Làm thử Đề cương ôn tập Giữa kì 2 · Toán 9 · THCS Yên Thường (Hà Nội) · 2025–2026

[Dạng 1 – Bài 1] Cho hàm số $y = \dfrac{1}{2}x^2$.

a) Vẽ đồ thị của hàm số.

b) Các điểm $M(2;\,2)$, $N(-1;\,4)$ và $P\!\left(1;\,\dfrac{1}{2}\right)$ có thuộc đồ thị hàm số đã cho không?

[Dạng 1 – Bài 2] Cho hàm số $y = -2x^2$ có đồ thị là parabol (P).

a) Tìm điểm thuộc (P) có hoành độ bằng $-3$.

b) Tìm điểm thuộc (P) có tung độ bằng $-8$.

c) Tìm điểm thuộc (P) có tung độ gấp đôi hoành độ.

[Dạng 1 – Bài 3] Cho parabol (P): $y = ax^2$ và đường thẳng (d): $y = 2x - 3$.

Tìm $a$ để (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng $-1$.

[Dạng 1 – Bài 4] Tìm $a$ biết đồ thị hàm số $y = (2a+5)x^2$ và đường thẳng $y = 3x + 1$ cắt nhau tại điểm có tung độ bằng $4$.

[Dạng 1 – Bài 5] Cho hàm số $y = (m-2)x^2$.

a) Tìm $m$ biết đồ thị hàm số đi qua điểm $M(-2;\,8)$.

b) Với $m$ tìm được ở câu a, tìm điểm thuộc đồ thị có tung độ bằng $4$.

c) Với $m$ tìm được ở câu a, tìm điểm thuộc đồ thị cách đều hai trục toạ độ.

[Dạng 2 – Bài 1] Giải các phương trình sau:

a) $2x^2 - 9x + 10 = 0$

b) $0{,}2x^2 + 0{,}4x - 7 = 0$

c) $x^2 - \sqrt{5}\,x + 1 = 0$

[Dạng 2 – Bài 2] Giải các phương trình sau:

a) $3x^2 + 7x + 5 = 0$

b) $x^2 - 5x + 3 = 0$

c) $x^2 - (1+\sqrt{3})x + \sqrt{3} = 0$

[Dạng 2 – Bài 3] Giải các phương trình sau:

a) $-3x^2 + 8x - 5 = 0$

b) $x^2 + (1-\sqrt{5})x - \sqrt{5} = 0$

c) $-\sqrt{3}x^2 - (1-\sqrt{3})x + 1 = 0$

d) $(3-\sqrt{7})x^2 - 2\sqrt{7}x - (3+\sqrt{7}) = 0$

[Dạng 2 – Bài 4] Tìm $m$ để mỗi phương trình sau có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép với $m$ tìm được khi đó.

a) $3x^2 + mx + 12 = 0$

b) $(m+3)x^2 - mx + m = 0$

[Dạng 2 – Bài 5] Tìm $m$ để mỗi phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt.

a) $x^2 - 2mx + m^2 + 3m = 0$

b) $(m-2)x^2 + 3x - 1 = 0$

[Dạng 3 – Bài 1] Cho phương trình $2x^2 - 7x + 4 = 0$.

a) Gọi $x_1;\,x_2$ là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình tính giá trị của các biểu thức sau: $A = x_1^3 + x_2^3$; $\;B = \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}$.

b) Xác định phương trình bậc hai nhận $x_1^2 - x_2$; $\;x_2^2 - x_1$ là nghiệm.

[Dạng 3 – Bài 2] Cho phương trình $x^2 - mx + m - 1 = 0$ với $m$ là tham số.

a) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi $m$.

b) Gọi $x_1;\,x_2$ là các nghiệm. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A = x_1^2 + x_2^2$.

[Dạng 3 – Bài 3] Cho phương trình $x^2 - 2x + m = 0$.

a) Tìm $m$ sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,\,x_2$ đều là các số dương.

b) Tìm $m$ sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,\,x_2$ thoả mãn $\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} = -\dfrac{10}{3}$.

[Dạng 3 – Bài 4] Cho phương trình bậc hai: $x^2 + 2(m-1)x - 2m + 5 = 0$.

a) Giải và biện luận phương trình trên theo $m$.

b) Tìm $m$ biết $\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} = 2$.

c) Tìm $m$ sao cho $12 - 10x_1 x_2 - (x_1^2 + x_2^2)$ đạt giá trị lớn nhất.

[Dạng 3 – Bài 5] Cho phương trình: $x^2 - (m-1)x - m^2 + m - 2 = 0$.

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi $m$.

b) Gọi 2 nghiệm của PT là $x_1$ và $x_2$. Tìm giá trị của $m$ để $x_1^2 + x_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

[Dạng 3 – Bài 6] Cho phương trình: $x^2 - 2(m+1)x + 2m = 0\;(1)$ (với $m$ là số đã cho).

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$.

b) Gọi $x_1,\,x_2$ là hai nghiệm của phương trình (1), khi đó tìm giá trị của $m$ để $x_1,\,x_2$ là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền là $\sqrt{12}$.

[Dạng 3 – Bài 7] Cho phương trình: $x^2 - 4x - m^2 + 3 = 0\;(*)$ ($m$ là số đã cho).

Tìm giá trị của $m$ để phương trình (*) có hai nghiệm $x_1,\,x_2$ thoả mãn $x_2 = -5x_1$.

[Dạng 3 – Bài 8] Cho phương trình $x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 2 = 0\;(1)$ ($x$ là ẩn số, $m$ là số đã cho).

Xác định các giá trị của $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1,\,x_2$ thoả mãn điều kiện $x_1^2 + 2(m+1)x_2 = 12m + 2$.

[Dạng 4 – Bài 1] Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích $720\,\text{m}^2$. Nếu tăng chiều dài thêm $10\,\text{m}$ và giảm chiều rộng $6\,\text{m}$ thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng mảnh vườn.

[Dạng 4 – Bài 2] Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất $1100$ sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức $5$ sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định $2$ ngày. Hỏi mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

[Dạng 4 – Bài 3] Một đội xe theo kế hoạch chở hết $140$ tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức $5$ tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định $1$ ngày và chở thêm được $10$ tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày?

[Dạng 4 – Bài 4] Một ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài $120\,\text{km}$. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là $10\,\text{km/h}$ nên ô tô đến sớm hơn xe máy $36$ phút. Tính vận tốc mỗi xe.

[Dạng 4 – Bài 5] Quãng đường từ A đến B dài $90\,\text{km}$. Một người đi xe máy từ A đến B. Khi đến B, người đó nghỉ $30$ phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn lúc đi là $9\,\text{km/h}$. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về A là $5$ giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B.

[Dạng 4 – Bài 6] Một tàu thuỷ chạy trên khúc sông dài $120\,\text{km}$, cả đi và về mất $6$ giờ $45$ phút. Tính vận tốc của tàu thuỷ khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là $4\,\text{km/h}$.

[II. Hình học – Bài 1]

a) Một con tán long đen tròn có $R = 20\,\text{mm}$, $r = 10{,}5\,\text{mm}$. Tính diện tích hình vành khuyên của con tán long đen. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

b) Một chiếc quạt gấp có chiều dài từ chốt giữ nan đến đầu mút của nan dài $20\,\text{cm}$ và khi quạt người ta mở quạt tối đa tạo thành một góc $160°$. Tính độ dài cung tròn của quạt lúc này.

c) Một mảnh vải có dạng một phần tư hình vành khuyên, trong đó hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm và có bán kính lần lượt là $3\,\text{dm}$ và $5\,\text{dm}$. Hỏi mảnh vải ấy có diện tích là bao nhiêu mét vuông? (Kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn)

[II. Hình học – Bài 2] Cho đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$, dây $CD$ vuông góc với $AB$ tại $F$. Gọi $M$ là một điểm thuộc cung nhỏ $BC$ ($M$ khác $B, C$), hai đường thẳng $AM$ và $CD$ cắt nhau tại $E$. Chứng minh:

a) Tứ giác $BMEF$ nội tiếp.

b) Tia $MA$ là phân giác của góc $CMD$.

c) $AC^2 = AE \cdot AM$.

[II. Hình học – Bài 3] Cho đường tròn $O$ đường kính $AB$. Dây cung $MN$ vuông góc với $AB$ ($AM < BM$). Hai đường thẳng $BM$ và $NA$ cắt nhau tại $K$. Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $K$ đến đường thẳng $AB$. Chứng minh:

a) Tứ giác $AHKM$ nội tiếp trong một đường tròn.

b) $NB \cdot HK = AN \cdot HB$.

c) $HM$ là tiếp tuyến của đường tròn $O$.

[II. Hình học – Bài 4] Cho điểm $M$ nằm ngoài đường tròn tâm $O$. Vẽ tiếp tuyến $MA$, $MB$ của đường tròn với $A$, $B$ là các tiếp điểm. Vẽ cát tuyến $MCD$ không đi qua tâm $O$ ($C$ nằm giữa $M$ và $D$); $OM$ cắt $AB$ và $(O)$ lần lượt tại $H$, $I$. Gọi $E$ là trung điểm của $DC$. Chứng minh:

a) Các tứ giác $MAOB$, $ABOE$ nội tiếp.

b) $MC \cdot MD = MA^2$ và $\angle MHC = \angle MDO$.

c) $OH \cdot OM + MC \cdot MD = MO^2$.

[II. Hình học – Bài 5] Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nội tiếp $(O)$. Từ một điểm $D$ trên cạnh $BC$ kẻ đường thẳng vuông góc với $BC$ cắt $AC$ tại $F$ và cắt tia đối của tia $AB$ tại $E$. Gọi $H$ là giao điểm của $BF$ và $CE$, tia $HD$ cắt $(O)$ tại $K$.

a) Chứng minh tứ giác $AECD$ nội tiếp.

b) Chứng minh $BF \cdot BH = BD \cdot BC$ và $AK \perp BC$.

c) Gọi $I$ là trung điểm của $EF$. Chứng minh $OI \perp AH$.

[II. Hình học – Bài 6] Cho đường tròn $(O)$ có dây cung $AB$ cố định. Kẻ đường kính $IK$ vuông góc với $AB$ tại $N$ ($I$ thuộc cung lớn $AB$). Lấy điểm $M$ bất kì trên cung lớn $AB$, $MK$ cắt $AB$ tại $D$. Hai đường thẳng $IM$ và $AB$ cắt nhau tại $C$.

a) Chứng minh rằng $INDM$ là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh $ND \cdot NC = NI \cdot NK$.

c) Gọi $E$ là giao điểm của đường thẳng $ID$ và $CK$. Chứng minh $E \in (O)$.

d) Xác định vị trí của $M$ trên cung lớn $AB$ để tích $DM \cdot DK$ đạt giá trị lớn nhất.