Làm thử Kiểm tra học kì 2 · Toán 9 · THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam · 2024–2025

Bài 1 (1,5 điểm).

1. Biểu đồ biểu diễn tỉ lệ đại biểu tham dự một hội nghị theo độ tuổi: nhóm $[25;35)$ chiếm $33{,}75\%$, nhóm $[35;45)$ chiếm $28{,}75\%$, nhóm $[45;55)$ chiếm $26{,}25\%$ và nhóm $[55;65)$ chiếm $11{,}25\%$. Biết rằng có $54$ đại biểu có độ tuổi từ $25$ đến dưới $35$ tuổi.

a) Có bao nhiêu đại biểu tham dự hội nghị?

b) Lập bảng tần số ghép nhóm tương ứng.

1. Tấm bìa cứng $A$ hình tròn được chia thành $3$ hình quạt có diện tích bằng nhau, đánh số $1,2,3$. Tấm bìa cứng $B$ hình tròn được chia thành $5$ hình quạt có diện tích bằng nhau, đánh số $1,2,3,4,5$. Trục quay của tấm bìa $A$ và $B$ được gắn mũi tên ở tâm. Bạn An quay tấm bìa $A$, bạn Bảo quay tấm bìa $B$ và quan sát mũi tên dừng ở hình quạt nào trên hai tấm bìa. Tính xác suất của biến cố: “Tích hai số ở hình quạt mà hai mũi tên chỉ vào bằng một số có $2$ chữ số”.

Bài 2 (1,5 điểm). Cho hai biểu thức $A=\dfrac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-2},\qquad B=\dfrac{3\sqrt{x}-3}{x-\sqrt{x}-2}-\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}$ với $x\ge 0$, $x\ne 4$.

1. Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=9$.

2. Chứng minh $B=\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}$.

3. Tìm giá trị nguyên dương lớn nhất của $x$ để $A:B>\dfrac{x+5}{2}$.

Bài 3 (2,5 điểm).

1. Nhân dịp ngày Giỗ Tổ Hùng Vương, một siêu thị điện máy đã giảm giá nhiều mặt hàng để kích cầu mua sắm. Giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh và một chiếc tivi có tổng số tiền là $33$ triệu đồng. Trong dịp này, tủ lạnh giảm $20\%$ giá niêm yết và tivi giảm $25\%$ giá niêm yết. Thầy Anh đã mua hai mặt hàng trên với tổng số tiền $25{,}5$ triệu đồng. Hỏi giá niêm yết của mỗi mặt hàng là bao nhiêu?

2. Theo kế hoạch, một tổ trong xưởng may phải may xong $9100$ chiếc khẩu trang trong một thời gian quy định. Do tình hình dịch bệnh Covid-19 diễn biến phức tạp, tổ đã quyết định tăng năng suất nên mỗi ngày may được nhiều hơn $100$ chiếc khẩu trang so với số khẩu trang phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế, trước thời gian quy định $4$ ngày, tổ đã may được $7200$ chiếc khẩu trang. Hỏi số khẩu trang mà tổ phải may mỗi ngày theo kế hoạch là bao nhiêu?

3. Cho phương trình bậc hai $2x^2-mx-3=0$ ($m$ là tham số) có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$. Biết một trong hai nghiệm là $\dfrac{3-\sqrt{33}}{4}$, hãy tính giá trị của biểu thức $P=(x_1+1)(x_2+1)-2$.

Bài 4 (4,0 điểm).

1. Một hộp phô mai gồm có $8$ miếng, độ dày mỗi miếng là $2\text{ cm}$. Nếu xếp chúng lại trên một đĩa thì tạo thành chiếc bánh hình trụ có đường kính đáy bằng $10\text{ cm}$. Hỏi mỗi miếng phô mai có thể tích bao nhiêu $\text{cm}^3$? Lấy $\pi\approx3{,}14$.

2. Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, nội tiếp $(O)$. Lấy điểm $D$ bất kỳ trên cung nhỏ $AB$ ($D$ không trùng $A$ và $B$). Đường thẳng $CD$ cắt đường thẳng $AO$ ở $K$. Đường thẳng $AD$ và đường thẳng $BC$ cắt nhau tại $E$. Điểm $L$ là trung điểm đoạn thẳng $AE$.

a) Chứng minh đường thẳng $AO$ vuông góc với đường thẳng $BC$ và bốn điểm $D,B,O,K$ thuộc cùng một đường tròn.

b) Tính góc $EDB$ và chứng minh $AD\cdot AE=AC^2=BO\cdot BC$.

c) Tia phân giác góc $BDC$ cắt đường tròn tâm $L$ đường kính $AE$ ở $I$. Tia $ID$ cắt đường tròn $(L)$ tại giao điểm thứ hai là $J$. Chứng minh tứ giác $JBIC$ nội tiếp được trong một đường tròn và $\widehat{BJD}=\widehat{OJC}$.

Bài 5 (0,5 điểm). Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện gió ở vị trí $A$, nằm sát bờ biển, đến một hòn đảo ở vị trí $C$. Khoảng cách từ vị trí $C$ đến bờ biển là đoạn thẳng $BC$ bằng $4\text{ km}$ như hình vẽ. Bờ biển chạy thẳng từ vị trí $A$ đến vị trí $B$ với khoảng cách là $10\text{ km}$. Chi phí lắp đặt cho $1\text{ km}$ dây điện trên biển là $5$ tỉ đồng, còn lắp đặt $1\text{ km}$ trên đất liền chỉ là $3$ tỉ đồng. Xác định vị trí điểm $M$ (điểm bắt đầu nối dây từ đất liền ra đảo) trên đoạn thẳng $AB$ để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.