Làm thử Cuối kì 2 · Toán 12 · THPT Hoàng Quốc Việt (Quảng Ninh) · 2024–2025 · Mã đề 101

Câu 1. Một vật chuyển động với vận tốc $10$ m/s thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là $a(t) = t^2 + 3t$. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $6$ giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc.

Câu 2. Mặt cầu $(S): (x+y)^2 = 2xy - z^2 + 1 - 4x$ có tâm là:

Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(4;0;1)$ và $B(-2;2;3)$. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ có phương trình là:

Câu 4. Tìm họ nguyên hàm của hàm số $y = x^2 - 3^x + \dfrac{1}{x}$.

Câu 5. Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = x^2 - 2x$, trục hoành, đường thẳng $x = 0$ và $x = 1$ quanh trục hoành bằng:

Câu 6. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;-2;3)$ và mặt phẳng $(P): 2x - y + 3z + 1 = 0$. Phương trình của đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $(P)$ là:

Câu 7. Phương trình mặt cầu có tâm $I(-1;2;-3)$, bán kính $R = 3$ là:

Câu 8. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho 2 mặt phẳng $(\alpha): x + y - z + 1 = 0$ và $(\beta): -2x + my + 2z - 2 = 0$. Tìm $m$ để $(\alpha)$ song song với $(\beta)$.

Câu 9. Cho đường thẳng $d: \begin{cases} x = 6+5t \\ y = 2+t \\ z = 1 \end{cases}$ và mặt phẳng $(P): 3x - 2y + 1 = 0$. Góc hợp giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ là:

Câu 10. Cho 2 đường thẳng $d_1: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z+1}{-1}$ và $d_2: \dfrac{x+1}{1} = \dfrac{y-2}{-2} = \dfrac{z+3}{1}$. Côsin góc giữa $d_1$ và $d_2$ là:

Câu 11. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y+5}{4} = \dfrac{z-2}{-1}$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của $d$?

Câu 12. Hai đường thẳng $d: \begin{cases} x=-1+12t \\ y=2+6t \\ z=3+3t \end{cases}$ và $d': \begin{cases} x=7+8t \\ y=6+4t \\ z=5+2t \end{cases}$ có vị trí tương đối là:

Câu 1 (Phần II) – ý a). Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta: \begin{cases} x=-2+t \\ y=2t \\ z=1-3t \end{cases}$ và điểm $M(2;-2;1)$.

Có duy nhất một điểm $I$ thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho $OI = \sqrt{5}$.

Câu 1 (Phần II) – ý b). Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta: \begin{cases} x=-2+t \\ y=2t \\ z=1-3t \end{cases}$ và điểm $M(2;-2;1)$.

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $M$ cắt và vuông góc với $\Delta$ là: $\begin{cases} x=2+2t \\ y=-2-2t \\ z=1 \end{cases}$.

Câu 1 (Phần II) – ý c). Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta: \begin{cases} x=-2+t \\ y=2t \\ z=1-3t \end{cases}$ và điểm $M(2;-2;1)$.

Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta'$ đi qua điểm $M$ và song song với $\Delta$ là $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-1}{-3}$.

Câu 1 (Phần II) – ý d). Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta: \begin{cases} x=-2+t \\ y=2t \\ z=1-3t \end{cases}$ và điểm $M(2;-2;1)$.

Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u_\Delta}=(1;2;-3)$.

Câu 2 (Phần II) – ý a). Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I(1;3;7)$. Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là $3$ km.

Phương trình mặt cầu $(S)$ để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là $(x+1)^2+(y+3)^2+(z+7)^2=9$.

Câu 2 (Phần II) – ý b). Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I(1;3;7)$. Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là $3$ km.

Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ $(5;6;7)$ thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

Câu 2 (Phần II) – ý c). Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I(1;3;7)$. Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là $3$ km.

Điểm $A(2;2;7)$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$.

Câu 2 (Phần II) – ý d). Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I(1;3;7)$. Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là $3$ km.

Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ $(2;2;7)$ thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

Câu 3 (Phần II) – ý a). Trong không gian $Oxyz$, gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $A(1;3;4)$, $B(2;-1;5)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q): 2x-3y+z+1=0$.

Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là $I\!\left(\dfrac{3}{2};1;\dfrac{9}{2}\right)$.

Câu 3 (Phần II) – ý b). Trong không gian $Oxyz$, gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $A(1;3;4)$, $B(2;-1;5)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q): 2x-3y+z+1=0$.

Mặt phẳng qua $A$ và song song với $(Q)$ có phương trình là $-2x+3y-z+3=0$.

Câu 3 (Phần II) – ý c). Trong không gian $Oxyz$, gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $A(1;3;4)$, $B(2;-1;5)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q): 2x-3y+z+1=0$.

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ là $\vec{n}=(-4;6;-2)$.

Câu 3 (Phần II) – ý d). Trong không gian $Oxyz$, gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $A(1;3;4)$, $B(2;-1;5)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q): 2x-3y+z+1=0$.

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là $-x+y+5z-22=0$.

Câu 4 (Phần II) – ý a). Cho hình phẳng $(S)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)=\sqrt{25-x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-5$, $x=5$.

Thể tích của khối tròn xoay khi quay $(S)$ quanh $Ox$ là $\dfrac{500}{3}\pi$.

Câu 4 (Phần II) – ý b). Cho hình phẳng $(S)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)=\sqrt{25-x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-5$, $x=5$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng $y=3$ bằng $K=2\displaystyle\int_0^4\sqrt{25-x^2}\,dx-12$.

Câu 4 (Phần II) – ý c). Cho hình phẳng $(S)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)=\sqrt{25-x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-5$, $x=5$.

Đạo hàm của hàm số $f(x)$ bằng $\dfrac{x}{\sqrt{25-x^2}}$.

Câu 4 (Phần II) – ý d). Cho hình phẳng $(S)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)=\sqrt{25-x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-5$, $x=5$.

Diện tích hình phẳng $(S)$ bằng $25\pi$.

Câu 1 (Phần III). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một cabin cáp treo ở Bà Nà Hill xuất phát từ điểm $A(-2;1;5)$ và chuyển động đều theo đường cáp (giả sử là đường thẳng) có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(0;-2;6)$ với tốc độ là $4$ m/s (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét). Giả sử sau $5$(s) kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm $M$. Gọi tọa độ $M(a;b;c)$. Tính $a+3b+c$.

Câu 2 (Phần III). Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline từ vị trí $A$ cao $20$ m của tháp 1 sang vị trí $B$ cao $17$ m của tháp 2. Với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho trước (đơn vị: mét), toạ độ của $A$ và $B$ lần lượt là $(3;4;20)$ và $(30;27;17)$. Giả sử toạ độ của du khách khi ở độ cao $18$ m là $(a;b;c)$. Tính $a+b$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 3 (Phần III). Công nghệ hỗ trợ trọng tài VAR (Video Assistant Referee) thiết lập một hệ toạ độ $Oxyz$ để theo dõi vị trí của quả bóng $B$. Cho biết $B$ đang nằm trên mặt sân có phương trình $z=0$, đồng thời thuộc mặt cầu $(S): (x-30)^2+(y-45)^2+(z-10)^2=125$ (đơn vị độ dài tính theo mét). Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của tâm $I$ của mặt cầu trên mặt sân. Khoảng cách từ vị trí $B$ của quả bóng đến $H$ bằng bao nhiêu?

Câu 4 (Phần III). Một người chạy trong $2$ giờ, vận tốc $v$ (km/h) phụ thuộc vào thời gian $t$ (h) có đồ thị là một phần của đường Parabol với đỉnh $I(1;5)$ và trục đối xứng song song với trục tung $Ov$ (đồ thị đi qua các điểm $(0;0)$ và $(2;0)$). Tính quãng đường (đơn vị: km) người đó chạy được trong $1$ giờ $30$ phút kể từ lúc bắt đầu chạy (kết quả làm tròn đến $2$ chữ số thập phân).

Câu 5 (Phần III). Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ. Các cây cột vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là $7$ m, $6$ m, $5$ m. Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài $4$ m. Hỏi mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà một góc bao nhiêu độ? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 6 (Phần III). Biết $\displaystyle\int_1^2 \dfrac{x-1}{x+3}\,dx = 1 + 4\ln\dfrac{a}{b}$ với $a,b\in\mathbb{Z}$ và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $2a+b$.