Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Bù trừ cho các điều kiện chồng lấn
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em có thể lập đúng các tập vi phạm và áp dụng bù trừ đến phần giao. Năng lực cần đạt không dừng ở việc nhớ một công thức: em phải nhận ra tín hiệu của bài toán, giải thích vì sao chọn phương pháp và trình bày một chuỗi suy luận có thể kiểm tra được.
Kiến thức cần có
Quy tắc cộng–nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và xác suất cổ điển.
Chuẩn HSG so với bài chuẩn
Bài chuẩn thường yêu cầu áp dụng trực tiếp một công thức đếm. Mở rộng dành cho HSG: bài HSG buộc phân loại giao nhau, dựng song ánh, dùng Dirichlet hoặc chuyển biến ngẫu nhiên thành tổng các chỉ báo. Nội dung mở rộng được giới thiệu từng bước trong bài; em không cần biết trước ngoài các kiến thức đã nêu ở trên.
Câu hỏi mở đầu
Khi trừ số hoán vị có A cạnh B và số hoán vị có C cạnh D, vì sao các hoán vị có cả hai cặp bị trừ hai lần? Hãy dừng lại một phút và viết ra hai điều: dữ kiện nào đang khống chế bài toán, và trường hợp đặc biệt nào đáng thử trước. Câu trả lời ban đầu chưa cần hoàn chỉnh; mục đích là tập thói quen nhìn cấu trúc trước khi tính.
Công cụ và cách phát hiện
Với hai tập xấu X,Y, số cấu hình tốt là $N-|X|-|Y|+|Xcap Y|$. Dấu cộng cuối cùng trả lại các cấu hình đã bị trừ hai lần. Kỹ thuật khối xử lý điều kiện kề nhau, nhưng mỗi khối còn có số cách đảo thứ tự bên trong. Khi đọc đề, ta không hỏi ngay “dùng công thức nào”, mà hỏi “điều kiện nào phải được tận dụng hết”. Một lời giải HSG tốt thường có ba lớp: nhận diện cấu trúc, chọn phép biến đổi bảo toàn điều kiện, rồi kiểm tra trường hợp biên hoặc dấu bằng. Ba lớp này phải xuất hiện rõ trong bài viết, không được giấu sau một chuỗi tính toán.
Cách làm an toàn là dự đoán kết quả bằng một trường hợp cân bằng hoặc đối xứng, sau đó thử biến đổi ngược từ đích. Nếu phép biến đổi tạo ra điều kiện mới, phải ghi điều kiện ấy ngay tại chỗ. Nếu dùng một bất đẳng thức, phải nêu điều kiện áp dụng và trường hợp đẳng thức. Nếu giải phương trình, mọi nghiệm nhận được sau bình phương, đặt ẩn hoặc đổi biểu diễn đều phải thử lại. Đây là phần trình bày thường quyết định điểm số trong bài HSG.
Phần giao được cộng lại vì đã bị trừ hai lần.
Ví dụ mẫu thứ nhất
Ví dụ
Ví dụ 1 — Một cặp không đứng cạnh nhau
1
Xếp năm chữ A,B,C,D,E thành hàng sao cho A không cạnh B.
2
Đề không chỉ định sẵn phép biến đổi. Muốn đi tiếp, ta phải đọc điều kiện, dự đoán trường hợp đẳng thức hoặc cấu trúc nghiệm, rồi mới chọn công cụ. Nếu biến đổi trước khi có định hướng, lời giải rất dễ dài hoặc mất điều kiện.
3
Đếm toàn bộ rồi trừ cấu hình có khối AB hoặc BA.
4
Có $5!=120$ hoán vị. Khi A,B cạnh nhau, xem chúng là một khối: có $4!$ cách xếp bốn đối tượng và 2 thứ tự trong khối, tổng $2cdot4!=48$. Do đó số cách hợp lệ là $120-48=72$. Vậy có 72 cách.
5
Sau khi có kết quả, cần đối chiếu lại điều kiện và trường hợp xảy ra dấu bằng hoặc nghiệm đặc biệt. Không quên hai thứ tự AB và BA trong khối.
6
Thay năm chữ bằng sáu chữ và giữ một cặp cấm.
Ví dụ mẫu thứ hai
Ví dụ
Ví dụ 2 — Hai cặp cấm
1
Xếp A,B,C,D,E sao cho A không cạnh B và C không cạnh D.
2
Đề không chỉ định sẵn phép biến đổi. Muốn đi tiếp, ta phải đọc điều kiện, dự đoán trường hợp đẳng thức hoặc cấu trúc nghiệm, rồi mới chọn công cụ. Nếu biến đổi trước khi có định hướng, lời giải rất dễ dài hoặc mất điều kiện.
3
Dùng bù trừ với hai tập xấu và phần giao gồm hai khối.
4
Tổng có 120 cách. Mỗi tập xấu có $2cdot4!=48$ cách. Phần giao có ba đối tượng là hai khối và E: $3!cdot2cdot2=24$ cách. Vậy số tốt là $120-48-48+24=48$.
5
Sau khi có kết quả, cần đối chiếu lại điều kiện và trường hợp xảy ra dấu bằng hoặc nghiệm đặc biệt. Không bỏ phần giao 24; nếu bỏ sẽ trừ quá mức.
6
Thêm một chữ F và tính lại bằng cùng sơ đồ.
Tự kiểm chứng lời giải
Trước khi chuyển sang luyện tập, em hãy kiểm tra lại hai ví dụ theo bốn câu hỏi. Một: mọi phép chia, căn, logarit hoặc ẩn phụ có kèm điều kiện chưa. Hai: kết quả trung gian có đúng chiều và đúng miền không. Ba: trường hợp dấu bằng hoặc nghiệm biên có thật sự thỏa đề gốc không. Bốn: kết luận cuối đã trả lời đủ điều đề hỏi chưa. Với $N-|X|-|Y|+|Xcap Y|$, một cách kiểm tra tốt là thay một giá trị đơn giản vào cả biểu thức ban đầu lẫn biểu thức sau biến đổi; hai kết quả phải khớp. Cách thử số không thay cho chứng minh, nhưng nó phát hiện nhanh lỗi dấu, lỗi hệ số và nghiệm ngoại lai. Sau đó, hãy thử kể lại ý tưởng bằng ba câu ngắn: tín hiệu nào xuất hiện, công cụ nào được chọn, và vì sao điều kiện của đề làm công cụ ấy trở nên sắc. Nếu ba câu này rõ ràng, em đã nắm phương pháp chứ không chỉ chép lại phép tính.
Một vòng kiểm tra độc lập nữa là đổi cách biểu diễn: với đại số, thử phân tích hoặc khai triển ngược; với hình học, đối chiếu bằng tọa độ, độ dài hay thể tích; với xác suất, cộng các trường hợp để kiểm tra tổng; với dãy và giải tích, thế vài giá trị hoặc so giới hạn biên. Em cần ghi rõ phép kiểm tra đã xác nhận điều gì và điều gì vẫn phải dựa vào chứng minh. Thói quen này giúp phân biệt một đáp số có vẻ hợp lý với một lời giải thật sự kín kẽ.
Luyện tập có hướng dẫn
Ở ba câu vừa rồi, điều quan trọng hơn đáp số là lý do chọn bước đầu. Em nên tự nói thành lời: “Tôi chọn $N-|X|-|Y|+|Xcap Y|$ vì dữ kiện của đề tạo đúng cấu trúc cần thiết”. Nếu không nói được câu đó, hãy quay lại sơ đồ phương pháp trước khi làm phần độc lập.
Luyện tập độc lập
Lỗi thường gặp
Cộng các trường hợp chồng lấn mà không trừ phần giao
Kiểm tra nhanh
Tóm tắt và nối bài
Điều cần giữ lại là: đặt rõ tập xấu, đếm phần giao bằng khối và theo dõi số lần mỗi cấu hình bị cộng–trừ. Khi tự luyện, em hãy ghi riêng “tín hiệu nhận dạng” ở lề bài giải; sau vài bài, việc chọn công cụ sẽ nhanh hơn hẳn. Bài sau chuyển từ đếm số lượng sang chứng minh sự tồn tại bằng Dirichlet và song ánh.
Với hai tập xấu X,Y, số cấu hình tốt là N−∣X∣−∣Y∣+∣XcapY∣. Dấu cộng cuối cùng trả lại các cấu hình đã bị trừ hai lần. Kỹ thuật khối xử lý điều kiện kề nhau, nhưng mỗi khối còn có số cách đảo thứ tự bên trong. Khi đọc đề, ta không hỏi ngay “dùng công thức nào”, mà hỏi “điều kiện nào phải được tận dụng hết”. Một lời giải HSG tốt thường có ba lớp: nhận diện cấu trúc, chọn phép biến đổi bảo toàn điều kiện, rồi kiểm tra trường hợp biên hoặc dấu bằng. Ba lớp này phải xuất hiện rõ trong bài viết, không được giấu sau một chuỗi tính toán.
Cách làm an toàn là dự đoán kết quả bằng một trường hợp cân bằng hoặc đối xứng, sau đó thử biến đổi ngược từ đích. Nếu phép biến đổi tạo ra điều kiện mới, phải ghi điều kiện ấy ngay tại chỗ. Nếu dùng một bất đẳng thức, phải nêu điều kiện áp dụng và trường hợp đẳng thức. Nếu giải phương trình, mọi nghiệm nhận được sau bình phương, đặt ẩn hoặc đổi biểu diễn đều phải thử lại. Đây là phần trình bày thường quyết định điểm số trong bài HSG.
Có 5!=120 hoán vị. Khi A,B cạnh nhau, xem chúng là một khối: có 4! cách xếp bốn đối tượng và 2 thứ tự trong khối, tổng 2cdot4!=48. Do đó số cách hợp lệ là 120−48=72. Vậy có 72 cách.
Tổng có 120 cách. Mỗi tập xấu có 2cdot4!=48 cách. Phần giao có ba đối tượng là hai khối và E: 3!cdot2cdot2=24 cách. Vậy số tốt là 120−48−48+24=48.
Trước khi chuyển sang luyện tập, em hãy kiểm tra lại hai ví dụ theo bốn câu hỏi. Một: mọi phép chia, căn, logarit hoặc ẩn phụ có kèm điều kiện chưa. Hai: kết quả trung gian có đúng chiều và đúng miền không. Ba: trường hợp dấu bằng hoặc nghiệm biên có thật sự thỏa đề gốc không. Bốn: kết luận cuối đã trả lời đủ điều đề hỏi chưa. Với N−∣X∣−∣Y∣+∣XcapY∣, một cách kiểm tra tốt là thay một giá trị đơn giản vào cả biểu thức ban đầu lẫn biểu thức sau biến đổi; hai kết quả phải khớp. Cách thử số không thay cho chứng minh, nhưng nó phát hiện nhanh lỗi dấu, lỗi hệ số và nghiệm ngoại lai. Sau đó, hãy thử kể lại ý tưởng bằng ba câu ngắn: tín hiệu nào xuất hiện, công cụ nào được chọn, và vì sao điều kiện của đề làm công cụ ấy trở nên sắc. Nếu ba câu này rõ ràng, em đã nắm phương pháp chứ không chỉ chép lại phép tính.
Một vòng kiểm tra độc lập nữa là đổi cách biểu diễn: với đại số, thử phân tích hoặc khai triển ngược; với hình học, đối chiếu bằng tọa độ, độ dài hay thể tích; với xác suất, cộng các trường hợp để kiểm tra tổng; với dãy và giải tích, thế vài giá trị hoặc so giới hạn biên. Em cần ghi rõ phép kiểm tra đã xác nhận điều gì và điều gì vẫn phải dựa vào chứng minh. Thói quen này giúp phân biệt một đáp số có vẻ hợp lý với một lời giải thật sự kín kẽ.
Ở ba câu vừa rồi, điều quan trọng hơn đáp số là lý do chọn bước đầu. Em nên tự nói thành lời: “Tôi chọn N−∣X∣−∣Y∣+∣XcapY∣ vì dữ kiện của đề tạo đúng cấu trúc cần thiết”. Nếu không nói được câu đó, hãy quay lại sơ đồ phương pháp trước khi làm phần độc lập.