Làm thử Hướng dẫn ôn tập Cuối kì 2 · Toán 9 · THCS Phan Bội Châu (Đà Nẵng) · 2025–2026

Bài 1.

a) Cho hàm số $y=ax^2$. Xác định hệ số $a$ biết rằng đồ thị của nó cắt đường thẳng $y=-2x+3$ tại điểm $A$ có hoành độ bằng $1$.

b) Trên cùng một mặt phẳng tọa độ $Oxy$, vẽ đồ thị của hai hàm số $y=-2x+3$ và $y=-x^2$.

Bài 2. Cho hai hàm số $y=\dfrac{1}{4}x^2$ có đồ thị $(P)$ và $y=\dfrac{1}{2}x+2$ có đồ thị $(d)$.

a) Vẽ đồ thị của các hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó.

c) Tìm các điểm thuộc đồ thị $(P)$ có tung độ $y=4$.

Bài 3. Một cái cổng có dạng hình parabol $y=-x^2$, chiều rộng $AB=4{,}8$ m. Chủ nhà muốn làm hai cánh cổng bằng gỗ, khi đóng lại là hình chữ nhật $CDEF$; phần còn lại làm xiên hoa inox. Hỏi chiều cao của cửa gỗ là bao nhiêu?

Hình vẽ cho biết $A,C,H,D,B$ thẳng hàng; $H$ là trung điểm của $AB$; $AC=DB=0{,}7$ m; $CF$ và $DE$ là hai cạnh đứng của cửa gỗ, còn $FE$ là cạnh trên.

Bài 4. Các ăng-ten parabol $y=ax^2$ $(a\ne0)$ thu sóng theo nguyên lý: mọi tia sóng song song với trục của parabol đều có tia phản xạ đi qua tiêu điểm $F$. Người ta chứng minh được rằng nếu đường thẳng vuông góc với trục của parabol tại $F$ cắt parabol tại hai điểm $A$ và $B$ thì $OF=\dfrac{1}{4}AB$, với $O$ là đỉnh của parabol. Tính độ dài đoạn $OF$ ứng với mô hình mặt cắt qua trục của một ăng-ten parabol $MON$ rộng $90$ cm và cao $9$ cm.

Hình minh họa gồm sơ đồ các tia sóng hội tụ tại $F$, ảnh một ăng-ten parabol và mô hình mặt cắt $MON$ đối xứng qua trục $OF$.

Bài 5. Cho phương trình $x^2-(2m-1)x+m(m-1)=0$, với $m$ là tham số.

a) Giải phương trình khi $m=1$.

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

c) Với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình, tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho $3x_1+2x_2=1$.

Bài 6. Tìm hai số $a$ và $b$ biết tổng và tích của chúng lần lượt là các nghiệm của phương trình $x^2-9x+20=0$.

Bài 7. Cho phương trình $x^2+2(m+1)x+m^2-2m+1=0$, với $m$ là tham số.

a) Giải phương trình khi $m=1$.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình có nghiệm.

c) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho $x_1+x_1x_2+x_2+5=0$.

Bài 8. Một hình chữ nhật có chiều dài gấp $3$ lần chiều rộng. Nếu cả chiều dài và chiều rộng cùng tăng thêm $5$ cm thì được một hình chữ nhật mới có diện tích bằng $153$ cm². Tìm chu vi hình chữ nhật ban đầu.

Bài 9. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn chưa có nước thì sau $18$ giờ đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai $27$ giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi mất bao lâu mới chảy đầy bể?

Bài 10. Một ca nô xuôi dòng $50$ km rồi ngược dòng $30$ km. Biết thời gian xuôi dòng lâu hơn thời gian ngược dòng là $30$ phút và vận tốc xuôi dòng lớn hơn vận tốc ngược dòng là $5$ km/h. Tính vận tốc lúc đi xuôi dòng.

Bài 11. Thời gian giải bài toán (tính theo phút) của học sinh lớp 9 được ghi lại trong bảng sau:

$3,10,9,8,10,9,5;\ 4,8,7,8,10,9,6;\ 8,8,6,6,8,8,8$.

a) Lập bảng tần số của mẫu số liệu trên.

b) Lập bảng tần số tương đối của mẫu số liệu đó.

c) Vẽ biểu đồ tần số tương đối dạng hình quạt tròn của mẫu số đó.

Bài 12. Túi $A$ chứa $4$ tấm thẻ được đánh số $1,2,3,4$. Túi $B$ chứa $4$ viên bi với các màu xanh, đỏ, tím, vàng. Từ túi $A$ rút ngẫu nhiên một tấm thẻ, đồng thời từ túi $B$ lấy ngẫu nhiên một viên bi.

a) Phép thử là gì?

b) Có bao nhiêu kết quả có thể? Mô tả không gian mẫu của phép thử.

Bài 13. Bạn Bình gieo một đồng xu cân đối và bạn Thịnh gieo một con xúc xắc cân đối. Tính xác suất của các biến cố sau:

a) $E$: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp và số chấm xuất hiện trên con xúc xắc lớn hơn $3$”;

b) $F$: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa hoặc số chấm xuất hiện trên con xúc xắc lớn hơn $3$”.

Bài 14. Cho đường tròn $(O)$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Qua $M$ kẻ hai đường thẳng: đường thẳng thứ nhất cắt đường tròn $(O)$ tại $A$ và $B$; đường thẳng thứ hai cắt đường tròn tại $C$ và $D$. Chứng minh rằng $MA\cdot MB=MC\cdot MD$.

Bài 15. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $AB=4a$, và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có bán kính $R=\dfrac{5a}{2}$. Tính cạnh $AC$ theo $a$.

Bài 16. Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$ có bán kính $R=\dfrac{4a\sqrt{3}}{3}$.

a) Tính các cạnh của tam giác $ABC$ theo $a$.

b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp của $ABC$ theo $a$.

Bài 17. Cho điểm $M$ nằm ngoài đường tròn tâm $O$. Vẽ các tiếp tuyến $MA,MB$ của đường tròn $(O)$ với $A,B$ là các tiếp điểm. Vẽ cát tuyến $MCD$ không đi qua tâm $O$ ($C$ nằm giữa $M$ và $D$); $OM$ cắt $AB$ tại $H$. Gọi $E$ là trung điểm của $CD$. Chứng minh:

a) Bốn điểm $A,B,O,M$ cùng thuộc một đường tròn;

b) Bốn điểm $A,B,O,E$ cùng thuộc một đường tròn;

c) $OH\cdot OM+MC\cdot MD=MO^2$.