Làm thử Giữa kì 2 · Toán 12 · THPT Yên Mô A (Ninh Bình) · 2024–2025 · Mã đề 101

Câu 1. Thời gian đọc sách của 32 học sinh lớp 12A trong một ngày được thống kê theo bảng số liệu ghép nhóm như sau:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên thuộc nhóm nào?

Câu 2. Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^x$ và $F(0) = 1$. Giá trị của $F(\ln 3)$ bằng:

Câu 3. Cho bảng số liệu ghép nhóm về chiều cao đo được của 30 học sinh lớp 12M đầu năm học 2024–2025 của trường THPT như sau:

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng:

Câu 4. Nếu $\displaystyle\int_{1}^{2} f(x)\,dx = 1$ và $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx = 2$ thì $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx$ bằng:

Câu 5. Trong không gian tọa độ $Oxyz$, véctơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P): 2x - y + z + 3 = 0$?

Câu 6. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{u} = (2;-1;-3)$, $\vec{v} = (1;3;-2)$. Tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$ bằng:

Câu 7. Tính tích phân $I = \displaystyle\int_{0}^{2}(2x+1)\,dx$.

Câu 8. Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(\alpha): x + 2y - z + 1 = 0$ đi qua điểm nào dưới đây?

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x-2}{-1} = \dfrac{y-1}{2} = \dfrac{z+3}{1}$. Véctơ nào dưới đây là một véctơ chỉ phương của $d$?

Câu 10. Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$. Tích phân từ $a$ đến $b$ của hàm số $f(x)$ được kí hiệu là:

Câu 12. Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng $K$ nếu:

[Phần II – Câu 1, ý a] Cho hàm số $f(x) = \dfrac{1}{x}$. Cho $F(1) = 1$, ta có $F(3) = \ln 3 + \dfrac{1}{2}$.

[Phần II – Câu 1, ý b] Cho hàm số $f(x) = \dfrac{1}{x}$. $F(x) = \displaystyle\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$.

[Phần II – Câu 1, ý c] Cho hàm số $f(x) = \dfrac{1}{x}$. $F(x) = \ln|x|$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{1}{x}$.

[Phần II – Câu 1, ý d] Cho hàm số $f(x) = \dfrac{1}{x}$. $\displaystyle\int_{1}^{3} \dfrac{1}{x}\,dx = \ln 3$.

[Phần II – Câu 2, ý a] Thống kê điểm trung bình môn toán cuối năm của lớp 12A ta được bảng ghép nhóm sau:

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $s \approx 1{,}34$.

[Phần II – Câu 2, ý b] Thống kê điểm trung bình môn toán cuối năm của lớp 12A ta được bảng ghép nhóm sau:

Cỡ của mẫu số liệu trên là 40.

[Phần II – Câu 2, ý c] Thống kê điểm trung bình môn toán cuối năm của lớp 12A ta được bảng ghép nhóm sau:

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $\Delta_Q = \dfrac{55}{24}$.

[Phần II – Câu 2, ý d] Thống kê điểm trung bình môn toán cuối năm của lớp 12A ta được bảng ghép nhóm sau:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng 4.

[Phần II – Câu 3, ý a] Trong không gian $(Oxyz)$ cho ba điểm $A(1;2;3)$, $B(-2;1;4)$, $C(0;-1;1)$. Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua điểm $A$ vuông góc với $AB$. Gọi $M(x;y;z)$ là điểm nằm trên mặt phẳng $(\alpha)$ sao cho $MB + MC$ đạt GTNN. Khi đó $S = x + y + z = \dfrac{36}{15}$.

[Phần II – Câu 3, ý b] Trong không gian $(Oxyz)$ cho ba điểm $A(1;2;3)$, $B(-2;1;4)$, $C(0;-1;1)$. Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua điểm $A$ vuông góc với $AB$. Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ là $\dfrac{2\sqrt{11}}{11}$.

[Phần II – Câu 3, ý c] Trong không gian $(Oxyz)$ cho ba điểm $A(1;2;3)$, $B(-2;1;4)$, $C(0;-1;1)$. Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua điểm $A$ vuông góc với $AB$. Mặt phẳng $(\alpha)$ có một véctơ pháp tuyến $\vec{n} = (3;1;-1)$.

[Phần II – Câu 3, ý d] Trong không gian $(Oxyz)$ cho ba điểm $A(1;2;3)$, $B(-2;1;4)$, $C(0;-1;1)$. Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua điểm $A$ vuông góc với $AB$. Mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình: $3x + y - z - 2 = 0$.

[Phần II – Câu 4, ý a] Cho hàm số $f(x)$, $g(x)$ liên tục trên khoảng $(-2;4)$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $(-2;4)$, biết $F(-1)=1$, $F(2)=4$ và $\displaystyle\int_{3}^{-1}g(x)\,dx=-4$, $\displaystyle\int_{-1}^{2}g(x)\,dx=3$.

$H = \displaystyle\int_{-1}^{2}\left(e^{1+\ln(f(x))}+4\right)dx = 3e+12$.

[Phần II – Câu 4, ý b] Cho hàm số $f(x)$, $g(x)$ liên tục trên khoảng $(-2;4)$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $(-2;4)$, biết $F(-1)=1$, $F(2)=4$ và $\displaystyle\int_{3}^{-1}g(x)\,dx=-4$, $\displaystyle\int_{-1}^{2}g(x)\,dx=3$.

$I = \displaystyle\int_{-1}^{2}f(x)\,dx = 3$.

[Phần II – Câu 4, ý c] Cho hàm số $f(x)$, $g(x)$ liên tục trên khoảng $(-2;4)$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $(-2;4)$, biết $F(-1)=1$, $F(2)=4$ và $\displaystyle\int_{3}^{-1}g(x)\,dx=-4$, $\displaystyle\int_{-1}^{2}g(x)\,dx=3$.

$J = \displaystyle\int_{-1}^{3}g(x)\,dx = 4$.

[Phần II – Câu 4, ý d] Cho hàm số $f(x)$, $g(x)$ liên tục trên khoảng $(-2;4)$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $(-2;4)$, biết $F(-1)=1$, $F(2)=4$ và $\displaystyle\int_{3}^{-1}g(x)\,dx=-4$, $\displaystyle\int_{-1}^{2}g(x)\,dx=3$.

$M = 9\displaystyle\int_{3}^{2}g(x)\,dx = 9$.

[Phần III – Câu 1] Hằng ngày ông Minh đi xe buýt từ nhà đến cơ quan. Khảo sát thời gian (phút) ông Minh đi xe buýt từ nhà đến cơ quan thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

[Phần III – Câu 2] Một chiếc ô tô đang chạy với vận tốc $72\,km/h$ thì người lái xe nhìn thấy chướng ngại vật trên đường cách đó $50\,m$, sau đó $1$ giây người lái xe hãm phanh khẩn cấp. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = -10t + 20$ (m/s), trong đó thời gian $t$ (giây) kể từ lúc hãm phanh. Quãng đường xe đi được kể từ lúc người lái xe nhìn thấy chướng ngại vật đến khi xe dừng hẳn là bao nhiêu mét?

[Phần III – Câu 3] Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;-3;2)$, $B(3;5;-2)$. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ có dạng $x + ay + bz + c = 0$. Tính tổng $S = a + b + c$.

[Phần III – Câu 4] Cho $\displaystyle\int_{1}^{2}\left[4f(x)-2x\right]dx=1$. Tính $\displaystyle\int_{1}^{2}f(x)\,dx$.

[Phần III – Câu 5] Hệ thống lọc nước bể bơi vô cùng quan trọng khi tiến hành xây dựng công trình bơi lội. Trong quá trình vận hành lọc nước, lượng nước trong bể thay đổi theo thời gian. Biết rằng 1 gallon $\approx 3{,}785$ lít, dung tích bể là 1000 gallon và thời điểm 6 giờ sáng bể chứa 250 gallon nước. Hàm số $f(t)$ biểu thị tốc độ thay đổi lượng nước trong bể (gallon/giờ) theo thời gian $t$ giờ, từ 6 giờ sáng đến 6 giờ chiều: $f(t) = \begin{cases} 100t & \text{khi } 0 \le t \le 3 \\ 900-200t & \text{khi } 3 \le t \le 6 \\ 100t-900 & \text{khi } 6 \le t \le 12 \end{cases}$ Hỏi ở thời điểm 6 giờ chiều ($t=12$) thì trong bể chứa bao nhiêu gallon nước?

[Phần III – Câu 6] Một phần mềm mô phỏng vận động viên tập bắn bia mục tiêu $(42\times42\,cm)$ bằng súng tiểu liên AK trong không gian $Oxyz$. Vận động viên đứng cách xa bia $100\,m$. Trục $d$ của nòng súng và cọc đỡ bia $d'$ có phương trình: $d:\begin{cases}x=t\\y=2\\z=4\end{cases}\quad\text{và}\quad d':\begin{cases}x=1\\y=2\\z=1+3t'\end{cases}.$ Để bắn trúng hồng tâm, vận động viên ngắm bắn vào điểm $N(a;b;c)\in d'$ cách giao điểm của $d$ và $d'$ một khoảng $6\,cm$. Khi $c<0$, tính giá trị biểu thức $a-b+c$.