Làm thử Học kì 2 · Toán 9 · THCS Nguyễn Du (Hà Nội) · 2025-2026

Bài I (2,0 điểm). Cho $A=\dfrac{2\sqrt x-1}{\sqrt x-1}$ và $B=\dfrac{x+3}{x-1}+\dfrac2{\sqrt x+1}$ với $x\ge0$, $x\ne1$.

a) Tính $A$ khi $x=4$.

b) Chứng minh $B=\dfrac{\sqrt x+1}{\sqrt x-1}$.

c) Đặt $P=A+B$. Tìm $x$ để $P\ge0$.

Bài II (1,5 điểm). Một xe máy và một ô tô cùng đi từ $A$ đến $B$, quãng đường dài 60 km. Vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy 20 km/h. Ô tô khởi hành sau xe máy 30 phút nhưng đến $B$ cùng lúc. Tính vận tốc xe máy bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Bài III (2,0 điểm).

1. Biểu đồ kèm theo ghi tần số ghép nhóm chiều cao của học sinh lớp 9A. a) Lập bảng tần số và tính sĩ số lớp. b) Tính tần số tương đối của nhóm $[160;170)$.

2. Hộp có ba viên bi xanh và một viên bi đỏ, các viên bi cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai viên. Tính xác suất lấy được một viên xanh và một viên đỏ.

3. Phương trình $x^2+4x-3=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$. Tìm mọi $m$ thỏa mãn $x_2^2-mx_2=x_1(m-x_1)$.

Bài IV (4,0 điểm).

1. Một cốc thủy tinh hình trụ có đường kính đáy 6 cm, chiều cao 15 cm, đang đựng nước; lấy $\pi\approx3{,}14$. a) Tính thể tích cốc. b) Thả một viên bi thủy tinh hình cầu chìm xuống đáy làm cột nước dâng thêm 2 cm và nước không tràn. Tính bán kính viên bi, làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai.

2. Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Lấy $C\in(O)$ sao cho $AC>BC$. Tiếp tuyến tại $A$ và tiếp tuyến tại $C$ cắt nhau ở $D$. a) Chứng minh tứ giác $ADCO$ nội tiếp. b) Kẻ đường kính $CF$; đường thẳng $DF$ cắt $(O)$ lần nữa tại $E$. Gọi $H=DO\cap AC$. Chứng minh $DE\cdot DF=DC^2$ và $\widehat{HEF}=\widehat{DOC}$. c) Gọi $M$ là trung điểm $DH$, $K=CM\cap FH$. Chứng minh $K\in(O)$.

Bài V (0,5 điểm). Một hộp quà hình hộp chữ nhật có đáy $ABCD$ là hình vuông như hình kèm theo. Hộp được mạ bốn mặt xung quanh và đáy dưới $MNPQ$, không mạ nắp. Thể tích hộp là $4\text{ dm}^3$. Tìm cạnh đáy $MN$ và chiều cao $AM$ để tổng diện tích được mạ nhỏ nhất.