Làm thử Thi thử vào lớp 10 THPT Chuyên · Toán chuyên · Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội · Lần 1 · 2026

Câu 1a (1,0 điểm). Cho các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn $a\sqrt{2}+\sqrt{b^2+c^2}=2\sqrt{a^2+\dfrac{b^2+c^2}{2}}.$ Chứng minh rằng $\dfrac{a^2+bc}{2}$ là số chính phương.

Câu 1b (1,5 điểm). Trong một trại hè kỹ năng, mỗi thành viên tham gia ít nhất một trong hai hoạt động: Âm nhạc hoặc Thể thao. Theo thống kê:

• $25\%$ số thành viên tham gia Thể thao cũng tham gia Âm nhạc.
• $10\%$ số thành viên tham gia Âm nhạc cũng tham gia Thể thao.
• Tổng số thành viên của trại hè lớn hơn $80$ và nhỏ hơn $100$.

Tính tổng số thành viên của trại hè.

Câu 2a (1,5 điểm). Tìm tất cả các số thực $x$ sao cho trong bốn số $x+\sqrt{5},\qquad x+\dfrac{4}{x},\qquad x-\dfrac{4}{x},\qquad x^2+2\sqrt{5}$ có đúng một số không phải là số hữu tỉ.

Câu 2b (1,0 điểm). Cho các số thực dương $a,b$. Chứng minh $a+b+\dfrac{1}{4a(b+1)^2}>1.$

Câu 3a (1,5 điểm). Cho đường tròn $(O)$ và điểm $P$ cố định nằm ngoài đường tròn. Qua $O$ kẻ một đường thẳng $d$ không trùng với $OP$, cắt $(O)$ tại hai điểm $A,B$. Giả sử các đường thẳng $PA,PB$ cắt $(O)$ tương ứng tại các điểm thứ hai $B',A'$. Gọi $C$ và $D$ tương ứng là trực tâm các tam giác $PAB$ và $PA'B'$. Chứng minh rằng $\dfrac{DA'+DB'}{CA+CB}=\dfrac{A'B'}{AB}.$

Câu 3b (1,5 điểm). Với cấu hình ở Câu 3a, chứng minh rằng khi đường thẳng $d$ thay đổi, điểm $C$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định.

Câu 4 (1,0 điểm). Cho các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $|a-b|>2025^3$. Với mỗi số nguyên dương $k$, đặt $d_k$ là ước chung lớn nhất của hai số $a+k,b+k$. Chứng minh rằng $d_1+\cdots+d_{2026}<2|a-b|.$

Câu 5 (1,0 điểm). Cho một bảng kẻ ô vuông $2026\times2026$ và một hộp đựng $k$ viên sỏi, với $k$ là số nguyên dương. Gọi $(i,j)$ là ô nằm ở hàng thứ $i$ và cột thứ $j$, với $1\le i,j\le2026$; ô $(1,1)$ nằm ở góc trên cùng bên trái.

Ban đầu bảng không có sỏi. Ta được phép lấy từ hộp một viên sỏi đặt vào một ô trống $(i,j)$ nếu ô này đồng thời thỏa mãn:

• $j=1$ hoặc ô $(i,j-1)$ có sỏi.
• $i=2026$ hoặc ô $(i+1,j)$ có sỏi.

Ngoài ra, ta được phép lấy một viên sỏi bất kỳ trên bảng rồi bỏ vào hộp. Hỏi giá trị nhỏ nhất của $k$ là bao nhiêu để có thể đạt được trạng thái ô $(1,2026)$ có sỏi?