Làm thử Giữa kì 1 · Toán 12 · THPT Nguyễn Trân (Bình Định) · 2024–2025 · Mã đề 103

Câu 1. Trong các hàm số sau, hàm nào đồng biến trên $\mathbb{R}$?

Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = -x^3 + 3x - 3$ trên $[-2; 2]$ là

Câu 3. Giá trị cực tiểu của hàm số $y = e^{x^2 - 2x + 2024}$ là

Câu 4. Cho hàm số $y = x + \dfrac{1}{x}$ có bảng biến thiên như sau. Giá trị của biểu thức $S = a + 2b + 3c$ bằng bao nhiêu?

(Bảng biến thiên: $x$ từ $-\infty$ đến $a$, đến $b$, đến $c$, đến $+\infty$; $y'$ dương–$0$–âm trên nhánh trái; âm–$0$–dương trên nhánh phải; $y$ tăng lên $-2$ rồi giảm về $-\infty$ | nhảy từ $+\infty$ giảm về $2$ rồi tăng lên $+\infty$.)

Câu 5. Cho hàm số $y = x^3 - 3x$ có giá trị cực đại và cực tiểu lần lượt là $y_1$, $y_2$. Khi đó

Câu 6. Cho hàm số $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$. Hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ sau (đồ thị đường cong bậc ba đi từ trên xuống, tiếp xúc trục hoành nhưng không cắt qua — chỉ cắt đúng một lần). Đồ thị hàm số $y = f(x)$ có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 7. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x+2}{x-1}$ là

Câu 8. Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích $S$ thì hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Câu 9. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1; 3]$ và có đồ thị như hình vẽ bên (đồ thị: tại $x=-1$ giá trị khoảng $2$; tăng lên cực đại khoảng $2$ tại $x=1$; giảm về cực tiểu khoảng $-2$ gần $x=2$; tăng lên $3$ tại $x=3$). Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[-1; 3]$. Giá trị của $M - m$ bằng

Câu 10. Hàm số $y = \dfrac{2x+3}{x+1}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 11. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên trên $(-3; 5]$ như sau (bảng biến thiên: $y'>0$ trên $(-3;-1)$, $y'(-1)=0$, $y'<0$ trên $(-1;2)$, $y'(2)=0$, $y'>0$ trên $(2;5]$; $y$ tại $-3$: tiếp cận $-5$; tại $-1$: $2$; tại $2$: $-3$; tại $5$: $7$). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Câu 12. Ông A dự định sử dụng hết $8\text{ m}^2$ kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng. Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 13. Đồ thị của hàm số $y = -2x^3 + 3x^2 - 5$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

Câu 14. Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = x + \dfrac{1}{x+2}$ là

Câu 15. Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 + x + 5}{x + 2}$ là

Câu 16. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số được cho bảng biến thiên sau (bảng: $y$ từ $0$ giảm về $-\infty$ khi $x\to 0^-$; nhảy từ $+\infty$ xuống $2$ tại $x=0$; giảm về $-2$ tại $x=1$; rồi tăng lên $+\infty$; $y(-\infty)=0$)?

Câu 17. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

$\begin{array}{c|ccccccccc} x & -\infty & & -3 & & -1 & & 1 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + & \end{array}$

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 19. Cho hàm số $y = \dfrac{2x+5}{x+1}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 20. Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình bên (đồ thị có hai tiệm cận đứng tại $x=a$ và $x=b$; trên $(a;b)$ hàm giảm từ $+\infty$ xuống cực tiểu cục bộ tại $x_1$, rồi tăng lên cực tiểu nữa tại $x_2$; hai nhánh phải ngoài $b$ và trái ngoài $a$ tăng lên $+\infty$). Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.

Câu 21. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau ($y'<0$ trên $(-\infty;1)$, $y'(1)=0$, $y'>0$ trên $(1;3)$, $y'(3)=0$, $y'<0$ trên $(3;+\infty)$; $y\to+\infty$ khi $x\to-\infty$, $y(1)=2018$, $y(3)=2020$, $y\to-\infty$ khi $x\to+\infty$). Xác định số nghiệm của phương trình $2f(x) = 2019$.

Câu 22. Một hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \neq 0$) có đồ thị như hình dưới đây (đồ thị đi qua gốc $O$, cực đại ở góc phần tư II, cực tiểu ở góc phần tư IV). Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu dưới đây?

Câu 23. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(a;b)$ khi và chỉ khi $f'(x)>0, \forall x\in(a;b)$.

B. Nếu $f'(x)\geq 0, \forall x\in(a;b)$ thì hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(a;b)$.

C. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(a;b)$ khi và chỉ khi $f'(x)\geq 0, \forall x\in(a;b)$.

D. Nếu $f'(x)>0, \forall x\in(a;b)$ thì hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(a;b)$.

Câu 24. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \dfrac{3}{x-2}$ là bao nhiêu?

Câu 25. Đồ thị sau đây là của hàm số nào? (Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-\dfrac{1}{2}$, tiệm cận ngang $y=\dfrac{1}{2}$, đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$.)

Câu 26. Cho hàm số $y = f(x)$ có $\lim_{x\to+\infty} f(x)=1$; $\lim_{x\to-2} f(x)=-\infty$, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường nào dưới đây?

Câu 28. Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \dfrac{x^2+3}{x-1}$ trên đoạn $[2; 4]$ là

Câu 29. Một chất điểm chuyển động có phương trình $S = t^3 - 3t^2 - 9t + 2$, trong đó $t$ được tính bằng giây và $S$ được tính bằng mét. Gia tốc tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu là

Câu 30. Cho hàm số $y = \dfrac{ax^2+bx+c}{x+d}$ có đồ thị như hình vẽ (đồ thị: tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận xiên, đi qua điểm $(0;0)$ và $(-1;0)$ trên trục hoành, hai nhánh phân thức). Trong các số $a, b, c, d$ có bao nhiêu số có giá trị dương?

Câu 31. Cho các hàm số $f(x)=x^4+2018$, $g(x)=2x^5-2018$ và $h(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}$. Trong các hàm số đã cho, có tất cả bao nhiêu hàm số không có khoảng nghịch biến?

Câu 32. Đồ thị hàm số $y = \dfrac{3x+1}{x-1}$ có tâm đối xứng là

Câu 33. Một vật chuyển động có phương trình $s(t) = 3\cos t$. Khi đó, vận tốc tức thời tại thời điểm $t$ của vật là

Câu 34. Cho hàm số $y = f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ có đồ thị như Hình bên (đồ thị: cực đại tại điểm $(0; 2)$, cực tiểu tại $x=2$ với giá trị âm, hàm đi qua $O$ vùng trái dưới và lên $+\infty$ bên phải) và các mệnh đề sau: a) Hàm số $y=f(x)$ có hai điểm cực trị là $0$ và $2$. b) Giá trị $b$ bằng $0$. c) Giá trị $c=-2$. d) $f(x)=x^3-6x^2+2$. Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng?

Câu 35. Một nhà phân tích thị trường làm việc cho một công ty sản xuất thiết bị gia dụng nhận thấy rằng nếu công ty sản xuất và bán $x$ chiếc máy xay sinh tố hàng tháng thì lợi nhuận thu được (nghìn đồng) là $P(x) = -0{,}3x^3 + 36x^2 + 1800x - 48000$. Lợi nhuận lớn nhất mà công ty đạt được là bao nhiêu?

Phần II — Tự luận. Câu 1a. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 1 + x + \dfrac{4}{x}$ trên đoạn $[-3; -1]$.

Câu 1b. Tìm các điểm cực trị của hàm số $y = \sqrt{2x^{2}+1}$.

Câu 2a. Trong 3 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t)=-t^{3}+6t^{2}+t+5$ ($t$ tính bằng giây, $s$ tính bằng mét). Chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng bao nhiêu trong 3 giây đầu tiên đó?

Câu 2b. Một loại vi khuẩn được tiêm một loại thuốc kích thích sự sinh sản. Sau $t$ giây, số vi khuẩn được xác định theo công thức $N(t)=1000+30t^{2}-t^{3}\ (0\le t\le 30)$. Hỏi sau bao nhiêu giây thì số vi khuẩn lớn nhất?

Câu 3. Từ một miếng bìa có độ dài hai cạnh là $0{,}9$ m và $1{,}5$ m như hình bên. Bạn Minh cắt đi phần tô màu xám và gấp lại để được một hình hộp chữ nhật (đáy là hình vuông cạnh $x$). Tìm $x$ để hình hộp tạo thành có thể tích lớn nhất.

(Hình vẽ: tấm bìa kích thước $1{,}5\text{ m}\times 0{,}9\text{ m}$; phần màu xám ở bốn góc và viền xung quanh được cắt bỏ; phần trắng là mặt đáy hình vuông cạnh $x$ và các mặt bên khi gấp lên.)