**Câu III. (1 điểm)** Ông A thuê thợ làm một mảnh vườn như hình vẽ bên. Trong đó, cả $4$ hình tròn đều có bán kính bằng nhau và bằng $5$ mét, cung tròn của đường tròn này nằm phía trong đường tròn kia đều có số đo bằng $90^\circ$. Trên mảnh vườn đó, $4$ phần giao nhau của các cặp hình tròn được trồng hoa với giá tiền $50\,000$ đồng một mét vuông; $4$ phần còn lại nằm phía trong các đường tròn được trồng cỏ với giá tiền $30\,000$ đồng một mét vuông. Toàn bộ chu vi các đường tròn và $4$ đoạn thẳng nối bên ngoài được làm rào trang trí với giá tiền $20\,000$ đồng một mét chạy dài. Tính số tiền mà ông A phải trả cho thợ làm mảnh vườn đó (làm tròn đến hàng nghìn đồng).
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 6 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu IV. (2 điểm)**
**1.** Cho số nguyên dương $n \geq 2$ và số nguyên tố lẻ $p$ sao cho $p - 1$ chia hết cho $n$ và $n^3 - 1$ chia hết cho $p$. Chứng minh rằng $4p - 3$ là số chính phương.
**2.** Tìm tất cả các số nguyên tố $p, q$ sao cho biểu thức $M = p^2 + 2025pq + q^2$ là một lũy thừa của $2027$.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 6 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu V. (3 điểm)** Cho tam giác $ABC$ nhọn, nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $K$ là điểm sao cho $AK$ là đường kính của $(O)$. Các đường cao $AD, BE, CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$. Đường thẳng $EF$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $P, Q$ ($P$ và $C$ nằm ở hai phía đối với đường thẳng $AB$). Gọi $M$ là trung điểm $BC$.
**1.** Chứng minh hai góc $\widehat{OAC}, \widehat{BAH}$ bằng nhau.
**2.** Chứng minh $AP^2 = 2AD \cdot OM$.
**3.** Dây $KQ$ cắt $BC$ tại $L$. Chứng minh hai đường thẳng $AL, HQ$ cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 6 câu, AI chấm và phân tích ngay.
**Câu VI. (1 điểm)** Một bảng vuông gồm $11 \times 11$ ô vuông nhỏ, mỗi ô vuông nhỏ chứa nhiều nhất một viên sỏi. Tìm số viên sỏi bé nhất trên bảng sao cho khi ta chọn một ô trống bất kì, tổng số các viên sỏi trong hàng và cột tương ứng với ô trống này ít nhất là $11$.
Câu này nằm trong bản đầy đủ
Đăng ký miễn phí để làm cả 6 câu, AI chấm và phân tích ngay.
1. Cho số a=5+24+5+5−24+5. Tính giá trị của biểu thức T=a3−3a2−2a+2026a3−8a+3.
2. Cho các số thực x,y thỏa mãn x3+y3−3(x2+y2)+4(x+y)−4=0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=x3+y3+2x2y+2xy2.
Câu II. (1 điểm) Giải hệ phương trình sau:
{y+91=x−2+y2y5−2x2y4−2y2+(1+2x2)y−x2=0
Câu III. (1 điểm) Ông A thuê thợ làm một mảnh vườn như hình vẽ bên. Trong đó, cả 4 hình tròn đều có bán kính bằng nhau và bằng 5 mét, cung tròn của đường tròn này nằm phía trong đường tròn kia đều có số đo bằng 90∘. Trên mảnh vườn đó, 4 phần giao nhau của các cặp hình tròn được trồng hoa với giá tiền 50000 đồng một mét vuông; 4 phần còn lại nằm phía trong các đường tròn được trồng cỏ với giá tiền 30000 đồng một mét vuông. Toàn bộ chu vi các đường tròn và 4 đoạn thẳng nối bên ngoài được làm rào trang trí với giá tiền 20000 đồng một mét chạy dài. Tính số tiền mà ông A phải trả cho thợ làm mảnh vườn đó (làm tròn đến hàng nghìn đồng).
Câu IV. (2 điểm)
1. Cho số nguyên dương n≥2 và số nguyên tố lẻ p sao cho p−1 chia hết cho n và n3−1 chia hết cho p. Chứng minh rằng 4p−3 là số chính phương.
2. Tìm tất cả các số nguyên tố p,q sao cho biểu thức M=p2+2025pq+q2 là một lũy thừa của 2027.
Câu V. (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Gọi K là điểm sao cho AK là đường kính của (O). Các đường cao AD,BE,CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại hai điểm P,Q (P và C nằm ở hai phía đối với đường thẳng AB). Gọi M là trung điểm BC.
1. Chứng minh hai góc OAC,BAH bằng nhau.
2. Chứng minh AP2=2AD⋅OM.
3. Dây KQ cắt BC tại L. Chứng minh hai đường thẳng AL,HQ cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.
Câu VI. (1 điểm) Một bảng vuông gồm 11×11 ô vuông nhỏ, mỗi ô vuông nhỏ chứa nhiều nhất một viên sỏi. Tìm số viên sỏi bé nhất trên bảng sao cho khi ta chọn một ô trống bất kì, tổng số các viên sỏi trong hàng và cột tương ứng với ô trống này ít nhất là 11.