Làm thử Đề cương ôn tập Giữa kì 2 Toán 9 trường THCS Thành Công (Hà Nội) năm 2025–2026

Câu 1. Đồ thị hàm số $y=-x^2$ đi qua điểm nào?

Câu 2. Điểm nào không thuộc đồ thị hàm số $y=2x^2$?

Câu 3. Phương trình $-2x^2-4x+9=0$ có:

Câu 4. Với điều kiện nào của $m$ thì $mx^2+3x+6=0$ là phương trình bậc hai?

Câu 6. Giá trị của $m$ để phương trình $(m-1)x^2+mx+1=0$ có hai nghiệm phân biệt là:

Câu 7. Hai số có tổng bằng $-9$ và tích bằng $14$ là:

Câu 8. Phương trình có tổng hai nghiệm $x_1+x_2=2$ và tích $x_1x_2=-3$ là:

Câu 10. Cạnh huyền của một tam giác vuông dài $13$ cm, hai cạnh góc vuông hơn kém nhau $7$ cm. Hai cạnh góc vuông là:

Câu 11. Hai giá sách có tổng cộng $120$ cuốn. Chuyển $30$ cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì hai giá bằng nhau. Số sách ban đầu ở hai giá lần lượt là:

Câu 12. Một số tự nhiên có hai chữ số. Đổi chỗ hai chữ số được số mới lớn hơn số cũ $63$ đơn vị; tổng hai số là $99$. Tổng hai chữ số là:

Câu 13. Lan và Mai cùng đạp xe từ $A$ đến $B$ dài $20$ km. Vận tốc Lan hơn Mai $2$ km/h và Lan đến sớm hơn $20$ phút. Vận tốc của Lan là:

Bài 1. Cho hàm số y   x 2 .

1. Tìm giá trị của y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau: x 3 2 1 0 1 2 3

y   x2 ? ? ? ? ? ? ?

1. Dựa vào bảng giá trị trên, vẽ đồ thị của hàm số đó.
2. Tìm những điểm thuộc đồ thị của hàm số có hoành độ lần lượt bằng 6; 2 3 .
3. Tìm điểm thuộc đồ thị của hàm số có tung độ bằng 27 .

Bài 6. Lực F của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc v của gió, tức F  av 2 ( a là hằng số). Biết rằng khi vận tốc gió bằng 3 m / s thì lực tác động lên cánh buồm của một con thuyển bằng 270 N (Niu-tơn).

1. Tính hằng số a .
2. Biết rằng cánh buồm chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa là 12000 N , hỏi con thuyền có thể đi được trong gió bão với vận tốc gió 100 km / h hay không?

Bài 7. Giải các phương trình sau: 2) ( x  3)  0 3) ( x  7)  9 ; 2 2

1. 7 x 2  0

2. ( x  5)  2 ; 5) 4 x  100  0 6) x  12 x  36  4 ; 2 2 2

3. ( x  5)  7 8) 2 x  9 x  0 9) 3x  5 x  0 ; 2 2 2

4. 2 x  8x  0 12) x  5  0 . 2 2

5. 3x 2  11x  0 ;

Bài 8. Giải các phương trình sau:

1. x  5x  6  0 ; 2) x  6 x  8  0 ; 2 2

2. x  7 x  10  0 ; 4) x  7 x  8  0 ; 2 2

3. 2 x 2  3x  5  0 ; 6) 5 x  2 5 x  1  0 ;

4. x 2  16 x  39  0 ; 8) x  2 3x  6  0 ;

5. 7 x  3x  10  0 ; 10) 2 x 2  3 x  5  0 ; 2

Bài 9. Giải các phương trình sau

1.  x  6   7 x  72 ; 2)  x  2  2  x  1 ; 2 2

2. 2 x  3 x  1  1  3 x 2  2 ;   4)  x  3   7 x  2 x  x  3   33 ;

x2  9  x 1  x   2 ; 6)  x  2  x  1  2 x  x  3  1 ; 3 4 2 6    7  x  2  6  0 ;    3  3  2 x   40  0 ; 2 2 7) x  2 8) 3  2 x 2 2 2 2

1.  x  6 x   19  x  6 x   90  0 ; 10)  x  5 x   2 x  10 x  24  0 . 2 2 2 2 2 2

Bài 10. Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

1. 2 x  5 x  7  0; 2) 4 x  5 x  9  0; 2 2

8 2 10 3) 2 x  11x  9  0;

1. x  6 x   0; 3 3
2. x  1 

  2 x  2  0; 6)  3x 2  2  3 x  2  0;   7) 3    2 x 2  1  2 x  2  0;  8)

1  2  x  2 x  2 2 x  1  3 2;

Bài 11. Cho phương trình x  2 x  1  0 có hai nghiệm x1 , x2 . Không giải phương trình, hãy tính

giá trị của các biểu thức sau.

1. 5 x1 x22  5 x2 x12 ; 2) x12  x22 ; 3) 2 x2 x13  2 x1 x23 ; x1 x2 3 3 x1  1 x2  1
2.  ; 5)  ; 6)  ; x2 x1 x1 x2 x2 x1 x1 x x1  1 x2  1 x12  2 x22  2
3.  2 ; 8)  ; 9)  . x2  2 x1  2 x2 x1 x2 x1

Bài 23. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình: a) x 2  2  m  1 x  m  1  0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu; b) x 2  8 x  2m  6  0 có hai nghiệm phân biệt;

c) x 2  2  m  3 x  8  4m  0 có hai nghiệm phân biệt âm; d) x2  6 x  2m  1  0 có hai nghiệm phân biệt cùng dương; e) x 2  2  m  1 x  3  m  0 có đúng một nghiệm dương.

Bài 25. Cho Parabol  P  : y  x 2 và đường thẳng  d  : y  2 x  m a) Tìm tọa độ giao điểm của ( P ) và  d  khi m  3 b) Tìm m để  d  tiếp xúc với ( P ) c) Tìm m để  d  cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía đối với trục Oy d) Tìm m để  d  cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm e) Tìm m để  d  cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

Bài 26. Cho parabol ( P) : y  x và đường thẳng  d  : y  mx  m  2

a) Chứng minh đường thẳng  d  luôn cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m . b) Tìm m để đường thẳng  d  cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung có hoành

độ x 1, x 2 thỏa mãn: x1  x2  18 3 3

Bài 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol ( P ) : y  x 2 và đường thẳng  d  : y  mx  1  m a) Xác định tọa độ giao điểm của  d  và  P  khi m  1

b) Tìm m để  d  cắt  P  tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x 1, x 2 thỏa mãn: x1  x2  3 .

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Bài 2. Một công nhân theo kế hoạch phải làm 85 sản phẩm trong một khoảng thời gian dự định. Nhưng do yêu cầu đột xuất, người công nhân đó phải làm thêm 96 sản phẩm. Do người công nhân mỗi giờ đã làm tăng thêm 3 sản phẩm, nên người đó đã hoàn thành công việc sớm hơn so với thời gian dự định là 20 phút. Hỏi mỗi giờ người công nhân đó làm bao nhiêu sản phẩm?

Bài 4. Một tổ sản xuất phải làm được 600 sản phẩm trong một thời gian quy định với năng suất quy định. Sau khi làm xong 400 sản phẩm tổ sản xuất tăng năng suất lao động, mỗi ngày làm tăng thêm 10 sản phẩm so với quy định. Vì vậy mà công việc được hoàn thành sớm hơn quy định một ngày. Hỏi theo quy định, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu sản phẩm?

Bài 6. Ban đầu, khán đài của nhà thi đấu các nội dung thuộc môn Bơi tại SEA Games chứa 1188 ghế được xếp thành các dãy, số lượng ghế ở các dãy bằng nhau. Để phục vụ đông đảo khán giả hơn, khán đài sau đó đã được lắp thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy được lắp thêm 4 ghế. Vì thế, khán đài được tăng thêm 254 ghế. Tìm số dãy ghế ban đầu của khán đài.

Bài 6. Điều tra về “Loại nhạc cụ bạn muốn chơi nhất” đối với các bạn trong lớp, bạn Linh thu được ý kiến trả lời và ghi lại như dưới đây: Đàn piano Trống Đàn Bầu Đàn piano Đàn guitar Đàn guitar Sáo Đàn guitar Đàn guitar Đàn piano Sáo Đàn piano Sáo Kèn harmonica Đàn violin Trống Đàn guitar Đàn Bầu Đàn piano Đàn piano Đàn violin Đàn piano Đàn violin Sáo Trống Kèn harmonica Đàn violin Đàn piano Đàn piano Đàn guitar a) Có bao nhiêu loại nhạc cụ được các bạn nêu trên? b) Hãy xác định tỉ lệ phần trăm học sinh chọn mỗi loại nhạc cụ.

Bài 8. Một cửa hàng thống kê lại số điện thoại di động bán được trong tháng 04/2022 và tháng 04/2023 ở bảng sau:

a) Hãy lựa chọn và vẽ biểu đồ phù hợp để thấy xu thế thay đổi lựa chọn thương hiệu điện thoại giữa hai đợt thống kê. b) Hãy cho biết trong các thương hiệu điện thoại A, B, C, D, thương hiệu nào tăng trưởng cao nhất, thương hiệu nào tăng trưởng thấp nhất.

Bài 9. Biểu đồ hình quạt tròn dưới đây biểu diễn tần số tương đối của các ngôn ngữ lập trình được sử dụng khi viết 200 phần mềm của một công ty công nghệ. Biết rằng, mỗi phần mềm được viết bằng đúng một ngôn ngữ lập trình. a) Ngôn ngữ lập trình nào được sử dụng phổ biến nhất khi viết 200 phần mềm đó? b) Hãy lập bảng tần số biểu diễn số liệu cho bởi biểu đồ trên.

Bài 11. Thời gian đi từ nhà đến trường (đơn vị: phút) của học sinh lớp 9C được ghi lại ở bảng sau: 9,5 13,9 5,6 13,2 10,3 15,1 19,5 14,1 11,4 19,7 15,1 11,1 16,6 7,2 18 11,6 6,2 6,2 16,7 7,8 17,7 7,7 7,7 5,5 18,2 7,4 19,8 19 5,2 18,3 14,7 14,1 19,6 7,2 7,2 12,5 a) Hãy chia số liệu thành 4 nhóm, với nhóm thứ nhất là khoảng từ 5 phút đến dưới 9 phút và lập bảng tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm. b) Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột và dạng đoạn thẳng mô tả bảng tần số tương đối ghép nhóm.

Bài 12. Mẫu số liệu dưới đây ghi lại độ dài quãng đường di chuyển trong một tuần (đơn vị: kilômét) của 60 chiếc ô tô:

Ghép các số liệu trên thành năm nhóm sau: [100 ; 120), [120 ; 140), [140 ; 160), [160 ; 180), [180 ; 200).

a) Tìm tần số của mỗi nhóm đó. Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm đó. b) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm đó. c) Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm ở dạng biểu đồ cột và biểu đồ đoạn thẳng của mẫu số liệu ghép nhóm đó. d) Tính độ dài trung bình quãng đường di chuyển của 60 ôtô đó?

NỘI DUNG: ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP VÀ ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP

Bài 1. Quan sát hình vẽ và trả lời các câu hỏi sau: Hình 1: Hình 2: Hình 3:

N D B

A O I O A M P E E   840 . Tính NMP Cho sđ NP  ?   1100 . Tính ADE  ? Cho AOE   450 . Tính AIE Cho ABE  ? Hình 4: Hình 5: Hình 6: K M B H K M A A I O B O B E N M Tính góc AMB và góc AKB?   650 . Tính BMN Cho BAN ?   BE   400 và HK Cho HOK .   ?;BME Tính HMK  ?

Bài 6. Quan sát hình vẽ và trả lời các câu hỏi sau:

A A B A D O 57° B M 93° N O C H Tính số đo các góc A và D C B C

Chứng minh tứ giác BNMC là Cho AB, AC là tiếp tuyến của đường tứ giác nội tiếp tròn (O) (với B, C là các tiếp điểm). Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp E A

D O B 88°

C Cho AC = 3cm và BC = 6cm. Tính số đo góc BAE Tính số đo góc HAD và góc ADC

Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), kẻ đường cao AH (H thuộc BC). Gọi hai điểm I và K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A đến hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O). a) Chứng minh tứ giác AHBI là tứ giác nội tiếp.   ABC b) Chứng minh AHK  và AH 2  AI.AK c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AI và AK. Chứng minh nếu AH = AM + AN thì ba điểm A, O, H thẳng hàng.

Bài 2. Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không đi qua tâm O cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Gọi C là điểm thuộc đường thẳng d sao cho A nằm giữa B và C. Vẽ đường kính PQ vuông góc với dây AB tại D (P thuộc cung lớn AB). Tia CP cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là I (I khác P), AB cắt IQ tại K. a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp; b) Chứng minh KB. IQ = BQ. BI; AC AK c) Chứng minh IK là đường phân giác trong của tam giác AIB và  BC BK d) Cho ba điểm A, B, C cố định và đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn đi qua A, B. Chứng minh đường thẳng IQ luôn đi qua một điểm cố định.

11

Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Kéo dài BE cắt đường tròn (O; R) tại F. a) Chứng minh tứ giác BDEA là tứ giác nội tiếp; b) Chứng minh tam giác AHF cân; c) Kẻ tia Et là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE tại E. M là giao điểm của Et và AB. Chứng minh M là trung điểm của AB. d) Cho BC cố định và BC  R 3 . Hãy xác định vị trí của A trên (O; R) để AD. DH lớn nhất.

Bài 4. Cho đường tròn (O, R) đường kính AB và một điểm M thuộc (O; R) với AM < BM. Trên cạnh MB lấy điểm C sao cho MC = MA. Gọi OD là bán kính vuông góc với AB (M và D ở hai phía đường thẳng AB)   90 a) Chứng minh AMB b) Chứng minh MD là tia phân giác của góc AMB và MD vuông góc với AC. c) Chứng minh D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. d) Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC cắt MD tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB.

Bài 5. Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định. H là điểm cố định thuộc đoạn thẳng OA (H không trùng với O và A). Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại C và D. Gọi K là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn CD (K không trùng với C, D, B). Gọi I là giao điểm của AK và CD. a) Chứng minh bốn điểm H, I, K, B cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh AI. AK = AH. AB. c) Chứng minh khi điểm K thay đổi trên cung lớn CD của (O) thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆KCI luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Bài 6. Cho đường tròn (O, R) và một dây cung BC cố định. Gọi A là điểm nằm chính giữa cung nhỏ BC. Lấy điểm M bất kì trên cung nhỏ AC, kẻ tia Bx vuông góc với tia MA ở I và cắt tia CM tại D.   ABC a) Chứng minh AMD  và MA là tia phân giác của góc BMD. b) Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. c) Tia DA cắt BC tại E và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF.

Bài 7. Cho đường tròn (O) có BC là dây cung BC cố định nhỏ hơn đường kính, A là điểm di động trên cung lớn BC (A không trùng B và C). Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC, EF cắt BC tại M, qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AB tại P và cắt AC tại Q   BCQ a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp BPQ  b) Chứng minh rằng tam giác DFP cân tại D c) Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MF. ME = MD. MN d) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ luôn đi qua một điểm cố định khi A di động trên cung lớn BC

Bài 8. Cho (O; R) dây AB và M là điểm nằm chính giữa cung nhỏ AB. Trên dây AB lấy hai điểm C và D. Các đường thẳng MC, MD cắt (O) theo thứ tự tại E và F   DFE a) Chứng minh MCD  và tứ giác CDFE nội tiếp b) Chứng minh MA2 = MC . ME c) Chứng minh MA là tiếp tuyến của đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác ACE d) Kẻ đường kính MN của đường tròn (O). Tính độ dài của dây AB theo R để tứ giác BCIN là tứ giác nội tiếp.

12

Bài 9. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), AD là đường phân giác của tam giác ABC, AD cắt (O) tại P. Gọi M là điểm thay đổi trên đoạn AD (M khác A, D). E và F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB và AC. Gọi K là giao điểm của AD và EF a) Chứng minh tứ giác AEMF nội tiếp và MAF  MFE b) Kẻ PO cắt (O) tại Q. Chứng minh EF // AQ c) Gọi I là giao điểm của PQ và BC. Chứng minh AK. PI = QI. KM d) Kẻ IH vuông góc với EF. Chứng minh MH luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi trên AD

Bài 10. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB  AC ) nội tiếp đường tròn  O  . Đường cao AD của tam giác ABC cắt đường tròn  O  tại điểm E ( E khác A ). Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ điểm E đến đường thẳng AB . a) Chứng minh bốn điểm: E , D , B , K cùng thuộc một đường tròn. b) Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại điểm S. Chứng minh EA là tia phân giác của góc CEK và AB  AC  AE  AS . c) Gọi H là trực tâm của tam giác A ABC và I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Chứng minh đường thẳng SI vuông góc với đường thẳng HK.