Làm thử Đề thi thử Toán vào lớp 10 (chung) · THPT chuyên Thái Nguyên · 2026–2027

Câu 1a (2,0 điểm — phần a). Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy giải phương trình $2x^{2}-5x+2=0$.

Câu 1b (2,0 điểm — phần b). Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy giải hệ phương trình $\begin{cases}3x-2y=5\\2x+y=-5\end{cases}$.

Câu 2a (1,0 điểm — phần a). Cho biểu thức $Q=\left(\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{2+5\sqrt{x}}{4-x}\right)$, với $x>0,\ x\neq4,\ x\neq25$. Rút gọn biểu thức $Q$.

Câu 2b (1,0 điểm — phần b). Với $Q=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}$ (kết quả rút gọn ở phần a), tìm $x$ để $Q<1$.

Câu 3a (1,0 điểm — phần a). Một nhà kho chứa đồ gia dụng có tổng cộng $1200$ thùng hàng. Mỗi ngày nhân viên sẽ lấy $30$ thùng hàng để đi phân phối cho các đại lý và kho không nhập thêm hàng mới trong suốt quá trình này. Gọi $y$ là số thùng hàng còn lại trong kho sau $x$ ngày. Hãy lập công thức tính $y$ theo $x$.

Câu 3b (1,0 điểm — phần b). (Cùng dữ kiện Câu 3a: $y=1200-30x$.) Để đảm bảo luôn có lượng hàng dự phòng cho các tình huống khẩn cấp, quản lý yêu cầu số thùng hàng còn lại trong kho không được ít hơn $150$ thùng. Hỏi nhân viên có thể phân phối hàng trong tối đa bao nhiêu ngày để vẫn thỏa mãn yêu cầu của quản lý?

Câu 4 (1,0 điểm). Để chuẩn bị cho ngày Tết thiếu nhi $1/6$ sắp đến, một nhóm học sinh cần chia đều một số lượng quyển vở thành các phần quà để tặng các em nhỏ tại một mái ấm tình thương. Nếu mỗi phần quà giảm đi $2$ quyển vở thì các em sẽ có thêm $2$ phần quà nữa, còn nếu mỗi phần quà giảm đi $4$ quyển vở thì các em sẽ có thêm $5$ phần quà nữa. Hỏi ban đầu có bao nhiêu phần quà và mỗi phần quà có bao nhiêu quyển vở?

Câu 5a (1,5 điểm — phần a). Tỉ lệ học sinh bình chọn cho danh hiệu cầu thủ xuất sắc nhất trong giải bóng đá của một trường THPT được cho trong bảng sau: Tuấn $23\%$, Trường $35\%$, An $27\%$, Minh $15\%$. Biết rằng có $600$ học sinh tham gia bình chọn. Hãy lập bảng tần số biểu diễn số học sinh bình chọn cho danh hiệu cầu thủ xuất sắc nhất trong giải bóng đá của trường.

Câu 5b (1,5 điểm — phần b). Một hộp có chứa ba viên bi màu vàng lần lượt ghi các số $1;2;3$ và ba viên bi màu xanh cũng lần lượt ghi các số $1;2;3$. Các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai viên bi trong hộp. Tính xác suất của biến cố: "Hai viên bi được lấy ra khác màu và khác số".

Câu 6a (2,0 điểm — phần a). Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Biết $AB=6\ (\text{cm})$ và $\widehat{BAH}=30^{\circ}$. Tính độ dài các đoạn thẳng $AC,\ BC,\ AH$.

Câu 6b (2,0 điểm — phần b). Từ một khúc gỗ hình trụ cao $30\ (\text{cm})$, người ta tiện thành một hình nón có đáy là hình tròn bằng với đáy hình trụ, chiều cao của hình nón bằng chiều cao của hình trụ. Biết phần gỗ bỏ đi có thể tích là $3125\pi\ (\text{cm}^{3})$. Tính thể tích khúc gỗ hình trụ ban đầu (kết quả làm tròn tới hàng đơn vị). (Hình minh họa: khối trụ với hình nón cùng đáy và cùng chiều cao được tiện bên trong.)

Câu 7a (1,5 điểm — phần a). Cho đường tròn $(O,R)$ và dây $AB$ ($AB$ không là đường kính). Gọi $N$ là trung điểm của $AB$. Qua $N$, kẻ đường kính $CD$ của đường tròn $(O)$ ($C$ thuộc cung nhỏ $AB$). Lấy điểm $M$ trên cung lớn $AB$ ($M\neq A, M\neq B, M\neq D$), $MC$ cắt $AB$ tại $F$. Hai đường thẳng $DM$ và $AB$ cắt nhau tại $E$. Chứng minh bốn điểm $M, N, C, E$ cùng thuộc một đường tròn.

Câu 7b (1,5 điểm — phần b). (Cùng giả thiết Câu 7a.) Gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $DF$ và $CE$. Chứng minh $NE$ là tia phân giác của $\widehat{MNI}$.

Câu 7c (1,5 điểm — phần c). (Cùng giả thiết Câu 7a, 7b.) Gọi $K$ là giao điểm của hai đường thẳng $MI$ và $CD$. Chứng minh rằng $\dfrac{KC}{KD}=\dfrac{CN}{DN}$.