Làm thử Đề minh họa Toán chuyên vào lớp 10 · Trường Phổ thông Năng khiếu ĐHQG-HCM · 2026–2027

Bài 1. (2 điểm)

1. Giải hệ phương trình $\begin{cases}x^3+z^3=3y,\\y^3+x^3=3z,\\z^3+y^3=3x.\end{cases}$

2. Cho hai số nguyên dương $a,b$ phân biệt. Chứng minh phương trình $(\sqrt{x}-1)\left[x^2-2(a+b)x+ab+2\right]=0$ có đúng ba nghiệm.

Bài 2. (1,5 điểm) Cho hai số thực không âm $a,b$ thỏa $a+b=2$. Chứng minh $\frac72\leq\frac1{a^3+b^3}+\frac3{ab}\leq\frac7{2ab}.$

Bài 3. (2 điểm) Cho hai số tự nhiên $a,b$ thỏa mãn $2a^2+a=3b^2-b$.

a) Chứng minh rằng nếu $b$ là số nguyên tố thì $a=b$.

b) Chứng minh rằng $2a-2b+1$ là số chính phương.

Bài 4. (3 điểm) Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$, tam giác $ABD$ nhọn và đường chéo $AC$ đi qua tâm $O$. Gọi $I$ là trung điểm $BD$, $H$ là trực tâm tam giác $ABD$, $E$ là giao điểm khác $A$ của $AI$ với $(O)$ và $K$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $AI$.

a) Chứng minh $CEHK$ là hình bình hành và $IB^2=ID^2=IA\cdot IK$.

b) Lấy $F$ trên cung nhỏ $BD$ của $(O)$ sao cho $\widehat{BAF}=\widehat{DAI}$. Chứng minh $K$ và $F$ đối xứng nhau qua $BD$.

c) Chứng minh các đường phân giác trong của $\widehat{BAD}$ và $\widehat{BKD}$ cắt nhau trên $BD$.

d) Trên đường thẳng qua $H$ và song song với $AC$, lấy $T$ sao cho $TH=TK$. Chứng minh $O,K,F,T$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài 5. (1,5 điểm) Cho các số nguyên dương $a_1<a_2<a_3<\cdots<a_{30}<a_{31}$. Ghi 31 số này lên 31 thẻ, mỗi thẻ ghi một số.

a) Biết tổng các số trên 16 thẻ bất kỳ luôn lớn hơn tổng các số trên 15 thẻ còn lại. Chứng minh $a_1\geq226$.

b) Lấy $a_1,a_2,\ldots,a_{31}$ là 31 số nguyên dương đầu tiên $1,2,\ldots,31$ và bỏ ngẫu nhiên 31 thẻ vào hai hộp. Khi kiểm tra một hộp, thấy rằng trong hộp đó không có hai thẻ nào có tổng là số chính phương. Chứng minh trong hộp còn lại có thể chọn bốn thẻ và chia thành hai cặp sao cho tổng hai số trên mỗi cặp là số chính phương.