Làm thử Tuyển sinh vào 10 · Nam Định · Toán · 2023

Câu 1a. (1,0 điểm) Giải phương trình sau: $\dfrac{2}{\sqrt{2}}\,x + \sqrt{2}\,x = 4$

Câu 1b. (1,0 điểm) Giải phương trình sau: $x^4 - 18x^2 + 81 = 0$

Câu 1c. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} x + 3y = -2 \\ 2x - 4y = 16 \end{cases}$

Câu 2a. (1,0 điểm) Cho hai hàm số $y = f(x) = x^2$ và $y = g(x) = 3ax - a^2$ với $a \neq 0$ là tham số.

Vẽ đồ thị hàm số $y = f(x) = x^2$ trên hệ trục tọa độ $Oxy$.

Câu 2b. (0,75 điểm) Cho hai hàm số $y = f(x) = x^2$ và $y = g(x) = 3ax - a^2$ với $a \neq 0$.

Chứng minh rằng đồ thị hai hàm số đã cho luôn có hai giao điểm.

Câu 2c. (0,75 điểm) Với hàm số $y = f(x) = x^2$ và $y = g(x) = 3ax - a^2$ ($a \neq 0$), gọi $y_1;\,y_2$ là tung độ của hai giao điểm của hai đồ thị. Tìm $a$ để $y_1 + y_2 = 28$.

Câu 3a. (0,5 điểm) Cho phương trình bậc hai $x^2 - 2mx + 2m - 3 = 0$ ($m$ là tham số).

Giải phương trình khi $m = 0{,}5$.

Câu 3b. (0,5 điểm) Cho phương trình bậc hai $x^2 - 2mx + 2m - 3 = 0$ ($m$ là tham số).

Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Câu 4a. (1,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$) nội tiếp trong đường tròn $(O)$ tâm $O$ đường kính $BC$. Đường thẳng qua $O$ vuông góc với $BC$ cắt $AC$ tại $D$.

Chứng minh rằng tứ giác $ABOD$ nội tiếp.

(Hình vẽ tham khảo từ đáp án chính thức đính kèm bên dưới)

Câu 4b. (1,0 điểm) (Cùng hình vẽ câu 4a — tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ đường kính $BC$.)

Tiếp tuyến tại điểm $A$ với đường tròn $(O)$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $P$, cho $PB = BO = 2\,\text{cm}$.

Tính độ dài đoạn $PA$ và số đo góc $\widehat{APC}$.

(Hình vẽ tham khảo từ đáp án chính thức đính kèm bên dưới)

Câu 4c. (0,5 điểm) (Cùng hình vẽ câu 4a, 4b — $P$ là giao của tiếp tuyến tại $A$ với đường thẳng $BC$.)

Chứng minh rằng $\dfrac{PB}{PC} = \dfrac{BA^2}{AC^2}$.

Câu 5a. (0,5 điểm) Cây bạch đàn mỗi năm cao thêm $1\,\text{m}$, cây phượng mỗi năm cao thêm $50\,\text{cm}$ $(= 0{,}5\,\text{m})$. Lúc mới vào trường học, cây bạch đàn cao $1\,\text{m}$ và cây phượng cao $3\,\text{m}$. Giả sử tốc độ tăng trưởng chiều cao của hai loại cây không đổi qua các năm.

Gọi $x$ là số năm tính từ lúc mới vào trường ($x > 0$). Viết hàm số biểu diễn chiều cao mỗi loại cây theo số năm $x$.

Câu 5b. (0,5 điểm) (Cùng bài toán câu 5a — tốc độ tăng trưởng của cây bạch đàn $1\,\text{m/năm}$, cây phượng $0{,}5\,\text{m/năm}$; lúc ban đầu bạch đàn $1\,\text{m}$, phượng $3\,\text{m}$.)

Sau bao nhiêu năm so với lúc mới vào trường thì cây bạch đàn sẽ cao hơn cây phượng?

Câu 4d. (Cùng giả thiết Câu 4a.) Chứng minh $AB \cdot AC = 2R \cdot AH$.

Câu 5. Chứng minh $a\sqrt{b-1} + b\sqrt{a-1} \leq ab$ với $a,\, b \geq 1$.

Hệ số góc của đường thẳng $y = \dfrac{3}{2} - x$ là

Kết quả của phép tính $\sqrt{3^2} + \sqrt{(-3)^2}$ bằng

Trong hình vẽ dưới đây, cho $\widehat{AOB} = 100°$; $Ax$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$. Số đo $\widehat{xAB}$ bằng (Hình vẽ: đường tròn tâm $O$, tiếp tuyến $Ax$ tại điểm $A$, dây $AB$, góc $\widehat{AOB}=100°$ hiển thị trong hình.)