Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Phép đồng dư và số dư của lũy thừa
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em có thể tìm chu kỳ lũy thừa và dùng đồng dư để chứng minh chia hết. Năng lực cần đạt không dừng ở việc nhớ một công thức: em phải nhận ra tín hiệu của bài toán, giải thích vì sao chọn phương pháp và trình bày một chuỗi suy luận có thể kiểm tra được.
Kiến thức cần có
Chia hết, số nguyên tố, phân tích thừa số, số chính phương và phép chia có dư.
Chuẩn HSG so với bài chuẩn
Bài chuẩn kiểm tra dấu hiệu chia hết hoặc phân tích thừa số trên một số cụ thể. Mở rộng dành cho HSG: bài HSG dùng đồng dư, Fermat nhỏ, phân tích nhân tử trên Z và chặn giữa hai bình phương. Nội dung mở rộng được giới thiệu từng bước trong bài; em không cần biết trước ngoài các kiến thức đã nêu ở trên.
Câu hỏi mở đầu
Bốn chữ số tận cùng của các lũy thừa 7 lặp theo chu kỳ nào modulo 10? Hãy dừng lại một phút và viết ra hai điều: dữ kiện nào đang khống chế bài toán, và trường hợp đặc biệt nào đáng thử trước. Câu trả lời ban đầu chưa cần hoàn chỉnh; mục đích là tập thói quen nhìn cấu trúc trước khi tính.
Công cụ và cách phát hiện
Nếu $aequiv bpmod m$ thì có thể cộng, trừ, nhân và nâng cùng một số mũ. Với lũy thừa lớn, hãy tính các số dư đầu đến khi trở lại 1; độ dài chu kỳ quyết định cách giảm số mũ. Khi đọc đề, ta không hỏi ngay “dùng công thức nào”, mà hỏi “điều kiện nào phải được tận dụng hết”. Một lời giải HSG tốt thường có ba lớp: nhận diện cấu trúc, chọn phép biến đổi bảo toàn điều kiện, rồi kiểm tra trường hợp biên hoặc dấu bằng. Ba lớp này phải xuất hiện rõ trong bài viết, không được giấu sau một chuỗi tính toán.
Cách làm an toàn là dự đoán kết quả bằng một trường hợp cân bằng hoặc đối xứng, sau đó thử biến đổi ngược từ đích. Nếu phép biến đổi tạo ra điều kiện mới, phải ghi điều kiện ấy ngay tại chỗ. Nếu dùng một bất đẳng thức, phải nêu điều kiện áp dụng và trường hợp đẳng thức. Nếu giải phương trình, mọi nghiệm nhận được sau bình phương, đặt ẩn hoặc đổi biểu diễn đều phải thử lại. Đây là phần trình bày thường quyết định điểm số trong bài HSG.
Số mũ được giảm theo độ dài chu kỳ, không giảm tùy ý.
Ví dụ mẫu thứ nhất
Ví dụ
Ví dụ 1 — Chữ số tận cùng
1
Tìm chữ số tận cùng của $7^{100}$.
2
Đề không chỉ định sẵn phép biến đổi. Muốn đi tiếp, ta phải đọc điều kiện, dự đoán trường hợp đẳng thức hoặc cấu trúc nghiệm, rồi mới chọn công cụ. Nếu biến đổi trước khi có định hướng, lời giải rất dễ dài hoặc mất điều kiện.
3
Xét chu kỳ modulo 10: 7,9,3,1.
4
Ta có $7^1equiv7$, $7^2equiv9$, $7^3equiv3$, $7^4equiv1pmod{10}$. Chu kỳ dài 4. Vì $100equiv0pmod4$, suy ra $7^{100}equiv1pmod{10}$. Vậy chữ số tận cùng là 1.
5
Sau khi có kết quả, cần đối chiếu lại điều kiện và trường hợp xảy ra dấu bằng hoặc nghiệm đặc biệt. Không lấy 100 modulo 10; phải giảm theo độ dài chu kỳ 4.
6
Tìm chữ số tận cùng của $7^{2026}$.
Ví dụ mẫu thứ hai
Ví dụ
Ví dụ 2 — Ba số liên tiếp
1
Chứng minh $n^3-n$ chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
2
Đề không chỉ định sẵn phép biến đổi. Muốn đi tiếp, ta phải đọc điều kiện, dự đoán trường hợp đẳng thức hoặc cấu trúc nghiệm, rồi mới chọn công cụ. Nếu biến đổi trước khi có định hướng, lời giải rất dễ dài hoặc mất điều kiện.
3
Phân tích thành tích ba số nguyên liên tiếp.
4
Ta có $n^3-n=n(n-1)(n+1)$. Trong ba số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3 và ít nhất một số chẵn. Vì 2 và 3 nguyên tố cùng nhau, tích chia hết cho 6. Vậy $6mid n^3-n$ với mọi n nguyên.
5
Sau khi có kết quả, cần đối chiếu lại điều kiện và trường hợp xảy ra dấu bằng hoặc nghiệm đặc biệt. Phải giải thích vì sao chia hết đồng thời cho 2 và 3 suy ra chia hết cho 6.
6
Chứng minh $30mid n^5-n$ bằng các môđun 2,3,5.
Tự kiểm chứng lời giải
Trước khi chuyển sang luyện tập, em hãy kiểm tra lại hai ví dụ theo bốn câu hỏi. Một: mọi phép chia, căn, logarit hoặc ẩn phụ có kèm điều kiện chưa. Hai: kết quả trung gian có đúng chiều và đúng miền không. Ba: trường hợp dấu bằng hoặc nghiệm biên có thật sự thỏa đề gốc không. Bốn: kết luận cuối đã trả lời đủ điều đề hỏi chưa. Với Modulo 10 và chu kỳ lũy thừa, một cách kiểm tra tốt là thay một giá trị đơn giản vào cả biểu thức ban đầu lẫn biểu thức sau biến đổi; hai kết quả phải khớp. Cách thử số không thay cho chứng minh, nhưng nó phát hiện nhanh lỗi dấu, lỗi hệ số và nghiệm ngoại lai. Sau đó, hãy thử kể lại ý tưởng bằng ba câu ngắn: tín hiệu nào xuất hiện, công cụ nào được chọn, và vì sao điều kiện của đề làm công cụ ấy trở nên sắc. Nếu ba câu này rõ ràng, em đã nắm phương pháp chứ không chỉ chép lại phép tính.
Một vòng kiểm tra độc lập nữa là đổi cách biểu diễn: với đại số, thử phân tích hoặc khai triển ngược; với hình học, đối chiếu bằng tọa độ, độ dài hay thể tích; với xác suất, cộng các trường hợp để kiểm tra tổng; với dãy và giải tích, thế vài giá trị hoặc so giới hạn biên. Em cần ghi rõ phép kiểm tra đã xác nhận điều gì và điều gì vẫn phải dựa vào chứng minh. Thói quen này giúp phân biệt một đáp số có vẻ hợp lý với một lời giải thật sự kín kẽ.
Luyện tập có hướng dẫn
Ở ba câu vừa rồi, điều quan trọng hơn đáp số là lý do chọn bước đầu. Em nên tự nói thành lời: “Tôi chọn Modulo 10 và chu kỳ lũy thừa vì dữ kiện của đề tạo đúng cấu trúc cần thiết”. Nếu không nói được câu đó, hãy quay lại sơ đồ phương pháp trước khi làm phần độc lập.
Luyện tập độc lập
Lỗi thường gặp
Áp dụng định lý modulo mà không kiểm tra nguyên tố hoặc nguyên tố cùng nhau
Kiểm tra nhanh
Tóm tắt và nối bài
Điều cần giữ lại là: chọn môđun theo câu hỏi, tìm chu kỳ thật và nêu rõ căn cứ khi ghép các điều kiện chia hết. Khi tự luyện, em hãy ghi riêng “tín hiệu nhận dạng” ở lề bài giải; sau vài bài, việc chọn công cụ sẽ nhanh hơn hẳn. Bài sau dùng định lý Fermat nhỏ để có chu kỳ modulo số nguyên tố mà không cần liệt kê dài.
Nếu aequivbpmodm thì có thể cộng, trừ, nhân và nâng cùng một số mũ. Với lũy thừa lớn, hãy tính các số dư đầu đến khi trở lại 1; độ dài chu kỳ quyết định cách giảm số mũ. Khi đọc đề, ta không hỏi ngay “dùng công thức nào”, mà hỏi “điều kiện nào phải được tận dụng hết”. Một lời giải HSG tốt thường có ba lớp: nhận diện cấu trúc, chọn phép biến đổi bảo toàn điều kiện, rồi kiểm tra trường hợp biên hoặc dấu bằng. Ba lớp này phải xuất hiện rõ trong bài viết, không được giấu sau một chuỗi tính toán.
Cách làm an toàn là dự đoán kết quả bằng một trường hợp cân bằng hoặc đối xứng, sau đó thử biến đổi ngược từ đích. Nếu phép biến đổi tạo ra điều kiện mới, phải ghi điều kiện ấy ngay tại chỗ. Nếu dùng một bất đẳng thức, phải nêu điều kiện áp dụng và trường hợp đẳng thức. Nếu giải phương trình, mọi nghiệm nhận được sau bình phương, đặt ẩn hoặc đổi biểu diễn đều phải thử lại. Đây là phần trình bày thường quyết định điểm số trong bài HSG.
Tìm chữ số tận cùng của 7100.
Ta có 71equiv7, 72equiv9, 73equiv3, 74equiv1pmod10. Chu kỳ dài 4. Vì 100equiv0pmod4, suy ra 7100equiv1pmod10. Vậy chữ số tận cùng là 1.
Tìm chữ số tận cùng của 72026.
Chứng minh n3−n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
Ta có n3−n=n(n−1)(n+1). Trong ba số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3 và ít nhất một số chẵn. Vì 2 và 3 nguyên tố cùng nhau, tích chia hết cho 6. Vậy 6midn3−n với mọi n nguyên.
Chứng minh 30midn5−n bằng các môđun 2,3,5.
Trước khi chuyển sang luyện tập, em hãy kiểm tra lại hai ví dụ theo bốn câu hỏi. Một: mọi phép chia, căn, logarit hoặc ẩn phụ có kèm điều kiện chưa. Hai: kết quả trung gian có đúng chiều và đúng miền không. Ba: trường hợp dấu bằng hoặc nghiệm biên có thật sự thỏa đề gốc không. Bốn: kết luận cuối đã trả lời đủ điều đề hỏi chưa. Với Modulo 10 và chu kỳ lũy thừa, một cách kiểm tra tốt là thay một giá trị đơn giản vào cả biểu thức ban đầu lẫn biểu thức sau biến đổi; hai kết quả phải khớp. Cách thử số không thay cho chứng minh, nhưng nó phát hiện nhanh lỗi dấu, lỗi hệ số và nghiệm ngoại lai. Sau đó, hãy thử kể lại ý tưởng bằng ba câu ngắn: tín hiệu nào xuất hiện, công cụ nào được chọn, và vì sao điều kiện của đề làm công cụ ấy trở nên sắc. Nếu ba câu này rõ ràng, em đã nắm phương pháp chứ không chỉ chép lại phép tính.
Một vòng kiểm tra độc lập nữa là đổi cách biểu diễn: với đại số, thử phân tích hoặc khai triển ngược; với hình học, đối chiếu bằng tọa độ, độ dài hay thể tích; với xác suất, cộng các trường hợp để kiểm tra tổng; với dãy và giải tích, thế vài giá trị hoặc so giới hạn biên. Em cần ghi rõ phép kiểm tra đã xác nhận điều gì và điều gì vẫn phải dựa vào chứng minh. Thói quen này giúp phân biệt một đáp số có vẻ hợp lý với một lời giải thật sự kín kẽ.