Thi thử vào lớp 10 THPT Chuyên · Toán chuyên · Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội · Lần 2 · 2026 · THỬ
Câu 1/5·Đã trả lời 0/5
Bản làm thử: 0 câu đầu miễn phí, đăng ký để làm cả 5 câu.Đăng ký miễn phí
Câu 1 · Tự luận
2.5 điểm
**Câu 1 (2,5 điểm).**
**a)** Cho $a,b$ là các số thực thỏa mãn
$$ab+\sqrt{ab+1}+\sqrt{(a^2+b)(b^2+a)}=0.$$
Tính $S=a\sqrt{b^2+a}+b\sqrt{a^2+b}$.
**b)** Mỗi cạnh của một hình vuông được tô ngẫu nhiên bằng một trong ba màu xanh, đỏ hoặc vàng. Tính xác suất để hai cạnh kề nhau bất kì luôn khác màu.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 2 (2 điểm).**
**a)** Cho các số thực $a,b,c\ge1$. Chứng minh
$$\frac{\sqrt{ab-1}}{b+c}+\frac{\sqrt{bc-1}}{c+a}+\frac{\sqrt{ca-1}}{a+b}\le\frac{a+b+c}{4}.$$
**b)** Cho $f(x)=a^{2026}x^2+bx+a^{2026}c-1$, với $a,b,c$ là các số nguyên. Giả sử phương trình $f(x)=-2$ có hai nghiệm nguyên dương. Chứng minh $\dfrac{f(1)^2+f(-1)^2}{2}$ là hợp số.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 3 (1,5 điểm).** Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau $(a,b,c)$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$, biểu thức $(a^n+b^n+c^n)^2$ chia hết cho $ab+bc+ca$.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 4 (3 điểm).** Cho tam giác $ABC$ ($AB<AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$ và $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Đường tròn đường kính $AI$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $M$. Hai đường thẳng $AM$ và $BC$ cắt nhau tại $K$. Gọi $E$ là giao điểm thứ hai của $AI$ với $(O)$.
**a)** Chứng minh $KI\perp AI$.
**b)** Gọi $N$ là giao điểm thứ hai của $KE$ với $(O)$. Chứng minh
$$\frac{MC}{MB}\cdot\frac{NB}{NC}=\frac{AB}{AC}.$$
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu 5 (1 điểm).** Một khu vực được chia thành lưới $8\times8$ gồm 64 ô vuông. Một số ô được đặt camera. Một ô không có camera được giám sát đầy đủ nếu tổng số camera trên hàng và cột chứa ô đó không nhỏ hơn 8. Biết mọi ô không có camera đều được giám sát đầy đủ. Có thể có nhiều nhất bao nhiêu ô không có camera?
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 5 câu, AI chấm và phân tích ngay.
a) Cho a,b là các số thực thỏa mãn
ab+ab+1+(a2+b)(b2+a)=0.
Tính S=ab2+a+ba2+b.
b) Mỗi cạnh của một hình vuông được tô ngẫu nhiên bằng một trong ba màu xanh, đỏ hoặc vàng. Tính xác suất để hai cạnh kề nhau bất kì luôn khác màu.
Câu 2 (2 điểm).
a) Cho các số thực a,b,c≥1. Chứng minh
b+cab−1+c+abc−1+a+bca−1≤4a+b+c.
b) Cho f(x)=a2026x2+bx+a2026c−1, với a,b,c là các số nguyên. Giả sử phương trình f(x)=−2 có hai nghiệm nguyên dương. Chứng minh 2f(1)2+f(−1)2 là hợp số.
Câu 3 (1,5 điểm). Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau (a,b,c) sao cho với mọi số nguyên dương n, biểu thức (an+bn+cn)2 chia hết cho ab+bc+ca.
Câu 4 (3 điểm). Cho tam giác ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) và I là tâm đường tròn nội tiếp. Đường tròn đường kính AI cắt (O) tại điểm thứ hai M. Hai đường thẳng AM và BC cắt nhau tại K. Gọi E là giao điểm thứ hai của AI với (O).
a) Chứng minh KI⊥AI.
b) Gọi N là giao điểm thứ hai của KE với (O). Chứng minh
MBMC⋅NCNB=ACAB.
Câu 5 (1 điểm). Một khu vực được chia thành lưới 8×8 gồm 64 ô vuông. Một số ô được đặt camera. Một ô không có camera được giám sát đầy đủ nếu tổng số camera trên hàng và cột chứa ô đó không nhỏ hơn 8. Biết mọi ô không có camera đều được giám sát đầy đủ. Có thể có nhiều nhất bao nhiêu ô không có camera?