Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Chọn hệ trục và chứng minh đồng quy
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em có thể tọa độ hóa tam giác và chứng minh ba trung tuyến đồng quy bằng phương trình. Năng lực cần đạt không dừng ở việc nhớ một công thức: em phải nhận ra tín hiệu của bài toán, giải thích vì sao chọn phương pháp và trình bày một chuỗi suy luận có thể kiểm tra được.
Kiến thức cần có
Vectơ, phương trình đường thẳng–đường tròn, khoảng cách, tam giác và ba đường conic lớp 10.
Chuẩn HSG so với bài chuẩn
Bài chuẩn thường cho sẵn tọa độ và yêu cầu tính trực tiếp. Mở rộng dành cho HSG: bài HSG yêu cầu tự chọn hệ trục, biến hình phản xạ, dựng quỹ tích hoặc nối bất đẳng thức hình học với tọa độ. Nội dung mở rộng được giới thiệu từng bước trong bài; em không cần biết trước ngoài các kiến thức đã nêu ở trên.
Câu hỏi mở đầu
Với tam giác vuông tại A, đặt A ở gốc và hai cạnh góc vuông trên hai trục loại được bao nhiêu tham số? Hãy dừng lại một phút và viết ra hai điều: dữ kiện nào đang khống chế bài toán, và trường hợp đặc biệt nào đáng thử trước. Câu trả lời ban đầu chưa cần hoàn chỉnh; mục đích là tập thói quen nhìn cấu trúc trước khi tính.
Công cụ và cách phát hiện
Hệ trục tốt biến các điểm chân, trung điểm hoặc đường vuông góc thành tọa độ đơn giản. Trung điểm được lấy bằng trung bình tọa độ; đường trung tuyến đi qua đỉnh và trung điểm cạnh đối. Khi đọc đề, ta không hỏi ngay “dùng công thức nào”, mà hỏi “điều kiện nào phải được tận dụng hết”. Một lời giải HSG tốt thường có ba lớp: nhận diện cấu trúc, chọn phép biến đổi bảo toàn điều kiện, rồi kiểm tra trường hợp biên hoặc dấu bằng. Ba lớp này phải xuất hiện rõ trong bài viết, không được giấu sau một chuỗi tính toán.
Cách làm an toàn là dự đoán kết quả bằng một trường hợp cân bằng hoặc đối xứng, sau đó thử biến đổi ngược từ đích. Nếu phép biến đổi tạo ra điều kiện mới, phải ghi điều kiện ấy ngay tại chỗ. Nếu dùng một bất đẳng thức, phải nêu điều kiện áp dụng và trường hợp đẳng thức. Nếu giải phương trình, mọi nghiệm nhận được sau bình phương, đặt ẩn hoặc đổi biểu diễn đều phải thử lại. Đây là phần trình bày thường quyết định điểm số trong bài HSG.
Giao điểm hai trung tuyến được kiểm tra trên trung tuyến thứ ba.
Ví dụ mẫu thứ nhất
Ví dụ
Ví dụ 1 — Hai trung tuyến cắt nhau
1
Cho A(0,0), B(6,0), C(0,4). Tìm giao điểm trung tuyến từ A và B.
2
Đề không chỉ định sẵn phép biến đổi. Muốn đi tiếp, ta phải đọc điều kiện, dự đoán trường hợp đẳng thức hoặc cấu trúc nghiệm, rồi mới chọn công cụ. Nếu biến đổi trước khi có định hướng, lời giải rất dễ dài hoặc mất điều kiện.
3
Tính M,N rồi viết phương trình qua hai điểm.
4
Trung điểm M của BC là (3,2), nên AM có tham số $(3t,2t)$. Trung điểm N của AC là (0,2); BN có tham số $(6-6s,2s)$. Từ $2t=2s$ có t=s; từ $3t=6-6t$ được t=2/3. Vậy giao điểm là $G=(2,4/3)$.
5
Sau khi có kết quả, cần đối chiếu lại điều kiện và trường hợp xảy ra dấu bằng hoặc nghiệm đặc biệt. Không nhầm trung điểm cạnh đối của từng đỉnh.
6
Đổi B thành (b,0), C thành (0,c) để suy ra công thức tổng quát.
Ví dụ mẫu thứ hai
Ví dụ
Ví dụ 2 — Kiểm tra trung tuyến thứ ba
1
Chứng minh G vừa tìm nằm trên trung tuyến từ C.
2
Đề không chỉ định sẵn phép biến đổi. Muốn đi tiếp, ta phải đọc điều kiện, dự đoán trường hợp đẳng thức hoặc cấu trúc nghiệm, rồi mới chọn công cụ. Nếu biến đổi trước khi có định hướng, lời giải rất dễ dài hoặc mất điều kiện.
3
Trung điểm P của AB là (3,0); kiểm tra C,G,P thẳng hàng bằng vectơ.
4
Ta có $overrightarrow{CG}=(2,-8/3)$ và $overrightarrow{CP}=(3,-4)$. Vì $overrightarrow{CG}= rac23overrightarrow{CP}$, ba điểm C,G,P thẳng hàng. Do đó ba trung tuyến đồng quy tại G. Vậy G là trọng tâm tam giác ABC.
5
Sau khi có kết quả, cần đối chiếu lại điều kiện và trường hợp xảy ra dấu bằng hoặc nghiệm đặc biệt. Không chỉ dựa vào hình vẽ để kết luận thẳng hàng.
6
Suy ra G chia mỗi trung tuyến theo tỉ số 2:1 kể từ đỉnh.
Tự kiểm chứng lời giải
Trước khi chuyển sang luyện tập, em hãy kiểm tra lại hai ví dụ theo bốn câu hỏi. Một: mọi phép chia, căn, logarit hoặc ẩn phụ có kèm điều kiện chưa. Hai: kết quả trung gian có đúng chiều và đúng miền không. Ba: trường hợp dấu bằng hoặc nghiệm biên có thật sự thỏa đề gốc không. Bốn: kết luận cuối đã trả lời đủ điều đề hỏi chưa. Với Đặt A tại O, AB và AC theo hai trục, một cách kiểm tra tốt là thay một giá trị đơn giản vào cả biểu thức ban đầu lẫn biểu thức sau biến đổi; hai kết quả phải khớp. Cách thử số không thay cho chứng minh, nhưng nó phát hiện nhanh lỗi dấu, lỗi hệ số và nghiệm ngoại lai. Sau đó, hãy thử kể lại ý tưởng bằng ba câu ngắn: tín hiệu nào xuất hiện, công cụ nào được chọn, và vì sao điều kiện của đề làm công cụ ấy trở nên sắc. Nếu ba câu này rõ ràng, em đã nắm phương pháp chứ không chỉ chép lại phép tính.
Một vòng kiểm tra độc lập nữa là đổi cách biểu diễn: với đại số, thử phân tích hoặc khai triển ngược; với hình học, đối chiếu bằng tọa độ, độ dài hay thể tích; với xác suất, cộng các trường hợp để kiểm tra tổng; với dãy và giải tích, thế vài giá trị hoặc so giới hạn biên. Em cần ghi rõ phép kiểm tra đã xác nhận điều gì và điều gì vẫn phải dựa vào chứng minh. Thói quen này giúp phân biệt một đáp số có vẻ hợp lý với một lời giải thật sự kín kẽ.
Luyện tập có hướng dẫn
Ở ba câu vừa rồi, điều quan trọng hơn đáp số là lý do chọn bước đầu. Em nên tự nói thành lời: “Tôi chọn Đặt A tại O, AB và AC theo hai trục vì dữ kiện của đề tạo đúng cấu trúc cần thiết”. Nếu không nói được câu đó, hãy quay lại sơ đồ phương pháp trước khi làm phần độc lập.
Luyện tập độc lập
Lỗi thường gặp
Chọn hệ trục tạo quá nhiều ẩn hoặc dùng phương trình mà không dịch lại ý nghĩa hình học
Kiểm tra nhanh
Tóm tắt và nối bài
Điều cần giữ lại là: chọn hệ trục theo cấu hình, tính trung điểm và kiểm tra kết luận hình học bằng vectơ. Khi tự luyện, em hãy ghi riêng “tín hiệu nhận dạng” ở lề bài giải; sau vài bài, việc chọn công cụ sẽ nhanh hơn hẳn. Bài sau dùng phản xạ để biến tổng hai khoảng cách thành một đoạn thẳng.
Hệ trục tốt biến các điểm chân, trung điểm hoặc đường vuông góc thành tọa độ đơn giản. Trung điểm được lấy bằng trung bình tọa độ; đường trung tuyến đi qua đỉnh và trung điểm cạnh đối. Khi đọc đề, ta không hỏi ngay “dùng công thức nào”, mà hỏi “điều kiện nào phải được tận dụng hết”. Một lời giải HSG tốt thường có ba lớp: nhận diện cấu trúc, chọn phép biến đổi bảo toàn điều kiện, rồi kiểm tra trường hợp biên hoặc dấu bằng. Ba lớp này phải xuất hiện rõ trong bài viết, không được giấu sau một chuỗi tính toán.
Cách làm an toàn là dự đoán kết quả bằng một trường hợp cân bằng hoặc đối xứng, sau đó thử biến đổi ngược từ đích. Nếu phép biến đổi tạo ra điều kiện mới, phải ghi điều kiện ấy ngay tại chỗ. Nếu dùng một bất đẳng thức, phải nêu điều kiện áp dụng và trường hợp đẳng thức. Nếu giải phương trình, mọi nghiệm nhận được sau bình phương, đặt ẩn hoặc đổi biểu diễn đều phải thử lại. Đây là phần trình bày thường quyết định điểm số trong bài HSG.
Trung điểm M của BC là (3,2), nên AM có tham số (3t,2t). Trung điểm N của AC là (0,2); BN có tham số (6−6s,2s). Từ 2t=2s có t=s; từ 3t=6−6t được t=2/3. Vậy giao điểm là G=(2,4/3).
Ta có overrightarrowCG=(2,−8/3) và overrightarrowCP=(3,−4). Vì overrightarrow{CG}= rac23overrightarrow{CP}, ba điểm C,G,P thẳng hàng. Do đó ba trung tuyến đồng quy tại G. Vậy G là trọng tâm tam giác ABC.
Trước khi chuyển sang luyện tập, em hãy kiểm tra lại hai ví dụ theo bốn câu hỏi. Một: mọi phép chia, căn, logarit hoặc ẩn phụ có kèm điều kiện chưa. Hai: kết quả trung gian có đúng chiều và đúng miền không. Ba: trường hợp dấu bằng hoặc nghiệm biên có thật sự thỏa đề gốc không. Bốn: kết luận cuối đã trả lời đủ điều đề hỏi chưa. Với Đặt A tại O, AB và AC theo hai trục, một cách kiểm tra tốt là thay một giá trị đơn giản vào cả biểu thức ban đầu lẫn biểu thức sau biến đổi; hai kết quả phải khớp. Cách thử số không thay cho chứng minh, nhưng nó phát hiện nhanh lỗi dấu, lỗi hệ số và nghiệm ngoại lai. Sau đó, hãy thử kể lại ý tưởng bằng ba câu ngắn: tín hiệu nào xuất hiện, công cụ nào được chọn, và vì sao điều kiện của đề làm công cụ ấy trở nên sắc. Nếu ba câu này rõ ràng, em đã nắm phương pháp chứ không chỉ chép lại phép tính.
Một vòng kiểm tra độc lập nữa là đổi cách biểu diễn: với đại số, thử phân tích hoặc khai triển ngược; với hình học, đối chiếu bằng tọa độ, độ dài hay thể tích; với xác suất, cộng các trường hợp để kiểm tra tổng; với dãy và giải tích, thế vài giá trị hoặc so giới hạn biên. Em cần ghi rõ phép kiểm tra đã xác nhận điều gì và điều gì vẫn phải dựa vào chứng minh. Thói quen này giúp phân biệt một đáp số có vẻ hợp lý với một lời giải thật sự kín kẽ.