Làm thử Thi thử tốt nghiệp THPT 2026 · Toán · Trường TH-THCS-THPT Lê Thánh Tông

Câu 1. Nguyên hàm của hàm số $f(x)=4^x$ là

Câu 2. Thống kê điểm kiểm tra giữa kì môn Toán của 30 học sinh lớp 11C5 được ghi lại trong bảng: các khoảng điểm $[2;4)$, $[4;6)$, $[6;8)$, $[8;10)$ có số học sinh lần lượt là $4,8,11,7$. Trung vị $Q_2$ của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào?

Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(2;1;3)$, $B(1;0;1)$, $C(-1;1;2)$. Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua $A$ và song song với đường thẳng $BC$?

Câu 4. Tìm hệ số $b,c$ để hàm số $y=\dfrac{2}{cx+b}$ có đồ thị gồm hai nhánh, có tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận ngang $y=0$ và đi qua điểm $(0;-1)$ như hình vẽ.

Câu 5. Tập nghiệm của bất phương trình $2^x<1$ là

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P):2x-y+z+3=0$?

Câu 7. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, cạnh bên $SA\perp(ABCD)$. Phát biểu nào sau đây sai?

Câu 8. Nghiệm của phương trình $3^{2x+1}=27$ là

Câu 9. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=8$ và công sai $d=3$. Số hạng $u_2$ của cấp số cộng là

Câu 10. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Phát biểu nào sau đây đúng?

Câu 11. Đồ thị $y=f(x)$ có tiệm cận đứng $x=1$, một nhánh phía trên đạt cực tiểu tại $x=2$ rồi tăng, và một nhánh phía dưới như hình. Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

Câu 12. Xét hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị $y=x^2-4x+4$, trục tung, trục hoành và đường thẳng $x=3$. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay $(H)$ quanh trục $Ox$.

Câu 1, Phần II. Trong hệ trục $Oxy$, đường biên của một hòn đảo được mô hình hóa bởi $f(x)=\dfrac{-x^2+10x-12}{x},\qquad x>0,$ với đơn vị trên mỗi trục là $100$ m. Điểm ngoài biển là $I(2;8)$. Hai điểm $A,B$ thuộc đường biên, $x_A>x_B>0$, và $AB\parallel Ox$. Theo nguyên văn đề, ban quản lí muốn quây một "vùng tam giác an toán". Hình minh họa cho thấy miền đảo nằm dưới cung đồ thị, còn tam giác $IAB$ có đáy $AB$ nằm ngang.

Ý a) Đỉnh cao nhất của hòn đảo, tức điểm cực đại của đồ thị, cách $I$ một khoảng $514$ m, làm tròn đến hàng đơn vị.

Câu 1, Phần II. Trong hệ trục $Oxy$, đường biên của một hòn đảo được mô hình hóa bởi $f(x)=\dfrac{-x^2+10x-12}{x},\qquad x>0,$ với đơn vị trên mỗi trục là $100$ m. Điểm ngoài biển là $I(2;8)$. Hai điểm $A,B$ thuộc đường biên, $x_A>x_B>0$, và $AB\parallel Ox$. Theo nguyên văn đề, ban quản lí muốn quây một "vùng tam giác an toán". Hình minh họa cho thấy miền đảo nằm dưới cung đồ thị, còn tam giác $IAB$ có đáy $AB$ nằm ngang.

Ý b) Tâm đối xứng của đồ thị $f(x)=\dfrac{-x^2+10x-12}{x}$ là điểm $M(0;10)$.

Câu 1, Phần II. Trong hệ trục $Oxy$, đường biên của một hòn đảo được mô hình hóa bởi $f(x)=\dfrac{-x^2+10x-12}{x},\qquad x>0,$ với đơn vị trên mỗi trục là $100$ m. Điểm ngoài biển là $I(2;8)$. Hai điểm $A,B$ thuộc đường biên, $x_A>x_B>0$, và $AB\parallel Ox$. Theo nguyên văn đề, ban quản lí muốn quây một "vùng tam giác an toán". Hình minh họa cho thấy miền đảo nằm dưới cung đồ thị, còn tam giác $IAB$ có đáy $AB$ nằm ngang.

Ý c) Quãng đường ngắn nhất từ hòn đảo đến điểm $I$ là $510$ m, làm tròn đến hàng đơn vị.

Câu 1, Phần II. Trong hệ trục $Oxy$, đường biên của một hòn đảo được mô hình hóa bởi $f(x)=\dfrac{-x^2+10x-12}{x},\qquad x>0,$ với đơn vị trên mỗi trục là $100$ m. Điểm ngoài biển là $I(2;8)$. Hai điểm $A,B$ thuộc đường biên, $x_A>x_B>0$, và $AB\parallel Ox$. Theo nguyên văn đề, ban quản lí muốn quây một "vùng tam giác an toán". Hình minh họa cho thấy miền đảo nằm dưới cung đồ thị, còn tam giác $IAB$ có đáy $AB$ nằm ngang.

Ý d) Nếu điều chỉnh dây phao sao cho khoảng cách từ $I$ đến dây phao $AB$ bằng đúng chiều dài $AB$ thì diện tích vùng an toàn $\triangle IAB$ là $605000\text{ m}^2$.

Câu 2, Phần II. Tỉ lệ người có kết quả xét nghiệm dương tính là $12\%$, nên tỉ lệ âm tính là $88\%$. Trong nhóm dương tính, $5\%$ thực chất không nhiễm bệnh. Trong nhóm âm tính, $2\%$ thực chất đang nhiễm bệnh.

Ý a) Xác suất để người được chọn có kết quả âm tính là $0{,}98$.

Câu 2, Phần II. Tỉ lệ người có kết quả xét nghiệm dương tính là $12\%$, nên tỉ lệ âm tính là $88\%$. Trong nhóm dương tính, $5\%$ thực chất không nhiễm bệnh. Trong nhóm âm tính, $2\%$ thực chất đang nhiễm bệnh.

Ý b) Xác suất để người đó thực sự không nhiễm bệnh, biết rằng kết quả xét nghiệm là âm tính, bằng $0{,}98$.

Câu 2, Phần II. Tỉ lệ người có kết quả xét nghiệm dương tính là $12\%$, nên tỉ lệ âm tính là $88\%$. Trong nhóm dương tính, $5\%$ thực chất không nhiễm bệnh. Trong nhóm âm tính, $2\%$ thực chất đang nhiễm bệnh.

Ý c) Xác suất để người đó thực sự không nhiễm bệnh là $0{,}8684$.

Câu 2, Phần II. Tỉ lệ người có kết quả xét nghiệm dương tính là $12\%$, nên tỉ lệ âm tính là $88\%$. Trong nhóm dương tính, $5\%$ thực chất không nhiễm bệnh. Trong nhóm âm tính, $2\%$ thực chất đang nhiễm bệnh.

Ý d) Xác suất để người đó có kết quả âm tính, biết rằng người đó thực sự không nhiễm bệnh, bé hơn $0{,}99$.

Câu 3, Phần II. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;1;2)$, $B(3;3;0)$, $C(2;0;1)$.

Ý a) Tọa độ trung điểm của $AB$ là $(2;2;1)$.

Câu 3, Phần II. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;1;2)$, $B(3;3;0)$, $C(2;0;1)$.

Ý b) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OC}=(0;-4;0)$.

Câu 3, Phần II. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;1;2)$, $B(3;3;0)$, $C(2;0;1)$.

Ý c) Côsin góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $AC$ bằng $\dfrac13$.

Câu 3, Phần II. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;1;2)$, $B(3;3;0)$, $C(2;0;1)$.

Ý d) Điểm $M(0;0;c)$ nằm trên trục $Oz$ sao cho $P=MA^2+MB^2$ nhỏ nhất. Khi đó $c=-1$.

Câu 4, Phần II. Một đèn lồng cao $40$ cm có mọi mặt cắt ngang vuông góc với trục đứng là hình vuông. Hình vuông ở đáy và đỉnh có cạnh $L_0=10\sqrt2$ cm; mặt cắt rộng nhất có cạnh $L_{\max}=14\sqrt2$ cm. Mặt cắt đứng qua đường chéo đáy được giới hạn bởi hai parabol đối xứng. Hình không gian cho thấy đèn lồng phình rộng ở giữa; đồ thị kèm theo có $x\in[-20;20]$, $f(0)=14$, $f(\pm20)=10$, và đánh dấu vị trí tâm bóng đèn tại $x=2$.

Ý a) Diện tích lớn nhất của mặt cắt ngang hình vuông, vuông góc với trục thẳng đứng, bằng $196\text{ cm}^2$.

Câu 4, Phần II. Một đèn lồng cao $40$ cm có mọi mặt cắt ngang vuông góc với trục đứng là hình vuông. Hình vuông ở đáy và đỉnh có cạnh $L_0=10\sqrt2$ cm; mặt cắt rộng nhất có cạnh $L_{\max}=14\sqrt2$ cm. Mặt cắt đứng qua đường chéo đáy được giới hạn bởi hai parabol đối xứng. Hình không gian cho thấy đèn lồng phình rộng ở giữa; đồ thị kèm theo có $x\in[-20;20]$, $f(0)=14$, $f(\pm20)=10$, và đánh dấu vị trí tâm bóng đèn tại $x=2$.

Ý b) Phương trình của đường cong parabol là $y=f(x)=-\dfrac1{100}x^2+14$.

Câu 4, Phần II. Một đèn lồng cao $40$ cm có mọi mặt cắt ngang vuông góc với trục đứng là hình vuông. Hình vuông ở đáy và đỉnh có cạnh $L_0=10\sqrt2$ cm; mặt cắt rộng nhất có cạnh $L_{\max}=14\sqrt2$ cm. Mặt cắt đứng qua đường chéo đáy được giới hạn bởi hai parabol đối xứng. Hình không gian cho thấy đèn lồng phình rộng ở giữa; đồ thị kèm theo có $x\in[-20;20]$, $f(0)=14$, $f(\pm20)=10$, và đánh dấu vị trí tâm bóng đèn tại $x=2$.

Ý c) Thể tích của chiếc đèn lồng là $12{,}95$ lít, làm tròn đến hàng phần trăm.

Câu 4, Phần II. Một đèn lồng cao $40$ cm có mọi mặt cắt ngang vuông góc với trục đứng là hình vuông. Hình vuông ở đáy và đỉnh có cạnh $L_0=10\sqrt2$ cm; mặt cắt rộng nhất có cạnh $L_{\max}=14\sqrt2$ cm. Mặt cắt đứng qua đường chéo đáy được giới hạn bởi hai parabol đối xứng. Hình không gian cho thấy đèn lồng phình rộng ở giữa; đồ thị kèm theo có $x\in[-20;20]$, $f(0)=14$, $f(\pm20)=10$, và đánh dấu vị trí tâm bóng đèn tại $x=2$.

Ý d) Tâm bóng đèn hình cầu nằm trên trục đứng và cách đáy $22$ cm. Nếu khoảng cách từ mặt bóng đến mọi điểm trên lồng ít nhất $7$ cm, bán kính lớn nhất của bóng là $2{,}8666$ cm, làm tròn bốn chữ số sau dấu phẩy.

Câu 1, Phần III. Trên bàn cờ vua có các cột $A$ đến $H$ và các hàng $1$ đến $8$, quân Mã ban đầu ở ô D4, quân Vua ở ô F6; hình minh họa đúng hai vị trí này. Quy ước hai quân không ăn nhau.

Thông thực hiện hành trình 4 bước của quân Mã, ba ô đi qua trong ba bước đầu không trùng nhau và sau bước thứ 4 Mã trở lại D4. Nghĩa thực hiện hành trình 3 bước của quân Vua và sau bước thứ 3 Vua trở lại F6. Hai quân đi xen kẽ, bắt đầu bằng Mã. Mã đi theo đường chéo của hình chữ nhật $2\times3$ hoặc $3\times2$ ô; Vua đi sang một ô liền kề theo phương ngang, dọc hoặc chéo.

Xác suất để trong quá trình di chuyển có ít nhất một thời điểm Mã và Vua cùng đứng trên một ô là phân số tối giản $\dfrac ab$, với $a,b\in\mathbb N^*$. Tính $b-5a$.

Câu 2, Phần III. Trong dịp Tết Nguyên Đán, bạn Kiên nhận tiền lì xì ngày mùng 1 là $3.000.000$ đồng. Kể từ mùng 2, mỗi ngày tiền lì xì giảm $300.000$ đồng so với ngày trước. Đến ngày mùng 3, mẹ Kiên nói: "Để mẹ giữ tiền cho sau này cưới vợ thì mẹ đưa", nên từ ngày đó, ngày nào Kiên cũng đưa cho mẹ $X$ triệu đồng. Tính $X$ để hết ngày mùng 9, Kiên còn đúng $5.000.000$ đồng.

Câu 3, Phần III. Khoảng sân hình chữ nhật $MNPQ$ có $MQ=12$ m, $MN=8$ m. Dây điện đi theo trình tự $A\to B\to C\to O\to D\to E\to F\to H$. Hình minh họa đặt $M,N,P,Q$ trên mặt đất; bức tường $PQIJ$ cao $PJ=4$ m; mái che $IJUV$ song song mặt đất với $JU=10$ m; cột đèn cao $3$ m ở góc $N$; cây nêu $MG$ cao $10$ m tại $M$; và các đoạn dây nối qua tường, mái, cột đèn và cây nêu.

Điểm $A$ nằm trên cột cổng cao $3$ m, chân cột nằm trên $MQ$ và cách cây nêu $3$ m. Đoạn $BC$ nằm trên tường $PQIJ$, có $BC=3$ m và $BC\parallel IJ$. Điểm $O$ nằm trên mái che $IJUV$. Điểm $D$ nằm trên cột đèn cao $3$ m. Hai điểm $E,F$ nằm trên thân cây nêu và $EF=2$ m. Điểm $H$ cách đỉnh $G$ một khoảng $HG=0{,}5$ m, với $HG$ song song mặt đất.

Tính tổng độ dài dây điện ngắn nhất cần dùng, theo mét và làm tròn đến hàng phần chục.

Câu 4, Phần III. Tấm pin hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=2$ m, $BC=3$ m, đặt nghiêng trên mặt đất ngang và cạnh $AB$ nằm sát mặt đất. Nguồn sáng điểm $S$ cao $4$ m so với mặt đất; hình chiếu vuông góc của $S$ xuống mặt đất là trung điểm $I$ của $AB$. Ánh sáng qua tấm pin tạo bóng là hình thang cân $ABC'D'$ trên mặt đất, trong đó các tia $SC,SD$ gặp mặt đất lần lượt tại $C',D'$. Hình minh họa thể hiện tấm pin nghiêng, các tia chiếu và hình thang bóng có $AB=2$ m, $BC=3$ m. Biết chiều cao hình thang $ABC'D'$ là $4{,}5$ m. Tính diện tích lớn nhất của hình thang, theo $\text{m}^2$ và làm tròn đến hàng phần chục.

Câu 5, Phần III. Anh Trọng mua $2$ cây đào giá $1.000.000$ đồng mỗi cây và $1$ cây mai giá $2.000.000$ đồng. Nếu mua thêm $x$ cây cảnh nhỏ, với $x$ là số nguyên không âm, giá $50.000$ đồng mỗi cây, thì chi phí vận chuyển toàn bộ đơn hàng là $f(x)=x^2-100x+3000$ nghìn đồng. Biết tổng số cây mua không vượt quá $40$, nên $0\le x\le40$. Tính tổng chi phí nhỏ nhất, gồm tiền cây và vận chuyển, theo nghìn đồng.

Câu 6, Phần III. Mảnh đất là hình thang cong $OABC$ trong mặt phẳng $Oxy$, mỗi đơn vị trên trục ứng với $10$ m. Hình vẽ cho $O=(0;0)$, $C=(3;0)$, đoạn $AB$ nằm ngang, $B$ là điểm cực đại của đồ thị hàm bậc ba $y=f(x)$; phần bên trái đồ thị là hồ bơi và phần bên phải là vườn cỏ. Đơn giá làm hồ bơi là $400.000$ đồng/$\text{m}^2$, đơn giá trồng cỏ là $200.000$ đồng/$\text{m}^2$, tổng chi phí là $295$ triệu đồng.

Con đường bên cạnh được mô hình hóa bởi $g(x)=\dfrac{x+1}{x-2}$ với $x>2$. Hình vẽ thể hiện đoạn $MN$ nối từ một điểm $M$ thuộc biên vườn đến điểm $N$ trên đồ thị $g$. Tính độ dài ngắn nhất của $MN$, theo mét và làm tròn đến hàng phần trăm.