Làm thử Đề cương ôn tập học kì 2 · Toán 7 · Archimedes School (Hà Nội) · 2025-2026

Bài 1. Cho hai đa thức

$P(x)=2x^2-3x^3+x^2+3x^3-x-1-3x$

và

$Q(x)=-3x^2+2x^3-x-2x^3-3x-2.$

a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức $P(x)$, $Q(x)$ theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tính $F(x)=Q(x)-3x\cdot P(x)$ và $G(x)=P(x)-Q(x)$.

c) Tính $F(-2)$, $Q(3)$.

d) Tính $G(x)\cdot(6x^2-1)$.

Bài 2. Cho hai đa thức

$A(x)=10x^2-3x^3+6x-6x^2+8x^2-2x^3$

và

$B(x)=3x(x+1)-2(4-x^2).$

a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức $A(x)$, $B(x)$ theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tìm bậc, hệ số tự do và hệ số cao nhất của $A(x)$.

c) Tính $A(1)+B(-1)$.

d) Tìm nghiệm của đa thức $B(x)$.

Bài 3. Cho hai đa thức:

$M(x)=2x^4-3x^3-x+7x^3-5x+1;$

$N(x)=-2x^3-2x^2+3x^4+5x-2x^4-6+x+3x^2.$

a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tìm đa thức $Q(x)$ biết $Q(x)=M(x)-2N(x)$.

c) Tìm $x$ để $Q(x)=8x^3-14x+15$.

d) Tìm đa thức $B(x)$ biết $B(x)-x\cdot N(x)=M(x)$.

e) Tìm dư khi chia $B(x)$ cho $(x^2-x+1)$.

Bài 4. Cho đa thức

$C(x)=5x^2+3x^4-3x^2-x-x^4-12x^3+16x^2+3.$

a) Tìm đa thức $D(x)$ biết $(x-3)\cdot D(x)=C(x)$.

b) Xác định bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của đa thức $D(x)$.

c) Tính $D(-0{,}5)$.

d) Tìm đa thức $E(x)=C(x)-(1-x)D(x)$.

Bài 5. Cho đa thức

$P(x)=-2-2x^4-x-5x^3+10x-17x^2+\dfrac{1}{2}x^3-5+x^3.$

a) Thu gọn đa thức trên rồi sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Xác định bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của đa thức $P(x)$. Tính $P(-2)$.

c) Tìm đa thức $Q(x)$ sao cho $Q(x)-P(x)=2x^4-\dfrac{1}{2}x^3-19x-1$.

d) Tìm đa thức dư trong phép chia $P(x):(2-x)$.

e) Tìm nghiệm đa thức $A(x)=Q(x)+(8+31x)$.

Bài 6. Thu gọn các đa thức sau:

$A=5-4x(x-2)+4x^2;$

$B=x(2x^2-3)-x^2(5x+1)+x^2;$

$C=2x(3x^3-x)-4x^2(x-x^2+1)+(x-3x^2)x;$

$D=4x(x^2-x+3)-(x-6)(x-5).$

Bài 7. Thực hiện phép chia sau:

a) $(x^3-x^2-7x+3):(x-3)$.

b) $(2x^4-3x^3-3x^2+6x-2):(x^2-2)$.

c) $(3x^4+x^3+6x-5):(x^2+1)$.

d) $(2x^4-x^3+2x-1):(x^2-x+1)$.

Bài 8. Cho hai đa thức $P(x)=x^4-2x^3+x^2-3x+a$ và $Q(x)=x-2$. Xác định hệ số $a$ sao cho với mọi giá trị của $x$ thì $P(x)$ chia hết cho đa thức $Q(x)$.

Bài 9. Tìm các hệ số $a,b$ sao cho đa thức $x^3+ax+b$ chia hết cho đa thức $x-2$ và chia cho đa thức $x+1$ còn dư $-9$.

Bài 10. Ba lớp 7A, 7B, 7C được giao nhiệm vụ trồng $120$ cây để phủ xanh đồi trọc. Tính số cây trồng được của mỗi lớp, biết số cây trồng được của ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ với $7$, $8$, $9$.

Bài 11. Số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C tương ứng tỉ lệ với $21; 20; 22$. Tính số học sinh của mỗi lớp, biết rằng lớp 7C có nhiều hơn lớp 7A là $2$ học sinh.

Bài 12. Một khu đất hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng tỉ lệ với $8$ và $5$. Diện tích khu đất đó bằng $360\,\text{m}^2$. Tính chiều dài và chiều rộng của khu đất.

Bài 13. Ba xưởng may cần hoàn thành $720$ bộ quần áo trong một khoảng thời gian nhất định. Xưởng A có $12$ công nhân, xưởng B có $13$ công nhân, xưởng C có $11$ công nhân. Tính số bộ quần áo mỗi xưởng phải may biết mỗi công nhân đều may số bộ quần áo như nhau.

Bài 14. Cho biết $30$ người thợ xây xong một ngôi nhà hết $90$ ngày. Hỏi $15$ người thợ xây ngôi nhà đó hết bao nhiêu ngày? (Giả sử năng suất làm việc của mỗi người thợ là như nhau.)

Bài 15. Ba lớp 7A, 7B, 7C được phân công lao động với khối lượng công việc như nhau. Lớp 7A, 7B, 7C lần lượt hoàn thành công việc trong $3$ giờ, $4$ giờ, $5$ giờ. Tính số học sinh của mỗi lớp, biết rằng tổng số học sinh của ba lớp là $94$ học sinh. (Giả sử năng suất lao động của mỗi học sinh là như nhau.)

Bài 16. Một xe ô tô chạy từ A đến B gồm ba chặng đường bằng nhau. Vận tốc trên mỗi chặng lần lượt là $72\,\text{km/h}$, $60\,\text{km/h}$, $40\,\text{km/h}$. Biết tổng thời gian xe chạy từ A đến B hết $4$ giờ. Tính thời gian ô tô chạy trên từng chặng và tính quãng đường AB.

Bài 17. Ba đội máy cày làm việc trên $3$ cánh đồng có diện tích bằng nhau. Đội I hoàn thành công việc trong $4$ ngày, đội II trong $6$ ngày, đội III trong $5$ ngày. Biết rằng đội III có ít hơn đội I ba máy. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy? (Giả thiết năng suất mỗi máy như nhau và mỗi ngày làm cùng một thời gian.)

Bài 18. Một hộp sữa hình hộp chữ nhật có kích thước như sau: chiều dài là $10\,\text{cm}$, chiều rộng là $5\,\text{cm}$ và chiều cao là $22\,\text{cm}$, có ghi thể thích thực là $1$ lít.

a) Tính chiều cao của lượng sữa trong hộp sữa đó.

b) Trong quá trình làm chiếc hộp, dự tính hao hụt khoảng $10\%$ nguyên liệu. Tính diện tích bìa cứng thực tế để làm chiếc hộp đó.

Bài 19. Một cái lều ở trại hè có dạng lăng trụ đứng tam giác có kích thước như hình vẽ. Đáy lăng trụ là tam giác cân có cạnh đáy $3\,\text{m}$, chiều cao ứng với cạnh đáy là $2\,\text{m}$ và hai cạnh bên dài $2{,}5\,\text{m}$; chiều dài lều là $5\,\text{m}$.

a) Tính thể tích khoảng không ở bên trong lều.

b) Tính diện tích vải bạt cần có để dựng lều đó là bao nhiêu? (Không tính các mép và nếp gấp của lều.)

Bài 20. Một căn phòng rộng $4\,\text{m}$, dài $6\,\text{m}$, cao $2{,}5\,\text{m}$. Người ta muốn quét vôi trần nhà và bốn bức tường. Biết tổng diện tích các cửa bằng $12\%$ tổng diện tích $4$ bức tường và trần nhà.

a) Tính diện tích cần quét vôi.

b) Biết chi phí mỗi $\text{m}^2$ quét vôi là $50\ 000$ đồng. Tính số tiền phải trả để quét vôi căn phòng đó.

Bài 21. Một chiếc bánh ngọt có dạng hình lăng trụ đứng tam giác kích thước như hình vẽ. Đáy là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông dài $4\,\text{cm}$ và $3\,\text{cm}$; chiều cao lăng trụ là $8\,\text{cm}$.

a) Tính thể tích chiếc bánh.

b) Nếu phải làm một chiếc hộp hình hộp chữ nhật bằng giấy cứng có chiều dài $9\,\text{cm}$, rộng $4\,\text{cm}$ và cao $6\,\text{cm}$ để đựng chiếc bánh thì cần dùng bao nhiêu $\text{cm}^2$ giấy cứng (coi mép dán không đáng kể)?

Bài 22. Một bể cá dạng hình hộp chữ nhật làm bằng kính (không có nắp) có chiều dài $80\,\text{cm}$, chiều rộng $50\,\text{cm}$, chiều cao $45\,\text{cm}$. Mực nước ban đầu trong bể cao $35\,\text{cm}$.

a) Tính diện tích kính dùng để làm bể cá đó.

b) Người ta cho vào bể một hòn đá có thể tích $10\,\text{dm}^3$. Hỏi mực nước trong bể lúc này cao bao nhiêu?

Bài 23. Một bể bơi có chiều dài $12\,\text{m}$, chiều rộng $5\,\text{m}$ và sâu $2{,}75\,\text{m}$.

a) Hỏi người thợ phải dùng bao nhiêu viên gạch men hình chữ nhật để lát đáy và xung quanh thành của bể đó? Biết rằng diện tích mạch vữa ko đáng kể và mỗi viên gạch men có chiều dài $25\,\text{cm}$, chiều rộng $20\,\text{cm}$.

b) Lúc đầu mức nước trong bể có chiều cao $1\,\text{m}$. Người ta mở hai chiếc vòi nước có công suất chảy như nhau chảy vào bể, mỗi giờ chảy được $500$ lít. Hỏi sau thời gian bao lâu thì bể đầy nước?

Bài 24. Cho $\triangle ABC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $D$ sao cho $MD=MA$.

a) Chứng minh $\triangle ABM=\triangle DCM$.

b) Chứng minh $AB\parallel CD$.

c) Chứng minh $AM<\dfrac{AB+AC}{2}$.

d) Gọi $T$, $P$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Chứng minh rằng $M$ là trung điểm của $TP$.

Bài 25. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $CP$ và $BQ$ là các đường phân giác trong của tam giác $ABC$ $(P\in AB,Q\in AC)$. Gọi $O$ là giao điểm của $CP$ và $BQ$. Chứng minh rằng:

a) Tam giác $OBC$ là tam giác cân.

b) Đường thẳng $AO$ vuông góc với $BC$.

c) $CP=BQ$.

d) $\triangle APQ$ là tam giác gì? Vì sao?

Bài 26. Cho tam giác $ABC$. Gọi $E$, $F$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $AB$, $AC$. Trên tia đối của tia $FB$ lấy điểm $P$ sao cho $PF=BF$. Trên tia đối của tia $EC$ lấy điểm $Q$ sao cho $QE=CE$.

a) Chứng minh $\triangle AQE=\triangle BCE$, $\triangle APF=\triangle CBF$, từ đó suy ra $AP=AQ$.

b) Chứng minh ba điểm $P$, $A$, $Q$ thẳng hàng.

c) Chứng minh $BQ\parallel AC$ và $CP\parallel AB$.

d) Gọi $R$ là giao điểm của hai đường thẳng $PC$ và $QB$. Chứng minh rằng $AR$, $BP$, $CQ$ đồng quy.

Bài 27. Cho tam giác $ABC$ vuông ở $B$, có $\widehat A=60^\circ$. Phân giác $\widehat{BAC}$ cắt $BC$ ở $D$. Kẻ $DH\perp AC$ $(H\in AC)$.

a) Chứng minh $DB=DH$; $AD\perp BH$.

b) $HA=HC$.

c) $DC>AB$.

d) Gọi $S$ là giao điểm của $HD$ và $AB$. Gọi $E$ là trung điểm của $CS$. Chứng minh $A$, $D$, $E$ thẳng hàng.

Bài 28. Cho $\triangle EMN$ cân tại $E$ $(\widehat E<90^\circ)$, các đường cao $MA$, $NB$ cắt nhau tại $I$. Tia $EI$ cắt $MN$ tại $H$.

a) Chứng minh $\triangle AMN=\triangle BNM$.

b) Chứng minh $EH$ là đường trung tuyến của $\triangle EMN$.

c) Chứng minh $I$ cách đều $3$ cạnh của $\triangle ABH$.

d) Tìm điều kiện của tam giác $MEN$ để $I$ là trọng tâm của tam giác $ABH$.

Bài 29. Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, trung tuyến $AM$.

a) Chứng minh $\triangle AMB=\triangle AMC$.

b) Chứng minh $\triangle AMB$ vuông cân.

c) Lấy điểm $D$ và $E$ sao cho $A$ là trung điểm $DC$ và $B$ là trung điểm $AE$. Chứng minh $MD=ME$.

d) Gọi $K$ là giao điểm của $EM$ và $AC$; $H$ là giao điểm $DM$ và $AE$. Chứng minh $KH$ vuông góc với $DE$.

Bài 30. Cho tam giác $ABC$ nhọn, có $\widehat A=60^\circ$ và $AB<AC$. Hai điểm $D$ và $E$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$. Trung trực của đoạn thẳng $AB$, $AC$ cắt nhau tại $O$ và cắt đường thẳng $BC$ lần lượt tại $M$, $N$.

a) Chứng minh $\triangle ODA=\triangle ODB$.

b) Chứng minh $\triangle NOA=\triangle NOC$.

c) Chứng minh $AO$ là phân giác góc $NAM$.

d) Tính số đo góc $NAM$.

Bài 31. Cho $\triangle ABC$ nhọn, đường cao $AH$. Gọi $D$ và $E$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB$, $AC$. Lấy điểm $P$ sao cho $D$ là trung điểm $PH$; lấy điểm $Q$ sao cho $E$ là trung điểm $HQ$.

a) Chứng minh $AP=AQ$.

b) Chứng minh $\widehat{PAQ}=2\widehat{BAC}$.

c) Gọi $I$, $K$ là giao điểm của $PQ$ với $AB$, $AC$. Chứng minh $HA$ là tia phân giác $\widehat{IHK}$.

d) $CI$ cắt $AH$ tại $O$. Chứng minh $B$, $O$, $K$ thẳng hàng.

Bài 32. Cho $\triangle ABC$ cân tại $A$, và điểm $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Vẽ tia $Ax\parallel BC$; $Cy\parallel AB$ sao cho $Ax$ cắt $Cy$ tại $D$. Kéo dài $AM$ cắt tia đối của tia $Cy$ tại điểm $E$. Chứng minh rằng:

a) $\triangle ACB=\triangle CAD$; $AB=DC$.

b) $\triangle MBA=\triangle MCE$; $MA=ME$ và $EC=CD$.

c) Trên tia $Ax$ lấy $N$ sao cho $AN=BM$ và $G$ là giao điểm của $AC$ và $MD$. Chứng minh $E$, $G$, $N$ thẳng hàng.

d) Gọi $P$ là trọng tâm tam giác $ABC$, chứng minh $NG>AP$.

Bài 33. Cho tam giác $ABC$ nhọn, $AB>AC$, các đường cao $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Trên tia đối của các tia $AM$ và $AC$ lần lượt lấy các điểm $P$, $Q$ sao cho $AP=AM$, $AQ=AC$.

a) Chứng minh $\triangle ACM=\triangle AQP$.

b) Chứng minh $AH\perp PQ$.

c) Chứng minh $BQ=2AM$.

d) Gọi $N$ là giao điểm của $QM$ và $AB$. $J$ là trung điểm của $BM$. Chứng minh $P$, $N$, $J$ thẳng hàng.

Bài 34. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $AC>AB$. Kẻ $AH\perp BC$. Trên tia $HC$ lấy điểm $D$ sao cho $HD=HB$. Kẻ $CE\perp AD$ kéo dài.

a) Chứng minh $\triangle AHB=\triangle AHD$.

b) Chứng minh $\widehat{BAH}=\widehat{ACB}$.

c) Chứng minh $CB$ là tia phân giác của góc $ACE$.

d) Gọi giao điểm của $AH$ và $CE$ là $K$. Chứng minh $KD\parallel AB$.

e) So sánh $AC$ và $CD$.

Bài 35. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Trên tia đối của tia $BC$ lấy điểm $D$, trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $E$ sao cho $BD=CE$, kẻ $DH$ và $EK$ lần lượt vuông góc với các tia $AB$ và $AC$.

a) Tam giác $DEA$ là tam giác gì? Vì sao?

b) Chứng minh rằng $\triangle ADH=\triangle AEK$.

c) Gọi $O$ là giao điểm của $DH$ và $EK$. Chứng minh rằng tam giác $DOE$ cân.

d) Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng $A$, $I$, $O$ thẳng hàng.

Bài 36. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $\widehat A=60^\circ$. Tia phân giác của $\widehat{BAC}$ cắt $BC$ tại $E$. Kẻ $EK\perp AB$, $K$ thuộc $AB$. Kẻ $BD$ vuông góc với tia $AE$ ($D$ thuộc $AE$). Lấy điểm $M$ sao cho $C$ là trung điểm của $AM$. Chứng minh:

a) $AC=AK$ và $AE\perp CK$.

b) $KA=KB$.

c) $EB>AC$.

d) Ba đường thẳng $AC$, $BD$, $KE$ cùng đi qua một điểm. $K$, $E$, $M$ thẳng hàng.

Bài 37. Cho tam giác $ABC$ có $AB<AC$, hai đường cao $AD$ và $BE$ cắt nhau tại $H$ và có $AD=BE$.

a) So sánh $\widehat{BAD}$ và $\widehat{CAD}$.

b) Tam giác $ABC$ là tam giác gì? Vì sao?

c) Chứng minh rằng đường thẳng $CH$ là trung trực của $AB$.

d) Chứng minh $DE\parallel BA$.

e) Gọi $O$ là trung điểm của $CH$, chứng minh $OD=OE$.

Bài 38. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, trung tuyến $AM$. Trên tia đối của tia $BC$ lấy điểm $D$, trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $E$ sao cho $BD=CE$.

a) Chứng minh tam giác $AED$ cân tại $A$.

b) Chứng minh $AM$ là tia phân giác của góc $DAE$.

c) Từ $B$ và $C$ hạ $BH$, $CK$ theo thứ tự vuông góc với $AD$ và $AE$ ($H$ thuộc $AD$, $K$ thuộc $AE$). Chứng minh rằng $\triangle AHB=\triangle AKC$.

d) Chứng minh rằng $HK\parallel DE$.

e) Gọi $I$ là giao điểm của $HB$ và $AM$. Chứng minh rằng $AB\perp ID$.

f) Chứng minh rằng $HB$, $AM$, $CK$ cùng đi qua một điểm.

Bài 39. Cho tam giác $ABC$ nhọn, đường cao $AH$. Vẽ điểm $D$ sao cho $AB$ là trung trực của $HD$. Lấy điểm $E$ sao cho $AC$ là trung trực của $HE$, gọi $M$ là giao điểm của $DE$ với $AB$, $N$ là giao điểm của $DE$ với $AC$. Chứng minh rằng:

a) Tam giác $ADE$ cân.

b) $HA$ là tia phân giác của góc $MHN$.

c) $BN\perp AC$.

d) $AH$, $BN$, $CM$ đồng quy.

Bài 40. Cho đa thức $f(x)=ax^2+bx+c$ với $a,b,c$ là các số nguyên. Biết $f(-1)$, $f(0)$, $f(1)$ đều chia hết cho $3$, chứng minh rằng $f(x)$ chia hết cho $3$ với mọi giá trị nguyên của $x$.

Bài 41. Cho đa thức $f(x)=ax^2+bx+c$. Biết $f(-1)$, $f(0)$, $f(1)$ đều nhận giá trị là các số nguyên, chứng minh rằng $f(x)$ nhận giá trị là số nguyên với mọi giá trị nguyên của $x$.

Bài 42. Cho đa thức $f(x)$ thỏa mãn với mọi giá trị của $x$ ta đều có $x\cdot f(x+1)=(x+2)\cdot f(x)$. Chứng minh rằng $f(x)$ có ít nhất hai nghiệm.

Bài 43. Cho đa thức

$f(x)=(x+2)^2(x^4-x^3-4x^2+3).$

Tính hệ số tự do và tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn của $f(x)$.

Bài 44. Cho đa thức $f(x)=a\cdot x^2+bx+c$, xác định các hệ số $a,b,c$ biết:

a) $f(0)=2; f(1)=7; f(-2)=-14$.

b) $f(-2)=0$, $f(2)=0$ và $a$ lớn hơn $c$ là năm đơn vị.

Bài 45. Cho đa thức $f(x)=ax^2+bx+c$. Biết $f(-1)=2023$, $f(0)=2024$, $f(1)=2025$. Tính $f(2026)$?

Bài 46. Cho

$f(x)=a\cdot x^3+4x(x^2-1)+8$

và

$g(x)=x^3+4x(bx-1)+c-3,$

trong đó $a,b,c$ là các hằng số. Xác định $a,b,c$ để $f(x)=g(x)$.

Bài 47. Cho đa thức bậc hai $P(x)=a\cdot x^2+bx+c$, biết rằng $P(x)$ thỏa mãn cả hai điều kiện sau:

$P(0)=-2;\qquad 4P(x)-P(2x-1)=6x-6.$

Chứng minh rằng $a+b+c=0$ và xác định đa thức $P(x)$.

Bài 48. Cho đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên. Biết $P(1)$, $P(2)$, $P(3)$, $\ldots$, $P(2023)$ chia hết cho $2023$. Chứng minh rằng $P(x)$ chia hết cho $2023$ với mọi giá nguyên của $x$.

Bài 49. Cho đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên thỏa mãn $P(0)=P(1)=2$. Chứng minh $P(7)$ không thể là số chính phương.

Bài 50. Cho $P(x)=ax^2+bx+c$. Biết rằng $5a+b+2c=0$. Chứng minh $P(2)\cdot P(-1)\le 0$.

Bài 1. Cho đa thức:

$M(x)=2x^4+2x^3-5x-10+3x^2+2x^3$

và

$N(x)=4x^4-7+4x^3-x(2x^3+5)+9.$

a) Thu gọn đa thức $M(x)$, $N(x)$ và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tìm bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của đa thức $M(x)$.

c) Tính $M(x)+N(x)$.

d) Tính $Q(x)=M(x)-N(x)$.

e) Tìm nghiệm của đa thức $Q(x)$.

f) Tìm thương và dư trong phép chia $M(x)$ cho $(x^2-2x+1)$.

Bài 2. Cuối năm, lớp 7A có $39$ học sinh được xếp loại học lực gồm $3$ loại Tốt, Khá, Đạt. Nếu loại Tốt bớt đi $3$ học sinh, loại Khá thêm $1$ học sinh, loại Đạt thêm $2$ học sinh thì số học sinh loại Tốt, Khá, Đạt tỉ lệ nghịch với $4$, $3$, $2$. Tính số học sinh ở mỗi loại của lớp 7A.