Làm thử Khảo sát chất lượng Toán 9 · THCS Ngô Gia Tự (Hà Nội) · 2025–2026

Câu 1. (1,5 điểm)

1. Một cửa hàng tạp hóa thống kê số tiền lãi (đơn vị: nghìn đồng) trong 60 ngày bằng biểu đồ tần số ghép nhóm: nhóm $[500;1000)$ có 5 ngày, $[1000;1500)$ có 8 ngày, $[1500;2000)$ có 12 ngày, $[2000;2500)$ có 20 ngày và $[2500;3000)$ có 15 ngày.

a) Có bao nhiêu ngày cửa hàng thu được tiền lãi từ 1 triệu 500 nghìn đồng đến dưới 3 triệu đồng?

b) Tính tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $[1500;2000)$.

1. Một đĩa tròn được chia thành 10 hình quạt như nhau, được đánh số xen kẽ như hình: $X, I, II, 3, IV, 5, VI, 7, VIII, 9$. Đĩa được gắn vào trục quay có mũi tên cố định ở tâm. Bạn Linh quay đĩa một lần. Tính xác suất của biến cố $A$: “Mũi tên chỉ vào hình quạt có các số La Mã”.

Hình minh họa gồm biểu đồ năm cột tần số và đĩa quay 10 phần bằng nhau có cả số La Mã lẫn số Ả Rập.

Câu 2. (1,5 điểm) Cho $A=\dfrac{5}{\sqrt{x}+3},\qquad B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{9\sqrt{x}+9}{x-9}$ với $x\ge0$, $x\ne9$.

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=16$.

b) Chứng minh $B=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}$.

c) Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $P=A\cdot B$ nhận giá trị nguyên dương.

Câu 3. (2,5 điểm)

1. Một xe du lịch khởi hành từ $A$ đến $B$. Nửa giờ sau, một xe tải xuất phát từ $B$ về $A$. Xe tải đi được 1 giờ thì gặp xe du lịch. Tính vận tốc của mỗi xe, biết xe du lịch có vận tốc lớn hơn xe tải 10 km/h và quãng đường $AB$ dài 90 km.

2. Hai tấm pin năng lượng mặt trời (tấm A và tấm B) cùng sạc vào một trạm tích điện lớn thì sau 12 giờ sẽ đầy trạm. Người ta mở cả hai tấm cùng sạc trong 4 giờ, sau đó tấm A bị mây che khuất nên ngừng hoạt động. Tấm B tiếp tục sạc một mình trong 20 giờ nữa thì trạm mới đầy. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ dùng tấm B thì sau bao lâu sẽ đầy trạm?

3. Cho phương trình bậc hai ẩn $x$: $x^2-3x-m=0$. Biết phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1^2+3x_2=9$. Tính giá trị của biểu thức $P=x_1^2+x_2^2$.

Câu 4. (4,0 điểm)

1. Bác Minh đặt trên mặt bàn nằm ngang một chiếc cốc thủy tinh dạng hình trụ, có bán kính đáy $R=3$ cm; lượng nước ban đầu trong cốc cao 5 cm (Hình 1). Sau đó, bác Minh thả vào cốc 6 viên bi sắt cùng loại, không thấm nước, có dạng hình cầu với bán kính $r=1$ cm; mực nước dâng lên và không tràn ra ngoài (Hình 2). Lấy $\pi\approx3{,}14$.

a) Tính thể tích lượng nước ban đầu trong cốc.

b) Tính chiều cao lượng nước trong cốc sau khi thả 6 viên bi, bỏ qua độ dày của cốc và làm tròn đến hàng phần trăm của cm.

Hình minh họa gồm cốc trụ có mực nước 5 cm và cốc sau khi thả sáu viên bi, mực nước cao chưa biết.

1. Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn $(AB<AC)$, nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD,BE,CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh bốn điểm $B,C,E,F$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi $K$ là giao điểm của hai đường thẳng $BC$ và $EF$. Chứng minh $KB\cdot KC=KE\cdot KF$ và $FB$ là tia phân giác của góc $KFD$.

c) Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $BC$ và $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DFK$. Chứng minh đường thẳng $IF$ vuông góc với đường thẳng $MF$.

Câu 5. (0,5 điểm) Trong Quý I năm 2026, một cửa hàng kinh doanh xe máy dự định bán hai loại xe 110 phân khối gồm xe ga và xe số với số vốn ban đầu không vượt quá 1 tỉ đồng. Giá nhập và lợi nhuận dự kiến:

• Xe ga: giá nhập 25 triệu đồng/chiếc, lợi nhuận 4 triệu đồng/chiếc.
• Xe số: giá nhập 10 triệu đồng/chiếc, lợi nhuận 2 triệu đồng/chiếc.

Cửa hàng ước tính tổng nhu cầu thị trường trong Quý I không vượt quá 70 chiếc cho cả hai loại xe. Hỏi cửa hàng cần nhập bao nhiêu chiếc xe mỗi loại để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Hình minh họa là bảng hai cột xe ga, xe số và hai hàng giá nhập, lợi nhuận dự kiến.