Bài học

Chọn giữa đại số, bất đẳng thức, số học và tổ hợp

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em có thể nêu được hai phương án mở đầu và chọn phương án tận dụng nhiều giả thiết nhất. Năng lực cần đạt không dừng ở việc nhớ một công thức: em phải nhận ra tín hiệu của bài toán, giải thích vì sao chọn phương pháp và trình bày một chuỗi suy luận có thể kiểm tra được.

Kiến thức cần có

Hoàn thành các khóa HSG Toán 10 về bất đẳng thức, hệ, tổ hợp, số học, tọa độ và quy nạp.

Chuẩn HSG so với bài chuẩn

Bài luyện đơn chủ đề thường cho biết trước công cụ cần dùng. Mở rộng dành cho HSG: đề tổng hợp che tín hiệu phương pháp, nối nhiều phần và chấm cả kế hoạch, trình bày lẫn kiểm chứng. Nội dung mở rộng được giới thiệu từng bước trong bài; em không cần biết trước ngoài các kiến thức đã nêu ở trên.

Câu hỏi mở đầu

Cùng xuất hiện biểu thức $x^2+y^2$ , nhưng khi nào nên dùng S,P và khi nào nên dùng bình phương không âm? Hãy dừng lại một phút và viết ra hai điều: dữ kiện nào đang khống chế bài toán, và trường hợp đặc biệt nào đáng thử trước. Câu trả lời ban đầu chưa cần hoàn chỉnh; mục đích là tập thói quen nhìn cấu trúc trước khi tính.

Cùng xuất hiện biểu thức $x^2+y^2$, nhưng khi nào nên dùng S,P và khi nào nên dùng bình phương không âm? Hãy dừng lại một phút và viết ra hai điều: dữ kiện nào đang khống chế bài toán, và trường hợp đặc biệt nào đáng thử trước. Câu trả lời ban đầu chưa cần hoàn chỉnh; mục đích là tập thói quen nhìn cấu trúc trước khi tính.

Công cụ và cách phát hiện

Hệ đối xứng cần khôi phục nghiệm gợi S,P; bài chỉ hỏi chặn gợi bất đẳng thức. Lũy thừa kèm “số dư” gợi đồng dư; lựa chọn có điều kiện cấm gợi phần bù hoặc bù trừ. Khi đọc đề, ta không hỏi ngay “dùng công thức nào”, mà hỏi “điều kiện nào phải được tận dụng hết”. Một lời giải HSG tốt thường có ba lớp: nhận diện cấu trúc, chọn phép biến đổi bảo toàn điều kiện, rồi kiểm tra trường hợp biên hoặc dấu bằng. Ba lớp này phải xuất hiện rõ trong bài viết, không được giấu sau một chuỗi tính toán.

Cách làm an toàn là dự đoán kết quả bằng một trường hợp cân bằng hoặc đối xứng, sau đó thử biến đổi ngược từ đích. Nếu phép biến đổi tạo ra điều kiện mới, phải ghi điều kiện ấy ngay tại chỗ. Nếu dùng một bất đẳng thức, phải nêu điều kiện áp dụng và trường hợp đẳng thức. Nếu giải phương trình, mọi nghiệm nhận được sau bình phương, đặt ẩn hoặc đổi biểu diễn đều phải thử lại. Đây là phần trình bày thường quyết định điểm số trong bài HSG.

Động từ yêu cầu và cấu trúc dữ kiện quyết định công cụ, không phải độ dài biểu thức.

Ví dụ mẫu thứ nhất

Ví dụ

Ví dụ 1 — Hệ hay bất đẳng thức

1
Cho $x+y=7$ , $xy=10$ . Tìm x,y và giá trị $x^2+y^2$ .
Cho $x+y=7$, $xy=10$. Tìm x,y và giá trị $x^2+y^2$.
2
Đề không chỉ định sẵn phép biến đổi. Muốn đi tiếp, ta phải đọc điều kiện, dự đoán trường hợp đẳng thức hoặc cấu trúc nghiệm, rồi mới chọn công cụ. Nếu biến đổi trước khi có định hướng, lời giải rất dễ dài hoặc mất điều kiện.
3
Yêu cầu tìm từng biến nên dùng Viète; giá trị bình phương được tính sau từ S,P.
4
x,y là nghiệm của $t^2-7t+10=0$ , nên ${x,y}={2,5}$ . Khi đó $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=49-20=29$ . Vậy hai cặp có thứ tự là (2,5),(5,2) và giá trị bằng 29.
x,y là nghiệm của $t^2-7t+10=0$, nên ${x,y}={2,5}$. Khi đó $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=49-20=29$. Vậy hai cặp có thứ tự là (2,5),(5,2) và giá trị bằng 29.
5
Sau khi có kết quả, cần đối chiếu lại điều kiện và trường hợp xảy ra dấu bằng hoặc nghiệm đặc biệt. Không giải hệ bằng khai triển dài khi S,P đã có sẵn.
6
Nếu đề chỉ yêu cầu chặn $x^2+y^2$ với tổng cố định, chuyển sang bình phương không âm.
Nếu đề chỉ yêu cầu chặn $x^2+y^2$ với tổng cố định, chuyển sang bình phương không âm.

Ví dụ mẫu thứ hai

Ví dụ

Ví dụ 2 — Đồng dư hay tính trực tiếp

1
Tìm số dư của $3^{100}$ khi chia cho 7.
Tìm số dư của $3^{100}$ khi chia cho 7.
2
Đề không chỉ định sẵn phép biến đổi. Muốn đi tiếp, ta phải đọc điều kiện, dự đoán trường hợp đẳng thức hoặc cấu trúc nghiệm, rồi mới chọn công cụ. Nếu biến đổi trước khi có định hướng, lời giải rất dễ dài hoặc mất điều kiện.
3
Từ khóa số dư và số mũ lớn gợi Fermat hoặc chu kỳ.
4
Vì 7 nguyên tố và không chia 3, $3^6equiv1pmod7$ . Do $100equiv4pmod6$ , $3^{100}equiv3^4=81equiv4pmod7$ . Vậy số dư là 4.
Vì 7 nguyên tố và không chia 3, $3^6equiv1pmod7$. Do $100equiv4pmod6$, $3^{100}equiv3^4=81equiv4pmod7$. Vậy số dư là 4.
5
Sau khi có kết quả, cần đối chiếu lại điều kiện và trường hợp xảy ra dấu bằng hoặc nghiệm đặc biệt. Không cố tính số nguyên khổng lồ rồi mới chia.
6
Tìm $3^{2026}$ modulo 7.
Tìm $3^{2026}$ modulo 7.

Tự kiểm chứng lời giải

Trước khi chuyển sang luyện tập, em hãy kiểm tra lại hai ví dụ theo bốn câu hỏi. Một: mọi phép chia, căn, logarit hoặc ẩn phụ có kèm điều kiện chưa. Hai: kết quả trung gian có đúng chiều và đúng miền không. Ba: trường hợp dấu bằng hoặc nghiệm biên có thật sự thỏa đề gốc không. Bốn: kết luận cuối đã trả lời đủ điều đề hỏi chưa. Với Đặt S=x+y, P=xy, một cách kiểm tra tốt là thay một giá trị đơn giản vào cả biểu thức ban đầu lẫn biểu thức sau biến đổi; hai kết quả phải khớp. Cách thử số không thay cho chứng minh, nhưng nó phát hiện nhanh lỗi dấu, lỗi hệ số và nghiệm ngoại lai. Sau đó, hãy thử kể lại ý tưởng bằng ba câu ngắn: tín hiệu nào xuất hiện, công cụ nào được chọn, và vì sao điều kiện của đề làm công cụ ấy trở nên sắc. Nếu ba câu này rõ ràng, em đã nắm phương pháp chứ không chỉ chép lại phép tính.

Một vòng kiểm tra độc lập nữa là đổi cách biểu diễn: với đại số, thử phân tích hoặc khai triển ngược; với hình học, đối chiếu bằng tọa độ, độ dài hay thể tích; với xác suất, cộng các trường hợp để kiểm tra tổng; với dãy và giải tích, thế vài giá trị hoặc so giới hạn biên. Em cần ghi rõ phép kiểm tra đã xác nhận điều gì và điều gì vẫn phải dựa vào chứng minh. Thói quen này giúp phân biệt một đáp số có vẻ hợp lý với một lời giải thật sự kín kẽ.

Luyện tập có hướng dẫn

Ở ba câu vừa rồi, điều quan trọng hơn đáp số là lý do chọn bước đầu. Em nên tự nói thành lời: “Tôi chọn Đặt S=x+y, P=xy vì dữ kiện của đề tạo đúng cấu trúc cần thiết”. Nếu không nói được câu đó, hãy quay lại sơ đồ phương pháp trước khi làm phần độc lập.

Luyện tập độc lập

Lỗi thường gặp

Bắt đầu tính ngay mà không lập bản đồ phương pháp và thứ tự phụ thuộc

Kiểm tra nhanh

Tóm tắt và nối bài

Điều cần giữ lại là: chọn phương pháp theo động từ và cấu trúc, thử bước mở đầu trước khi cam kết. Khi tự luyện, em hãy ghi riêng “tín hiệu nhận dạng” ở lề bài giải; sau vài bài, việc chọn công cụ sẽ nhanh hơn hẳn. Bài sau giải một chuỗi ba phần trong đó kết quả trước mở khóa phần sau.