Làm thử Khảo sát năng lực lớp 9 · Toán · Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn TP.HCM · 2026

Câu 1 (3 điểm).

1. Cho $a,b\in\mathbb R$ thỏa $a+b=4$ và $a^3+b^3=40$. Tính $P=a^5+b^5$.

2. Giải phương trình $\left(\sqrt{2+x}+1\right)^2+\left(\sqrt{2-x}+1\right)^2=2x+6.$

3. Chọn ngẫu nhiên hai số $a,b$ từ $1$ đến $6$, các cặp $(a,b)$ đồng khả năng. Một hình chữ nhật có nửa chu vi $a$ dm và diện tích $b\,\mathrm{dm}^2$. Tính xác suất tồn tại hình chữ nhật có chiều dài, chiều rộng là hai số nguyên dương thỏa các điều kiện đó.

Câu 2 (2 điểm).

1. Biết $2x^2-3ax+a=0$ có một nghiệm là $b$ và $ax^2-3ax+2=0$ có một nghiệm là $\dfrac4{3-b}$, với $a\ne0$, $b\ne3$. Tính $T=a^3+b^3$.

2. Hệ thống LMS xử lý 5000 bài thi. Alpha xử lý $x$ bài với chi phí $f(x)=\dfrac1{40}x^2+100x$ đồng. Beta thu 400 000 đồng thiết lập và 200 đồng cho mỗi bài còn lại.

a) Biểu diễn tổng chi phí theo $x$.

b) Tìm tổng chi phí thấp nhất.

Câu 3 (3 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $AB>AC$ và $\widehat{BAC}>90^\circ$. Vẽ đường cao $AH$. Gọi $D,E$ lần lượt là trung điểm $AB,AC$. Vẽ đường tròn tâm $D$ đường kính $AB$ và đường tròn tâm $E$ đường kính $AC$. Đường thẳng $AB$ cắt đường tròn $(E)$ tại $F\ne A$; đường thẳng $AC$ cắt đường tròn $(D)$ tại $G\ne A$. Các đường thẳng $BG$ và $CF$ cắt nhau tại $K$.

a) Chứng minh $A,H,K$ thẳng hàng và đường tròn ngoại tiếp tam giác $FGH$ đi qua $D$.

b) Trên tia đối của tia $HB$ lấy $M$ sao cho $HB=HM$. Gọi $N=AM\cap CK$. Đường thẳng $AH$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCK$ tại $P\ne K$. Hai đường thẳng $BP,HN$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh $H$ là trung điểm $NQ$.

Câu 4 (2 điểm).

1. Cho $a,b$ là hai số nguyên dương phân biệt nhỏ hơn $2027$ sao cho $a^2+1$ và $b^2+1$ đều chia hết cho $2027$. Chứng minh $ab-1$ chia hết cho $2027$.

2. Cho $S=\{1,2,\ldots,2026\}$ và $A\subseteq S$ có ít nhất 3 phần tử. Biết ba số phân biệt bất kì trong $A$ luôn là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh $|A|\le1004$.