Làm thử Đề kiểm tra Học kì 2 · Toán 7 · Trường THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam · 2024–2025

Câu 1 · 3,0 điểm. Cho $P(x)=x^3-(3x-1)(x-2)-13x$ và $Q(x)=\frac12x^3-x(x+2)+5$. a) Thu gọn, sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến. b) Tìm $M(x)=P(x)-2Q(x)$ và $N(x)=(2-x)P(x)$. c) Chứng minh $M(x)$ vô nghiệm và tìm thương của phép chia $N(x)$ cho $x^2-x-2$.

Câu 2 · 2,0 điểm. a) Tìm tham số $a$ sao cho $x^3-9x^2+3ax-1$ chia cho $x-1$ được dư 2. b) Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên không vượt quá 2025. Tính xác suất số được viết ra chia hết cho cả 12, 15 và 36.

Câu 3 · 1,5 điểm. Ba bể nước hình lập phương có độ dài cạnh tỉ lệ nghịch với 5, 6, 15. Tổng thể tích ba bể là $75\,384\,\mathrm{m}^3$. Tìm độ dài cạnh của mỗi bể.

Câu 4 · 3,0 điểm. Cho $\triangle ABC$ có $AB=AC$ và $\widehat{BAC}=100^\circ$. Tia phân giác góc B cắt AC tại D; qua A kẻ đường vuông góc với BD, cắt BC tại I. a) Chứng minh BD là đường trung trực của AI. b) Trên tia đối của DB lấy K sao cho $DK=DA$; chứng minh $\triangle AIK$ đều. c) Chứng minh $BK=BC$. d) Lấy $E\in BD$; chứng minh $BC+EA>AB+EC$.

Câu 5 · 0,5 điểm. Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $\frac1x+\frac1y+\frac1z=\frac1{x+y+z}$. Tính $P=\frac1{x^n+y^n+z^n}-\left(\frac1{x^n}+\frac1{y^n}+\frac1{z^n}\right)+2025$, với $n$ là số tự nhiên lẻ.