(x-1)^2}$; 7. $\dfrac{x}{(3+x)^2}$; 8. $\dfrac{-5}{4x^2-4x+1}$;
3. $\dfrac{(x-2)^2}{4x^2-1}$; 10. $\dfrac{x}{x^2+x+1}$.

Bài 2. Rút gọn các phân thức sau:

1. $\dfrac{3xy}{9y}$; 2. $\dfrac{6x^2y^2}{8xy^5}$; 3. $\dfrac{12x^3y^2}{18xy^5}$; 4. $\dfrac{15x^2y^3}{9x^3y^3}$;
2. $\dfrac{x(x+2)}{x^2(2+x)}$; 6. $\dfrac{15x(x+5)^3}{20x^2(x+5)}$; 7. $\dfrac{45x(3-x)}{15x(x-3)^2}$; 8. $\dfrac{4x(3x-1)^3}{8x^3(1-3x)}$;
3. $\dfrac{5x+10}{25x^2+50}$; 10. $\dfrac{(x^2-1)^2}{(x+1)(x^3+1)}$; 11. $\dfrac{7x^5y(x-y)^2}{14xy^3(x-y)}$; 12. $\dfrac{10xy^2(x+y)}{15xy(x+y)^3}$;
4. $\dfrac{x^2+2x+1}{5x^3+5x^2}$; 14. $\dfrac{x^2-6x+9}{4x^2-12x}$; 15. $\dfrac{x^2+5x+6}{x^2+4x+4}$; 16. $\dfrac{3x^2+5x-2}{x^2-3x-10}$.

Bài 3. Quy đồng mẫu các phân thức sau:

1. $\dfrac{2}{x^2y}$ và $\dfrac{3}{xy^2}$; 2. $\dfrac{2}{3x^3y^2}$ và $\dfrac{3}{4x^2y}$; 3. $\dfrac{3}{2x+4}$ và $\dfrac{x+1}{x^2-4}$;
2. $\dfrac{5}{2x+6}$ và $\dfrac{3}{x^2-9}$; 5. $\dfrac{1}{x+2}$ và $\dfrac{8}{2x-x^2}$; 6. $\dfrac{1}{x^3-8}$ và $\dfrac{3}{4-2x}$;
3. $\dfrac{x}{x^2-1}$ và $\dfrac{1}{x^2+2x+1}$; 8. $\dfrac1{x+2},\dfrac{x+1}{x^2-4},\dfrac5{2-x}$; 9. $\dfrac1{x+3},\dfrac{2x}{x^2+x-6},\dfrac{x}{x-2}$.

Bài 4. Thực hiện phép tính:

1. $\dfrac{5x+y^2}{x^2y}-\dfrac{5y-x^2}{x^2y}$; 2. $\dfrac{11x}{2x-3}-\dfrac{x-18}{3-2x}$; 3. $\dfrac{4x+13}{5x(x-7)}-\dfrac{x-48}{5x(7-x)}$;
2. $\dfrac{x+6}{2x+6}+\dfrac{2x+3}{x(x+3)}$; 5. $\dfrac{x+3}{x^2-1}-\dfrac{x+1}{x^2-x}$; 6. $\dfrac{x-12}{6x-36}+\dfrac6{x^2-6x}$;
3. $\dfrac1x+\dfrac1{x+5}+\dfrac{x-5}{x^2+5x}$; 8. $\dfrac1{3x-2}-\dfrac1{3x+2}-\dfrac{3x-6}{4-9x^2}$;
4. $\left(-\dfrac{3x}{5xy^2}\right)\!\cdot\!\left(-\dfrac{5y^2}{12xy}\right)$; 10. $\dfrac{x^2-x}{2x+1}\cdot\dfrac{4x^2-1}{x^3-1}$;
5. $\left(-\dfrac{3x}{5xy^2}\right):\left(-\dfrac{5y^2}{12xy}\right)$; 12. $\dfrac{(x+4)^2}{4x+12}:\dfrac{x+4}{3x+9}$;
6. $\dfrac{5x+10}{4x-8}\cdot\dfrac{4-2x}{x+2}$; 14. $\dfrac{x^2-36}{2x+10}\cdot\dfrac3{6-x}$; 15. $\dfrac{4(x+3)}{3x^2-x}:\dfrac{x^2+3x}{1-3x}$.

Bài 5. Rút gọn các biểu thức:

1. $\left(\dfrac1{x+4}+\dfrac8{x^2-16}\right):\dfrac{x+1}{x-4}$;
2. $\dfrac{x}{x-3}-\dfrac{x^2+3x}{2x+3}\left(\dfrac{x+3}{x^2-3x}-\dfrac{x}{x^2-9}\right)$;
3. $\dfrac{x^2-6}{x-3}+\dfrac{x^2+3x}{2x+3}\left(\dfrac{x}{x^2-9}-\dfrac{x+3}{x^2-3x}\right)$;
4. $\left(\dfrac{1+2x}{x+2}-\dfrac{x}{x-2}+\dfrac{x^2+8}{4-x^2}\right):\dfrac{-5}{x+1}$.

Bài 6. Cho $A=\dfrac{x+1}{2x-3}$ với $x\ne\dfrac32$.

a) Tính $A$ tại $x=1$.
b) Tìm $x$ để $A=\dfrac43$.

Bài 7. Cho $B=\dfrac{3x-2}{x-1}$ với $x\ne1$.

a) Tính $B$ tại $x=2$.
b) Tìm $x$ để $|B|=2$.
c) Tìm $x$ để $B=x+2$.
d) Tìm số nguyên $x$ để $B$ nhận giá trị nguyên.
e) Tìm các số thực $x>2$ để $B$ nhận giá trị là số nguyên tố.
f) Tìm $x$ là số tự nhiên khác $0$ để $B$ đạt giá trị lớn nhất.

Bài 8. Cho $C=\dfrac5{x^2+1}$.

a) Tính $C$ tại $x=3$.
b) Tìm $x$ để $C=\dfrac12$.
c) Cho $D=\dfrac5{x+3}$ với $x\ne-3$. Tìm $x$ để $C=D$.
d) Tìm giá trị lớn nhất của $C$.
e) Tìm số nguyên $x$ để $C$ nhận giá trị nguyên.
f) Tìm mọi $x$ để $C$ nhận giá trị nguyên.

Bài 9. Cho $A=\dfrac1{x-1}+\dfrac{2x}{1-x^2}-\dfrac1{x+1}$ với $x\ne\pm1$.

a) Rút gọn $A$. b) Tính $A$ tại $x=2$. c) Tìm $x$ để $A=1$. d) Tìm số nguyên $x$ để $A$ nhận giá trị nguyên.

Bài 10. Cho $A=\dfrac{2x}{x+3}+\dfrac{x+1}{x-3}+\dfrac{3-11x}{9-x^2}$ và $B=\dfrac{x-3}{x+1}$, với $x\ne\pm3$, $x\ne1$.

a) Tính $B$ tại $x=4$. b) Rút gọn $A$. c) Với $P=A\cdot B$, tìm $x$ để $P=\dfrac92$.

Bài 11. Cho $A=\dfrac{x-2}{x^2+1}$ và $B=\dfrac3{x-2}+\dfrac{6-5x}{4-x^2}+\dfrac{2x}{x+2}$, với $x\ne\pm2$.

a) Tính $A$ tại $x=\dfrac12$. b) Chứng minh $B=\dfrac{2x}{x-2}$. c) Đặt $P=A\cdot B$, tìm $x$ để $P=1$. d) Tìm số nguyên $x$ để $\dfrac2P$ nguyên. e) Tìm giá trị nhỏ nhất của $\dfrac1P$ khi $x>0$.

Bài 12. Một xí nghiệp theo kế hoạch phải may $5000$ bộ quần áo trong $x$ ngày ($x>0$). Nhờ cải tiến kĩ thuật, xí nghiệp hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định $1$ ngày và còn may thêm được $400$ bộ quần áo. Hãy viết các phân thức đại số theo biến $x$ biểu thị:

a) Số bộ quần áo mỗi ngày xí nghiệp may theo kế hoạch.
b) Số bộ quần áo mỗi ngày xí nghiệp may thực tế.
c) Nếu theo kế hoạch xí nghiệp phải may trong $10$ ngày thì nhờ cải tiến kĩ thuật, mỗi ngày xí nghiệp may được nhiều hơn kế hoạch bao nhiêu bộ quần áo?

Bài 13. Lúc $6$ giờ sáng, bác Vinh lái ô tô xuất phát từ Hà Nội đi Thanh Hoá trên quãng đường dài $200$ km. Khi đến Phủ Lý, cách Hà Nội khoảng $60$ km, bác Vinh dừng lại ăn sáng trong $20$ phút. Sau đó, bác Vinh tiếp tục đi về Thanh Hoá và phải tăng vận tốc thêm $10$ km/h để đến nơi đúng giờ dự định. Gọi $x$ (km/h), $x>0$, là vận tốc bác Vinh đi trên quãng đường từ Hà Nội đến Phủ Lý. Hãy viết các phân thức đại số theo biến $x$ biểu thị:

a) Thời gian bác Vinh chạy xe từ Hà Nội đến Phủ Lý.
b) Thời gian bác Vinh chạy xe từ Phủ Lý đến Thanh Hoá.

Bài 20. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB<AC$), đường phân giác $BD$ ($D\in AC$). Kẻ $CH\perp BD$ tại $H$.

a) Chứng minh $\triangle ABD\sim\triangle HCD$.
b) Chứng minh $\widehat{HBC}=\widehat{HCD}$ và $HC^2=HB\cdot HD$.
c) Chứng minh tam giác $AHC$ cân.

Bài 21: Cho hình chữ nhật MNPQ (MN > MQ), vẽ MH vuông góc với NQ tại H. a) Chứng minh ΔMNH ∽ ΔNQP b) Giả sử MN = 8cm; MQ = 6cm. Tính độ dài đoạn thẳng NQ và MH. c) Chứng minh NP.NH = MN .MH d) Trên tia đối của tia QM lấy điểm A sao cho QA < AM. Vẽ AE vuông góc với tia NQ tại E, tia AE và tia NM cắt nhau tại F. Vẽ MI vuông góc với QF tại I, vẽ MK vuông góc với AN tại K. Chứng minh ba điểm I, H, K thẳng hàng.

Bài 22. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$.

a) Chứng minh $\triangle HAB\sim\triangle ABC$.
b) Chứng minh $AC^2=CH\cdot CB$.
c) Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BH,CH$. Gọi $K$ là hình chiếu của $M$ trên $AN$, $I$ là giao điểm của $AH$ và $MK$. Chứng minh $\dfrac{IM}{IA}=\dfrac{IH}{IK}$ và $\widehat{AMK}=\widehat{AHK}$.
d) Kẻ $ND\parallel AH$ ($D\in AC$), lấy $E$ là trung điểm của $ND$. Chứng minh tứ giác $HNEI$ là hình chữ nhật.

Bài 23. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB<AC$, đường cao $AH$. Từ $H$ kẻ $HD\perp AB$ tại $D$, $HE\perp AC$ tại $E$.

a) Chứng minh $AB^2=BH\cdot BC$.
b) Chứng minh $DA\cdot DB=DH^2$ và $\widehat{ADE}=\widehat{ACB}$.
c) Qua $A$ kẻ đường thẳng vuông góc với $BE$, cắt cạnh $BC$ tại $O$. Chứng minh $AD\cdot DB+AE\cdot EC\le OA^2$.