Làm thử Đề minh họa tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Đồng Tháp năm học 2026-2027

Bài 1 (4,0 điểm). Cho số thực $a=\sqrt{17-12\sqrt2}+2\sqrt2+6$ và biểu thức $P(x)=\left(\frac1{x-4}+\frac{3\sqrt{x}+10}{x\sqrt{x}-2x-4\sqrt{x}+8}\right)\left(\frac{(\sqrt{x}+2)^2}{2\sqrt{x}}-4\right),$ với $x>0$ và $x\ne4$.

a) Rút gọn $a$ và $P(x)$, sau đó tính giá trị của biểu thức $P(x)$ tại $x=a$.

b) Đặt $Q(x)=P(x)(x-\sqrt{x}+1)$ với $x>0$ và $x\ne1$. Chứng minh rằng $Q(x)>2$.

Bài 2 (3,0 điểm).

a) Một người đi xe đạp từ $A$ đến $B$ cách nhau $24$ km. Khi từ $B$ về $A$, nhờ xuôi chiều gió nên tốc độ lúc về nhanh hơn tốc độ lúc đi là $4$ km/h. Vì thế, thời gian về ít hơn thời gian đi là $30$ phút. Tính tốc độ của xe đạp khi đi từ $A$ đến $B$.

b) Giải hệ phương trình

Bài 3 (3,0 điểm).

a) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hàm số bậc hai $y=x^2$ có đồ thị là một parabol $(P)$ và đường thẳng $d:y=2(m-3)x-m+4.$ Chứng minh rằng parabol $(P)$ và đường thẳng $d$ luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$ với mọi giá trị thực của tham số $m$, và nếu hai hoành độ này dương thì chúng thỏa mãn $(x_1-2)(x_2-2)<0.$

b) Cho hai phương trình bậc hai với ẩn $x$: $x^2+x+m=0\quad\text{và}\quad x^2+mx+1=0,$ trong đó $m$ là tham số. Định $m$ để hai phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung.

Bài 4 (2,0 điểm). Cho $n$ số nguyên dương phân biệt tùy ý, không vượt quá $2025$.

a) Với $n=1014$, chứng minh luôn tồn tại ba số $a,b,c$ trong $n$ số đó sao cho $a=b+c$.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ để luôn tồn tại ba số $a,b,c$ trong $n$ số đó sao cho $a=b+c$.

Bài 5 (2,0 điểm). Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(a,k,m)$ thỏa mãn k^a+a^k=m^a+2a^m.\tag{1}

a) Chứng minh $k>m$.

b) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(a,k,m)$ thỏa mãn (1).

Bài 6 (4,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$, nội tiếp đường tròn tâm $(O)$. Trên đoạn thẳng $AB$ lấy điểm $D$ sao cho $BD=BC$. Vẽ $DH\perp AC$ tại $H$, tia phân giác của góc $CAB$ cắt $DH$ tại $K$ và cắt đường tròn $(O)$ tại $E$. Tia $CK$ cắt $AB$ tại $M$ và cắt đường tròn $(O)$ tại $F$. Tia $AC$ và tia $BE$ cắt nhau tại $N$.

a) Tính số đo của $\angle ANB$.

b) Chứng minh $\angle ADK=\angle AFM$.

c) Chứng minh $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AD$.

d) Đường phân giác của $\angle BCF$ cắt $BF$ tại $U$ và đường tròn $(O)$ tại $L$. Đường tròn tâm $(I)$ tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$ tại $S$, với $S$ thuộc cung nhỏ $BC$, và tiếp xúc với $BF$ tại $T$; đồng thời đường tròn $(I)$ cắt $CL$ tại $R,V$, trong đó $R$ nằm giữa $C$ và $V$. Tia $BV$ cắt $(O)$ tại $P$. Vẽ dây $PQ$ song song với $CF$. Chứng minh $B,R,Q$ thẳng hàng.

Bài 7 (2,0 điểm). Cho $x,y,z$ là các số thực dương.

a) Chứng minh $\sqrt{(x+y)(x+z)}\ge\sqrt{xy}+\sqrt{xz}.$

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{y+\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\frac{z}{z+\sqrt{(z+x)(z+y)}}.$