Làm thử Đề tham khảo tuyển sinh lớp 10 chuyên · Toán · Sở GD&ĐT Ninh Bình · 2026–2027

Câu 1. (2,0 điểm) 1) Cho $a,b,c$ là các số thực dương đôi một phân biệt, $a+b+c=5$ và $\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c=3$. Chứng minh $\frac{\sqrt c-\sqrt b}{a+2(\sqrt{bc}-1)}+\frac{\sqrt a-\sqrt c}{b+2(\sqrt{ac}-1)}+\frac{\sqrt a-\sqrt b}{c+2(\sqrt{ab}-1)}=\frac2{\sqrt b-\sqrt a}$. 2) Tìm đa thức $f(x)$ biết khi chia cho $x-2$ dư 2, chia cho $x-3$ dư 7, và chia cho $x^2-5x-6$ được thương $1-x^2$ và còn dư.

Câu 2. (2,0 điểm) 1) Giải phương trình $\frac{(x-2)(x^2-4x+3)}{\sqrt{2x-1}+1}=x^2-3x+2$. 2) Hai tỉnh $A,B$ cách nhau 150 km. Một ô tô đi từ $A$ đến $B$ và một xe máy đi từ $B$ về $A$, khởi hành cùng lúc và gặp tại $C$. Từ $C$ đến $B$ ô tô đi thêm 1 giờ, còn từ $C$ về $A$ xe máy đi thêm 2 giờ 15 phút. Tính vận tốc mỗi xe.

Câu 3. (3,0 điểm) Hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A,B$. Trên tia đối của tia $AB$ lấy $M$. Qua $M$ kẻ các tiếp tuyến $MC,MD$ đến $(O')$, với $D$ nằm trong $(O)$. Các đường $AC,AD$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $P,Q$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O')$ cắt $(O)$ tại $K$. Gọi $E=CD\cap BP$, $F=BK\cap AD$. Chứng minh: a) $B,D,E,F$ đồng viên; b) $\frac{CP}{DQ}=\frac{BC}{BD}=\frac{AC}{AD}$; c) $CD$ đi qua trung điểm của $PQ$.

Câu 4. (1,5 điểm) 1) Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa $(x+2y)(x+y)^2+3x+7y=2$. 2) Chứng minh nếu một số nguyên dương chia 4 dư 3 thì có ước nguyên tố chia 4 dư 3. 3) Chứng minh phương trình $y^2=x^3+11$ không có nghiệm nguyên.

Câu 5. (1,5 điểm) 1) Xét các số thực dương $x,y,z$ thỏa $y+z=x(y^2+z^2)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac1{(1+x)^2}+\frac1{(1+y)^2}+\frac1{(1+z)^2}+\frac4{(1+x)(1+y)(1+z)}$. 2) Cho 6 điểm trên mặt phẳng, khoảng cách giữa từng đôi một đều phân biệt. Nối mọi cặp điểm. Chứng minh tồn tại một đoạn vừa là cạnh nhỏ nhất của một tam giác, vừa là cạnh lớn nhất của một tam giác khác.