Làm thử Học kì 2 · Toán 9 · THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam · 2025–2026

Câu I. Khảo sát 40 học sinh về thời gian đi từ nhà đến trường cho bảng tần số tương đối: $[0;10)$: 30%, $[10;20)$: 45%, $[20;30)$: 25%. a) Xác định tần số tương đối và tần số của nhóm $[10;20)$. b) Tính xác suất chọn được học sinh có thời gian đi dưới 10 phút.

Câu II. Cho $A=(√x-2)/(√x-1)$ và $B=√x/(√x+1)+1/(1-√x)+2/(x-1)$, với $x≥0,x≠1$. a) Tính $A$ khi $x=9$. b) Chứng minh $B=(√x-1)/(√x+1)$. c) Đặt $P=A·B$. Tìm các số nguyên tố $x$ để $|P|+P=0$.

Câu III. 1) Lớp 9A có 35 học sinh. Chỉ 25% học sinh nam và 20% học sinh nữ không bị cận; tổng số học sinh bị cận là 27. Tính số học sinh nữ không bị cận. 2) Phương trình $x^2-4x+2=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$. Tìm $m$ sao cho $2x_1+3x_2+m=√(x_1^2+16x_2+4x_1x_2-8)$.

Câu IV. 1) Bể nước hình hộp chữ nhật dài $5$ m, rộng $3$ m, cao $2$ m. Cần ít nhất bao nhiêu bình trụ đường kính đáy $2$ m, cao $2$ m để chứa hết nước? 2) Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$, các đường cao $AD,BE,CF$ cắt tại $H$, $M$ là trung điểm $BC$. a) Chứng minh $B,E,F,C$ đồng viên và $HB·HE=HC·HF$. b) Qua $A$ kẻ đường thẳng song song $BC$, cắt $(O)$ lần hai tại $K$; $N$ đối xứng $M$ qua $D$. Chứng minh $AKMN$ là hình bình hành. c) Với $I$ là trung điểm $EF$, $J∈EF$ và $HI=HJ$, $AD$ cắt $(O)$ lần hai tại $P$. Chứng minh $△PBC∽△HFE$ và $∠FAJ=∠BKN$.

Câu V. Tam giác đều $ABC$ có cạnh $10$ m. Hình chữ nhật $MNPQ$ có $M,N∈BC$, $Q∈AB$, $P∈AC$. Tìm $MB$ để diện tích hình chữ nhật lớn nhất.