Làm thử Tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên · Cà Mau · Toán chuyên · 2022

Bài 1 (1,0 điểm). Tính giá trị các biểu thức sau:

$a)\quad A=\sqrt{17-4\sqrt{9+4\sqrt{5}}}+\sqrt{(\sqrt{5}-3)^2};$

$b)\quad B=\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}.$

Bài 2 (1,0 điểm). Giải các phương trình:

$a)\quad x\sqrt{7x-12}=2x^2-7x+12;$

$b)\quad \dfrac{x-4}{x^2+2x}=\dfrac{2}{4-x^2}+\dfrac{1}{x^2-2x}.$

Bài 3 (1,5 điểm). Cho parabol $(P): y=\dfrac{3}{2}x^2$ và đường thẳng $(d): y=2mx+1$.

$a)$ Chứng tỏ đường thẳng $(d)$ luôn cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt.

$b)$ Khi $m=\dfrac14$, vẽ parabol $(P)$ và đường thẳng $(d)$ trên cùng mặt phẳng tọa độ $Oxy$, rồi tìm tọa độ giao điểm của chúng.

Bài 4 (1,5 điểm). Một xí nghiệp chế biến thủy sản dự kiến đóng $3\,000$ hộp tôm xuất khẩu trong một thời gian nhất định. Trong 6 ngày đầu họ thực hiện đúng tiến độ, nhưng những ngày sau đó mỗi ngày đóng vượt 10 hộp tôm xuất khẩu nên chẳng những hoàn thành sớm được 1 ngày mà còn vượt mức 60 hộp tôm xuất khẩu nữa. Hỏi theo dự kiến, mỗi ngày xí nghiệp đó đóng bao nhiêu hộp tôm xuất khẩu?

Bài 5 (1,0 điểm). Cho số

M=2018+\sqrt[3]{120+\sqrt[3]{120+\sqrt[3]{120+\cdots+\sqrt[3]{120}}}}},

trong đó dấu căn bậc ba được viết lặp lại 2022 lần. Chứng minh rằng $2022<M<2023$.

Bài 6 (1,0 điểm). Tìm các cặp số nguyên $(a;b)$ thỏa mãn đẳng thức

$a^2+b^2=a+b+ab.$

Bài 7 (3,0 điểm). Cho nửa đường tròn đường kính $AB$. Trên nửa đường tròn lấy điểm $C$ cố định (khác $A$ và $B$). Kẻ $CD\perp AB$ ($D\in AB$). Trên cung $BC$ lấy điểm $E$ bất kì (khác $C$ và $B$), đường thẳng $AE$ cắt $CD$ tại $K$. Chứng minh rằng:

$a)$ Tứ giác $KDBE$ nội tiếp một đường tròn.

$b)$ $AC^2=AK\cdot AE$.

$c)$ Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $CEK$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi $E$ thay đổi trên cung $BC$.