Bài học

Hệ phương trình số lượng nucleotide

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải được các bài toán số lượng nucleotide khi đề KHÔNG cho thẳng %A hay số lượng một loại — mà cho một hệ thức gián tiếp (hiệu hai tỉ lệ, tỉ lệ giữa hai loại, hoặc dữ kiện trên một mạch đơn) — bằng cách dựng một hệ hai phương trình và giải nó như một hệ đại số thật sự, thay vì dò từng trường hợp.

Cần nhớ trước

Em cần nhớ lại: nguyên tắc bổ sung $A = T$ , $G = C$ ; hệ thức $N = 2A + 2G$ suy ra $A + G = \dfrac{N}{2}$ và $\%A + \%G = 50\%$ ; và cách giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cộng hoặc trừ vế theo vế.

Em cần nhớ lại: nguyên tắc bổ sung $A = T$, $G = C$; hệ thức $N = 2A + 2G$ suy ra $A + G = \dfrac{N}{2}$ và $\%A + \%G = 50\%$; và cách giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cộng hoặc trừ vế theo vế.

So với mức chuẩn: đề chuẩn lớp 9 cho thẳng $N$ và $\%A$ (hoặc số lượng một loại), em chỉ việc thay số vào $A = T$ , $G = C = \dfrac{N}{2} - A$ . Đề HSG hiếm khi cho thẳng như vậy — thường cho một hệ thức liên hệ giữa hai loại nucleotide (hiệu hai tỉ lệ phần trăm, tỉ lệ giữa hai loại), hoặc cho dữ kiện trên một mạch đơn rồi hỏi về cả phân tử. Không dựng hệ phương trình, em sẽ không biết bắt đầu từ đâu.

**So với mức chuẩn:** đề chuẩn lớp 9 cho thẳng $N$ và $\%A$ (hoặc số lượng một loại), em chỉ việc thay số vào $A = T$, $G = C = \dfrac{N}{2} - A$. Đề HSG hiếm khi cho thẳng như vậy — thường cho một **hệ thức liên hệ** giữa hai loại nucleotide (hiệu hai tỉ lệ phần trăm, tỉ lệ giữa hai loại), hoặc cho dữ kiện trên **một mạch đơn** rồi hỏi về cả phân tử. Không dựng hệ phương trình, em sẽ không biết bắt đầu từ đâu.

Bài toán mở đầu — khi đề không cho %A trực tiếp

Một gene có $N = 2400$ nucleotide. Đề không nói $\%A$ bằng bao nhiêu, chỉ nói $\%A$ hơn $\%G$ đúng $20\%$ tổng số nucleotide của gene. Thay số vào công thức quen thuộc nào bây giờ? Không có công thức nào nhận thẳng dữ kiện "hơn 20%" này — em cần một cách tiếp cận khác.

Ý tưởng cốt lõi — dựng hệ hai phương trình

Với mọi gene, hai hệ thức sau luôn đúng và luôn có sẵn, dù đề không nhắc lại: $\%A + \%G = 50\%$ (từ $A = T$ , $G = C$ ). Khi đề cho thêm một hệ thức thứ hai liên hệ $\%A$ và $\%G$ — dù là hiệu, tổng, hay tỉ lệ — em có ngay một hệ hai phương trình, hai ẩn. Cộng hai phương trình để triệt tiêu $\%G$ và tìm $2\%A$ ; trừ hai phương trình để triệt tiêu $\%A$ và tìm $2\%G$ . Đây là kỹ thuật dùng lại được cho mọi bài dạng này, không cần nhớ riêng từng trường hợp.

Với mọi gene, hai hệ thức sau luôn đúng và luôn có sẵn, dù đề không nhắc lại: $\%A + \%G = 50\%$ (từ $A = T$, $G = C$). Khi đề cho thêm một hệ thức thứ hai liên hệ $\%A$ và $\%G$ — dù là hiệu, tổng, hay tỉ lệ — em có ngay một hệ hai phương trình, hai ẩn. Cộng hai phương trình để triệt tiêu $\%G$ và tìm $2\%A$; trừ hai phương trình để triệt tiêu $\%A$ và tìm $2\%G$. Đây là kỹ thuật dùng lại được cho mọi bài dạng này, không cần nhớ riêng từng trường hợp.

Ví dụ

Ví dụ 1 — Hiệu hai tỉ lệ phần trăm

1
Một gene có $N = 2400$ nucleotide. Biết $\%A$ hơn $\%G$ đúng $20\%$ tổng số nucleotide của gene. Tính số lượng và tỉ lệ phần trăm từng loại nucleotide.
Một gene có $N = 2400$ nucleotide. Biết $\%A$ hơn $\%G$ đúng $20\%$ tổng số nucleotide của gene. Tính số lượng và tỉ lệ phần trăm từng loại nucleotide.
2
Đề chuẩn cho thẳng $\%A$ để thay vào công thức; ở đây chỉ có một hiệu số, chưa biết giá trị riêng của $\%A$ hay $\%G$ .
Đề chuẩn cho thẳng $\%A$ để thay vào công thức; ở đây chỉ có một hiệu số, chưa biết giá trị riêng của $\%A$ hay $\%G$.
3
Đặt hệ thức nền luôn đúng: $\%A + \%G = 50$ . (1). Đề cho: $\%A - \%G = 20$ . (2).
Đặt hệ thức nền luôn đúng: $\%A + \%G = 50$. (1). Đề cho: $\%A - \%G = 20$. (2).
4
Cộng (1) và (2): $2\%A = 70 \Rightarrow \%A = 35$ . Trừ (2) khỏi (1): $2\%G = 30 \Rightarrow \%G = 15$ .
Cộng (1) và (2): $2\%A = 70 \Rightarrow \%A = 35$. Trừ (2) khỏi (1): $2\%G = 30 \Rightarrow \%G = 15$.
5
Ta có $\%A + \%G = 50\%$ (nguyên tắc bổ sung) và theo đề $\%A - \%G = 20\%$ . Cộng hai vế: $2\%A = 70\% \Rightarrow \%A = \%T = 35\%$ . Trừ hai vế: $2\%G = 30\% \Rightarrow \%G = \%C = 15\%$ . Suy ra $A = T = 35\% \times 2400 = 840$ và $G = C = 15\% \times 2400 = 360$ . Kiểm tra: $840 + 840 + 360 + 360 = 2400$ (khớp $N$ ). Vậy $A = T = 840$ nucleotide, $G = C = 360$ nucleotide.
Ta có $\%A + \%G = 50\%$ (nguyên tắc bổ sung) và theo đề $\%A - \%G = 20\%$. Cộng hai vế: $2\%A = 70\% \Rightarrow \%A = \%T = 35\%$. Trừ hai vế: $2\%G = 30\% \Rightarrow \%G = \%C = 15\%$. Suy ra $A = T = 35\% \times 2400 = 840$ và $G = C = 15\% \times 2400 = 360$. Kiểm tra: $840 + 840 + 360 + 360 = 2400$ (khớp $N$). Vậy $A = T = 840$ nucleotide, $G = C = 360$ nucleotide.
6
Mẫu chung: hai hệ thức $\%A+\%G=50$ và một hệ thức đề cho luôn giải được bằng cộng — trừ. Biến thể: nếu đề cho $\%G$ hơn $\%A$ (dấu ngược lại), chỉ cần đổi dấu ở bước cộng — trừ, các bước còn lại giữ nguyên.
Mẫu chung: hai hệ thức $\%A+\%G=50$ và một hệ thức đề cho luôn giải được bằng cộng — trừ. Biến thể: nếu đề cho $\%G$ hơn $\%A$ (dấu ngược lại), chỉ cần đổi dấu ở bước cộng — trừ, các bước còn lại giữ nguyên.

Không phải bài nào cũng cho hệ thức trên cả phân tử. Có khi đề chỉ cho số liệu của một mạch đơn — và đây là chỗ nhiều học sinh lúng túng nhất, vì mạch đơn không tuân theo $A = T$ .

Không phải bài nào cũng cho hệ thức trên cả phân tử. Có khi đề chỉ cho số liệu của **một mạch đơn** — và đây là chỗ nhiều học sinh lúng túng nhất, vì mạch đơn không tuân theo $A = T$.

Kỹ thuật vượt chương trình

Mở rộng dành cho HSG: trên một mạch đơn, $A_1 \ne T_1$ nói chung — nguyên tắc bổ sung chỉ áp dụng GIỮA hai mạch ( $A_1 = T_2$ , $T_1 = A_2$ , $G_1 = C_2$ , $C_1 = G_2$ ), không áp dụng trong nội bộ một mạch. Từ đó suy ra: số lượng loại A của CẢ gene là $A = A_1 + A_2 = A_1 + T_1$ (vì $A_2 = T_1$ ). Kỹ thuật này không có trong yêu cầu chuẩn lớp 9, nhưng rất hay gặp trong đề thi HSG — tiền đề duy nhất cần là nguyên tắc bổ sung GIỮA hai mạch vừa nêu.

Mở rộng dành cho HSG: trên một mạch đơn, $A_1 \ne T_1$ nói chung — nguyên tắc bổ sung chỉ áp dụng GIỮA hai mạch ($A_1 = T_2$, $T_1 = A_2$, $G_1 = C_2$, $C_1 = G_2$), không áp dụng trong nội bộ một mạch. Từ đó suy ra: số lượng loại A của CẢ gene là $A = A_1 + A_2 = A_1 + T_1$ (vì $A_2 = T_1$). Kỹ thuật này không có trong yêu cầu chuẩn lớp 9, nhưng rất hay gặp trong đề thi HSG — tiền đề duy nhất cần là nguyên tắc bổ sung GIỮA hai mạch vừa nêu.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Từ dữ liệu một mạch đơn suy ra cả gene

1
Mạch 1 của một gene có $\%A_1 = 10\%$ , $\%T_1 = 30\%$ , $\%G_1 = 25\%$ , $\%C_1 = 35\%$ (tính theo số nucleotide của riêng mạch 1). Gene có $N = 3000$ . Tính tỉ lệ phần trăm và số lượng từng loại nucleotide của CẢ gene.
Mạch 1 của một gene có $\%A_1 = 10\%$, $\%T_1 = 30\%$, $\%G_1 = 25\%$, $\%C_1 = 35\%$ (tính theo số nucleotide của riêng mạch 1). Gene có $N = 3000$. Tính tỉ lệ phần trăm và số lượng từng loại nucleotide của CẢ gene.
2
Không có $\%A$ của cả gene trong đề — chỉ có bốn tỉ lệ trên một mạch đơn. Cộng trực tiếp bốn số này không ra $\%A$ của gene.
Không có $\%A$ của cả gene trong đề — chỉ có bốn tỉ lệ trên một mạch đơn. Cộng trực tiếp bốn số này không ra $\%A$ của gene.
3
Vì $A_2 = T_1$ (mạch 2 bổ sung với mạch 1), số lượng loại A của cả gene bằng $A_1 + A_2 = A_1 + T_1$ . Theo tỉ lệ: $\%A(\text{gene}) = \dfrac{\%A_1 + \%T_1}{2}$ , và tương tự $\%G(\text{gene}) = \dfrac{\%G_1 + \%C_1}{2}$ .
Vì $A_2 = T_1$ (mạch 2 bổ sung với mạch 1), số lượng loại A của cả gene bằng $A_1 + A_2 = A_1 + T_1$. Theo tỉ lệ: $\%A(\text{gene}) = \dfrac{\%A_1 + \%T_1}{2}$, và tương tự $\%G(\text{gene}) = \dfrac{\%G_1 + \%C_1}{2}$.
4
Tổng số nucleotide loại A trên CẢ gene phải đếm trên cả hai mạch, mà mạch 2 không có dữ kiện riêng — nhưng mạch 2 là bản bổ sung của mạch 1 nên mọi vị trí A trên mạch 2 tương ứng đúng một vị trí T trên mạch 1. Không cần biết mạch 2 trực tiếp, chỉ cần đọc lại mạch 1 theo đúng vai trò bổ sung.
5
Ta có $A_2 = T_1$ , $T_2 = A_1$ , $G_2 = C_1$ , $C_2 = G_1$ (nguyên tắc bổ sung giữa hai mạch). Do đó $\%A(\text{gene}) = \dfrac{\%A_1 + \%T_1}{2} = \dfrac{10 + 30}{2} = 20\%$ ; $\%G(\text{gene}) = \dfrac{\%G_1 + \%C_1}{2} = \dfrac{25 + 35}{2} = 30\%$ . (1) Suy ra $\%T = \%A = 20\%$ , $\%C = \%G = 30\%$ ; kiểm tra tổng $20+20+30+30=100\%$ — khớp. (2) Từ (1) và (2): $A = T = 20\% \times 3000 = 600$ ; $G = C = 30\% \times 3000 = 900$ . Vậy cả gene có $A = T = 600$ nucleotide, $G = C = 900$ nucleotide.
Ta có $A_2 = T_1$, $T_2 = A_1$, $G_2 = C_1$, $C_2 = G_1$ (nguyên tắc bổ sung giữa hai mạch). Do đó $\%A(\text{gene}) = \dfrac{\%A_1 + \%T_1}{2} = \dfrac{10 + 30}{2} = 20\%$; $\%G(\text{gene}) = \dfrac{\%G_1 + \%C_1}{2} = \dfrac{25 + 35}{2} = 30\%$. (1) Suy ra $\%T = \%A = 20\%$, $\%C = \%G = 30\%$; kiểm tra tổng $20+20+30+30=100\%$ — khớp. (2) Từ (1) và (2): $A = T = 20\% \times 3000 = 600$; $G = C = 30\% \times 3000 = 900$. Vậy cả gene có $A = T = 600$ nucleotide, $G = C = 900$ nucleotide.
6
Công thức dùng lại được: $\%A(\text{gene}) = \dfrac{\%A_1 + \%T_1}{2}$ — LUÔN cộng hai tỉ lệ có quan hệ bổ sung với nhau ( $A_1$ với $T_1$ ), không bao giờ cộng $\%A_1$ với $\%G_1$ . Biến thể: nếu đề cho dữ liệu mạch 2 thay vì mạch 1, đổi vai trò $A_2, T_2$ cho $A_1, T_1$ trong công thức.
Công thức dùng lại được: $\%A(\text{gene}) = \dfrac{\%A_1 + \%T_1}{2}$ — LUÔN cộng hai tỉ lệ có quan hệ bổ sung với nhau ($A_1$ với $T_1$), không bao giờ cộng $\%A_1$ với $\%G_1$. Biến thể: nếu đề cho dữ liệu mạch 2 thay vì mạch 1, đổi vai trò $A_2, T_2$ cho $A_1, T_1$ trong công thức.

Bài toán khó nhất của kỹ thuật này là khi đề trộn cả hai loại dữ kiện: một hệ thức trên mạch đơn VÀ một hệ thức trên cả gene, cùng lúc.

Ví dụ

Ví dụ 3 — Kết hợp hệ thức mạch đơn và hệ thức cả gene

1
Một gene có $N = 3600$ . Trên mạch 1: $A_1 - G_1 = 10\%$ số nucleotide của mạch 1, và $T_1 = 3 \times C_1$ . Biết $\%G$ của CẢ gene là $20\%$ . Tính tỉ lệ phần trăm bốn loại nucleotide trên mạch 1.
Một gene có $N = 3600$. Trên mạch 1: $A_1 - G_1 = 10\%$ số nucleotide của mạch 1, và $T_1 = 3 \times C_1$. Biết $\%G$ của CẢ gene là $20\%$. Tính tỉ lệ phần trăm bốn loại nucleotide trên mạch 1.
2
Có bốn ẩn ( $A_1, T_1, G_1, C_1$ tính theo %) nhưng dữ kiện đến từ hai nguồn khác nhau — hai hệ thức trên mạch 1, và một hệ thức trên CẢ gene cần đổi về mạch 1 trước khi dùng được.
Có bốn ẩn ($A_1, T_1, G_1, C_1$ tính theo %) nhưng dữ kiện đến từ hai nguồn khác nhau — hai hệ thức trên mạch 1, và một hệ thức trên CẢ gene cần đổi về mạch 1 trước khi dùng được.
3
Đổi hệ thức $\%G(\text{gene}) = 20\%$ về ngôn ngữ mạch 1 bằng công thức Ví dụ 2: $\%G(\text{gene}) = \dfrac{\%G_1 + \%C_1}{2} = 20 \Rightarrow \%G_1 + \%C_1 = 40$ . (1) Bây giờ cả ba hệ thức đều nói về mạch 1: có thể giải hệ bốn ẩn.
Đổi hệ thức $\%G(\text{gene}) = 20\%$ về ngôn ngữ mạch 1 bằng công thức Ví dụ 2: $\%G(\text{gene}) = \dfrac{\%G_1 + \%C_1}{2} = 20 \Rightarrow \%G_1 + \%C_1 = 40$. (1) Bây giờ cả ba hệ thức đều nói về mạch 1: có thể giải hệ bốn ẩn.
4
Từ (1): $G_1 = 40 - C_1$ . Đề cho $A_1 - G_1 = 10 \Rightarrow A_1 = G_1 + 10 = 50 - C_1$ . (2) Đề cho $T_1 = 3C_1$ . (3) Tổng bốn loại trên mạch 1 luôn bằng $100\%$ : thay (1), (2), (3) vào $A_1+T_1+G_1+C_1=100$ : $(50-C_1) + 3C_1 + (40-C_1) + C_1 = 100 \Rightarrow 90 + 2C_1 = 100 \Rightarrow C_1 = 5$ .
Từ (1): $G_1 = 40 - C_1$. Đề cho $A_1 - G_1 = 10 \Rightarrow A_1 = G_1 + 10 = 50 - C_1$. (2) Đề cho $T_1 = 3C_1$. (3) Tổng bốn loại trên mạch 1 luôn bằng $100\%$: thay (1), (2), (3) vào $A_1+T_1+G_1+C_1=100$: $(50-C_1) + 3C_1 + (40-C_1) + C_1 = 100 \Rightarrow 90 + 2C_1 = 100 \Rightarrow C_1 = 5$.
5
Từ $\%G(\text{gene}) = \dfrac{\%G_1+\%C_1}{2} = 20\%$ , suy ra $G_1 + C_1 = 40\%$ . (1) Kết hợp $A_1 = G_1 + 10$ (2) và $T_1 = 3C_1$ (3) với tổng $A_1+T_1+G_1+C_1=100\%$ : thay (1), (2), (3) ta được $2C_1 = 10 \Rightarrow C_1 = 5\%$ . Từ (1): $G_1 = 35\%$ . Từ (2): $A_1 = 45\%$ . Từ (3): $T_1 = 15\%$ . Kiểm tra: $45+15+35+5=100\%$ (TMĐK tổng bốn loại). Vậy trên mạch 1: $\%A_1=45\%$ , $\%T_1=15\%$ , $\%G_1=35\%$ , $\%C_1=5\%$ .
Từ $\%G(\text{gene}) = \dfrac{\%G_1+\%C_1}{2} = 20\%$, suy ra $G_1 + C_1 = 40\%$. (1) Kết hợp $A_1 = G_1 + 10$ (2) và $T_1 = 3C_1$ (3) với tổng $A_1+T_1+G_1+C_1=100\%$: thay (1), (2), (3) ta được $2C_1 = 10 \Rightarrow C_1 = 5\%$. Từ (1): $G_1 = 35\%$. Từ (2): $A_1 = 45\%$. Từ (3): $T_1 = 15\%$. Kiểm tra: $45+15+35+5=100\%$ (TMĐK tổng bốn loại). Vậy trên mạch 1: $\%A_1=45\%$, $\%T_1=15\%$, $\%G_1=35\%$, $\%C_1=5\%$.
6
Khi một hệ thức nói về CẢ gene còn các hệ thức khác nói về MỘT mạch, luôn đổi hệ thức của gene về ngôn ngữ mạch trước bằng công thức Ví dụ 2, rồi giải hệ trên cùng một tập ẩn. Biến thể: kiểm tra lại bằng cách tính $\%A(\text{gene}) = \dfrac{45+15}{2}=30\%$ — một cách xác nhận chéo độc lập với $\%G=20\%$ đã cho.
Khi một hệ thức nói về CẢ gene còn các hệ thức khác nói về MỘT mạch, luôn đổi hệ thức của gene về ngôn ngữ mạch trước bằng công thức Ví dụ 2, rồi giải hệ trên cùng một tập ẩn. Biến thể: kiểm tra lại bằng cách tính $\%A(\text{gene}) = \dfrac{45+15}{2}=30\%$ — một cách xác nhận chéo độc lập với $\%G=20\%$ đã cho.

Bẫy thường gặp

Ba bẫy hay gặp: cộng nhầm $\%A_1$ với $\%G_1$ (thay vì $\%A_1$ với $\%T_1$ ) khi đổi dữ kiện mạch đơn sang cả gene — sai ngay từ bước đầu; quên rằng $A_1 \ne T_1$ trên một mạch đơn, tưởng nhầm nguyên tắc bổ sung áp dụng trong nội bộ một mạch; và khi có hệ phương trình từ cả gene lẫn mạch đơn, giải hệ gene trước mà không đổi về cùng một tập ẩn với hệ mạch đơn, dẫn đến hai hệ rời rạc không giải được.

Ba bẫy hay gặp: cộng nhầm $\%A_1$ với $\%G_1$ (thay vì $\%A_1$ với $\%T_1$) khi đổi dữ kiện mạch đơn sang cả gene — sai ngay từ bước đầu; quên rằng $A_1 \ne T_1$ trên một mạch đơn, tưởng nhầm nguyên tắc bổ sung áp dụng trong nội bộ một mạch; và khi có hệ phương trình từ cả gene lẫn mạch đơn, giải hệ gene trước mà không đổi về cùng một tập ẩn với hệ mạch đơn, dẫn đến hai hệ rời rạc không giải được.

Áp dụng cho Ví dụ 1 với %A=35%, %G=15%, N=2400.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Tóm tắt

Hai hệ thức $A=T$ , $G=C$ và $\%A+\%G=50\%$ luôn có sẵn cho mọi gene, dù đề không nhắc lại — chúng là phương trình thứ nhất trong mọi hệ. Khi đề cho một hệ thức thứ hai (hiệu, tổng, tỉ lệ), ghép hai phương trình và giải bằng cộng — trừ. Khi dữ kiện nằm trên một mạch đơn, đổi về ngôn ngữ mạch bằng $\%A(\text{gene}) = \dfrac{\%A_1+\%T_1}{2}$ trước khi ghép hệ.

Hai hệ thức $A=T$, $G=C$ và $\%A+\%G=50\%$ luôn có sẵn cho mọi gene, dù đề không nhắc lại — chúng là phương trình thứ nhất trong mọi hệ. Khi đề cho một hệ thức thứ hai (hiệu, tổng, tỉ lệ), ghép hai phương trình và giải bằng cộng — trừ. Khi dữ kiện nằm trên một mạch đơn, đổi về ngôn ngữ mạch bằng $\%A(\text{gene}) = \dfrac{\%A_1+\%T_1}{2}$ trước khi ghép hệ.

Bài sau dùng đúng cùng cách dựng hệ phương trình này, nhưng thêm một phương trình thứ ba: số liên kết hydrogen $H$ . Kỹ thuật cộng — trừ vừa học sẽ quay lại, chỉ khác ở việc chọn phương trình nào để kết hợp.

Bài sau dùng đúng cùng cách dựng hệ phương trình này, nhưng thêm một phương trình thứ ba: số liên kết hydrogen $H$. Kỹ thuật cộng — trừ vừa học sẽ quay lại, chỉ khác ở việc chọn phương trình nào để kết hợp.