Làm thử Ôn tập Học kì 1 · Chương III: Giới hạn và hàm số liên tục · Toán 11 · THPT Trần Phú, Hà Nội · 2025-2026

Câu 1 · Phần I. Cho $\lim u_n=3$, $\lim v_n=5$. Tính $\lim(u_nv_n)$.

Câu 2 · Phần I. Cho $\lim u_n=-3$, $\lim v_n=2$. Tính $\lim(u_n-v_n)$.

Câu 3 · Phần I. Viết $P=2{,}13131313\ldots$ dưới dạng phân số.

Câu 4 · Phần I. Cho $\lim u_n=a$ hữu hạn và $\lim v_n=+\infty$. Tính $\lim\dfrac{u_n}{v_n}$.

Câu 5 · Phần I. Cho $|u_n-2|<\dfrac1{n^3}$ với mọi $n\in\mathbb N^*$. Khi đó kết luận nào đúng?

Câu 7 · Phần I. Biết $\displaystyle\lim\frac{an^2-4n+7}{5n^2-n-2}=6$. Khẳng định nào đúng?

Câu 8 · Phần I. Dãy $u_n=\dfrac{(3n-1)(3-n)^2}{(4n-5)^3}$ có giới hạn $a/b$ tối giản. Tính $ab$.

Câu 10 · Phần I. Tính $S=1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots$.

Câu 11 · Phần I. Cho $\lim_{x\to x_0}f(x)=2$, $\lim_{x\to x_0}g(x)=3$. Tính $\lim_{x\to x_0}[3f(x)-4g(x)]$.

Câu 13 · Phần I. Tính $\displaystyle\lim_{x\to(-4)^+}\frac3{x+4}$.

Câu 14 · Phần I. Tính $\displaystyle\lim_{x\to5}\frac{\sqrt{3x+1}-4}{3-\sqrt{x+4}}$.

Câu 15 · Phần I. Cho $f(x)=\dfrac{(4x+1)^3(2x+1)^4}{(3+2x)^7}$. Tính $\lim_{x\to-\infty}f(x)$.

Câu 16 · Phần I. Tính $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2-x+1}}{3x+2}$.

Câu 17 · Phần I. Các hình vuông liên tiếp có cạnh bằng nửa đường chéo hình trước. Tổng diện tích mọi hình bằng $8$. Cạnh hình đầu là

Câu 18 · Phần I. Cho $f(x)=\begin{cases}4x+1,&x\ge3,\\x^2+4,&x<3.\end{cases}$ Tính $\lim_{x\to3}f(x)$.

Câu 19 · Phần I. Biết $f$ liên tục trên $(a;b)$. Điều kiện cần và đủ để $f$ liên tục trên $[a;b]$ là

Câu 21 · Phần I. Hàm số nào sau đây không liên tục tại $x=2$?

Câu 22 · Phần I. Cho $u_n=\dfrac{1+2+\cdots+n}{n^2+11}$. Tính $\lim u_n$.

Câu 1a · Phần II. Các mệnh đề về giới hạn dãy số sau. Mệnh đề: “$\lim(\frac23)^n=0$.”

Câu 1b · Phần II. Các mệnh đề về giới hạn dãy số sau. Mệnh đề: “$\lim\dfrac{(-1)^n}{n^2}=0$.”

Câu 1c · Phần II. Các mệnh đề về giới hạn dãy số sau. Mệnh đề: “$\lim_{n\to+\infty}q^n=0$ với mọi $q<1$.”

Câu 1d · Phần II. Các mệnh đề về giới hạn dãy số sau. Mệnh đề: “$\lim\dfrac1{n^k}=0$ với $k\in\mathbb Z^+$.”

Câu 2a · Phần II. Các mệnh đề về giới hạn dãy số sau. Mệnh đề: “$\lim(\sqrt3)^n=-\infty$.”

Câu 2b · Phần II. Các mệnh đề về giới hạn dãy số sau. Mệnh đề: “$\lim\dfrac{4^n}{2\cdot3^n+4^n}=1$.”

Câu 2c · Phần II. Các mệnh đề về giới hạn dãy số sau. Mệnh đề: “$\lim(n^3+2n^2-4)=+\infty$.”

Câu 2d · Phần II. Các mệnh đề về giới hạn dãy số sau. Mệnh đề: “$\lim(-n^4+5n^3-4n)=-\infty$.”

Câu 3a · Phần II. Xét các giới hạn chứa căn sau. Mệnh đề: “$\lim\dfrac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{n+3}}{\sqrt{4n-5}}=\dfrac49$.”

Câu 3b · Phần II. Xét các giới hạn chứa căn sau. Mệnh đề: “$\lim\dfrac{\sqrt{4n^2-n+1}-n}{\sqrt{9n^2+3n}}=\dfrac23$.”

Câu 3c · Phần II. Xét các giới hạn chứa căn sau. Mệnh đề: “$\lim(\sqrt{n^2+3n+5}-n)=\dfrac32$.”

Câu 3d · Phần II. Xét các giới hạn chứa căn sau. Mệnh đề: “$\lim(\sqrt{9n^2+3n-4}-3n+2)=0$.”

Câu 4a · Phần II. Cho $f(x)=\begin{cases}x-2,&x<-1,\\\sqrt{x^2+1},&x\ge-1.\end{cases}$ Mệnh đề: “$\lim_{x\to-2}f(x)=\sqrt5$.”

Câu 4b · Phần II. Cho $f(x)=\begin{cases}x-2,&x<-1,\\\sqrt{x^2+1},&x\ge-1.\end{cases}$ Mệnh đề: “$\lim_{x\to-1^-}f(x)=-3$.”

Câu 4c · Phần II. Cho $f(x)=\begin{cases}x-2,&x<-1,\\\sqrt{x^2+1},&x\ge-1.\end{cases}$ Mệnh đề: “$\lim_{x\to-1^+}f(x)=\sqrt2$.”

Câu 4d · Phần II. Cho $f(x)=\begin{cases}x-2,&x<-1,\\\sqrt{x^2+1},&x\ge-1.\end{cases}$ Mệnh đề: “Hàm số tồn tại giới hạn khi $x\to-1$.”

Câu 5a · Phần II. Xét các giới hạn sau. Mệnh đề: “$\lim_{x\to-\infty}(\sqrt{x^2-x+1}+x-2)=-\dfrac32$.”

Câu 5b · Phần II. Xét các giới hạn sau. Mệnh đề: “$\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2-x+1}+x-2)=+\infty$.”

Câu 5c · Phần II. Xét các giới hạn sau. Mệnh đề: “$\lim_{x\to-1^-}\dfrac{3x+2}{x+1}=-\infty$.”

Câu 5d · Phần II. Xét các giới hạn sau. Mệnh đề: “$\lim_{x\to-1^+}\dfrac{3x+2}{x+1}=-\infty$.”

Câu 6a · Phần II. Xét các giới hạn khi biến tiến ra vô cực. Mệnh đề: “$\lim_{x\to-\infty}(x^2-10x)=+\infty$.”

Câu 6b · Phần II. Xét các giới hạn khi biến tiến ra vô cực. Mệnh đề: “$\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2-4x+1}{2x^2+x+1}=\dfrac32$.”

Câu 6c · Phần II. Xét các giới hạn khi biến tiến ra vô cực. Mệnh đề: “$\lim_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+x+1}-3x}{2-3x}=\dfrac54$.”

Câu 6d · Phần II. Xét các giới hạn khi biến tiến ra vô cực. Mệnh đề: “$\lim_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt[3]{8x^3+3x^2+1}-x}{\sqrt{4x^2-x+2}+3x}=1$.”

Câu 7a · Phần II. Xét tính liên tục của các hàm số sau. Mệnh đề: “$f(x)=x^3-x^2+8x$ liên tục trên $\mathbb R$.”

Câu 7b · Phần II. Xét tính liên tục của các hàm số sau. Mệnh đề: “$f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-3}{x-\sqrt3},&x\ne\sqrt3,\\2\sqrt3,&x=\sqrt3\end{cases}$ liên tục tại $x=\sqrt3$.”

Câu 7c · Phần II. Xét tính liên tục của các hàm số sau. Mệnh đề: “$f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2+5x+6}$ liên tục trên $(-3;2)$.”

Câu 7d · Phần II. Xét tính liên tục của các hàm số sau. Mệnh đề: “$f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x+1},&x\ne-1,\\m^2-4,&x=-1\end{cases}$ liên tục tại $-1$ khi $m=\pm\sqrt2$.”

Câu 8a · Phần II. Cho $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sqrt{4x-7}-1}{x^2-4},&x>2,\\\dfrac{5x-9}{2},&x\le2,\end{cases}$ và $g(x)=\begin{cases}\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{2-x},&x>2,\\\dfrac{1-x}{4},&x\le2.\end{cases}$ Mệnh đề: “Hàm số $f$ liên tục tại $x_0=2$.”

Câu 8b · Phần II. Cho $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sqrt{4x-7}-1}{x^2-4},&x>2,\\\dfrac{5x-9}{2},&x\le2,\end{cases}$ và $g(x)=\begin{cases}\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{2-x},&x>2,\\\dfrac{1-x}{4},&x\le2.\end{cases}$ Mệnh đề: “Hàm số $g$ gián đoạn tại $x_0=2$.”

Câu 8c · Phần II. Cho $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sqrt{4x-7}-1}{x^2-4},&x>2,\\\dfrac{5x-9}{2},&x\le2,\end{cases}$ và $g(x)=\begin{cases}\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{2-x},&x>2,\\\dfrac{1-x}{4},&x\le2.\end{cases}$ Mệnh đề: “$\lim_{x\to2^+}g(x)=\dfrac14$.”

Câu 8d · Phần II. Cho $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sqrt{4x-7}-1}{x^2-4},&x>2,\\\dfrac{5x-9}{2},&x\le2,\end{cases}$ và $g(x)=\begin{cases}\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{2-x},&x>2,\\\dfrac{1-x}{4},&x\le2.\end{cases}$ Mệnh đề: “$\lim_{x\to2^+}f(x)=\dfrac12$.”

Câu 1 · Phần III. Tính các giới hạn: a) $\lim\dfrac{2n+1}{3n+2}$; b) $\lim\dfrac{n^2-3n+5}{3n^2+4}$; c) $\lim\dfrac{n^3+n^2-n+1}{2n^4+n^2+2}$; d) $\lim\dfrac{(2n^3+1)(3n^2-n+8)}{(4n-3)(3n^4+n+2)}$.

Câu 2 · Phần III. Tính các giới hạn: a) $\lim\dfrac{3n^2+\sqrt{n^4+3n-2}}{2n^2-n+3}$; b) $\lim\dfrac{\sqrt[3]{8n^3-5n+8}-n}{n+12}$; c) $\lim\dfrac{\sqrt{6n^2+n+1}}{2n+1}$; d) $\lim\dfrac{\sqrt{2n^2-n}}{1-3n^2}$.

Câu 3 · Phần III. Tính các giới hạn: a) $\lim\dfrac{9\cdot2^n+3^n}{2^n+5\cdot3^n}$; b) $\lim\dfrac{3^{n+2}-4^{n+1}+1}{2\cdot4^{n+1}+2^{n-1}}$; c) $\lim\dfrac{4\cdot3^{2n}+7^{n-1}}{2\cdot9^{n+1}+7^n}$; d) $\lim\dfrac{1+2+\cdots+n}{5n^2+2}$.

Câu 4 · Phần III. Tính các giới hạn: a) $\lim_{x\to2^+}\dfrac1{x-2}$; b) $\lim_{x\to-3^-}\dfrac5{x+3}$; c) $\lim_{x\to5^+}\dfrac9{5-x}$.

Câu 5 · Phần III. Tính các giới hạn: a) $\lim_{x\to1}\dfrac{x+1}{x-2}$; b) $\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}$; c) $\lim_{x\to2}\dfrac{3x^2-5x-2}{x^2-4}$; d) $\lim_{x\to-2}\dfrac{2x^2-6x-20}{x^3-3x+2}$; e) $\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}$; f) $\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{3x+2}-\sqrt{2x+3}}{x-1}$; g) $\lim_{x\to-1}\dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2x+3}}{2-\sqrt{x+5}}$; h) $\lim_{x\to-1}\dfrac{\sqrt{2x+3}-\sqrt[3]{x+2}}{x+1}$.

Câu 6 · Phần III. Cho hình vuông $(C_1)$ cạnh $a$. Chia mỗi cạnh thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia như hình để được $(C_2)$; tiếp tục tương tự thành $C_1,C_2,\ldots$. Gọi $S_i$ là diện tích $C_i$ và $T=S_1+S_2+\cdots$. Biết $T=32/3$, tìm $a$.

Câu 7 · Phần III. Cho $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-1}+b,&x>1,\\ax+3,&x\le1.\end{cases}$ Biết $\lim_{x\to1}f(x)=2025$. Tính $T=2a+b$.

Câu 8 · Phần III. a) Cho số thực $a$ thỏa $\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+a}{x+1}=3$. Tìm $a$. b) Cho $b,c$ thỏa $\lim_{x\to2}\dfrac{x^2+bx+c}{x-2}=7$. Tìm $b,c$.

Câu 9 · Phần III. Tính các giới hạn: a) $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{4x+1}{3x-2}$; b) $\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2x^2+1}{3+2x-x^2}$; c) $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{4x^2-1}{x^3+x-4}$; d) $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{3x^2+2}}{5x+\sqrt{x^2+1}}$; e) $\lim_{x\to-\infty}\dfrac{3x-1}{\sqrt{1+4x+x^2}}$; f) $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{(4x^2-1)(2+3x-x^5)}{(x^3+x-4)(3x^4-x^2-1)}$.

Câu 10 · Phần III. Cho $f(x)=\begin{cases}4x+5,&x\ne-2,\\a,&x=-2.\end{cases}$ a) Tìm $a$ để hàm số liên tục tại $x=-2$. b) Tìm $a$ để hàm số liên tục trên tập xác định.

Câu 11 · Phần III. Tính $\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{\sqrt[3]{x+3}-\sqrt[3]{2x+1}}{x^2-4}$.