Bài học

Vận dụng tổng hợp giá trị và công thức lượng giác

Mục tiêu bài học

Bài ôn tập này không đưa ra công thức mới nào — mục tiêu là kết hợp đúng nhiều công thức của cả năm bài trước trong cùng một bài toán, đúng như cách một đề kiểm tra cuối chương thực sự kết hợp chúng.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này (same-grade bridge, tổng hợp) dùng lại toàn bộ năm bài trước: dấu theo góc phần tư và bảng giá trị đặc biệt (Bài 1), hệ thức cơ bản và bốn công thức góc liên kết (Bài 2), công thức cộng (Bài 3), công thức nhân đôi và hạ bậc (Bài 4), công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng (Bài 5). Không có kiến thức nào ngoài năm bài đó xuất hiện trong bài ôn tập này — nếu một ví dụ dưới đây có bước nào chưa rõ, đó là dấu hiệu nên quay lại đúng bài đã dạy kỹ thuật đó, thay vì cố nhớ máy móc cách giải của riêng ví dụ này.

Cách ôn tập hiệu quả nhất không phải là đọc lại lý thuyết từ đầu, mà là tự hỏi: với mỗi bước trong lời giải mẫu dưới đây, công thức nào của bài nào đang được dùng, và tại sao dùng đúng công thức đó chứ không phải một công thức khác. Đây chính là năng lực mà đề thi thực sự kiểm tra — không phải khả năng nhớ công thức, mà khả năng NHẬN RA công thức nào phù hợp với dữ kiện đề bài cho.

Khởi động

Một đề kiểm tra hiếm khi chỉ hỏi đúng một công thức — thường đề sẽ cho một dữ kiện (như cosα) rồi yêu cầu tính một đại lượng cần PHỐI HỢP nhiều công thức liên tiếp (như sin2α, hay cos(α+β)). Bài ôn tập này luyện đúng kỹ năng phối hợp đó.

Cùng một đường tròn lượng giác của Bài 1 và Bài 2 — mọi công thức trong khoá học đều quay lại chính hình vẽ này.

Bốn ví dụ dưới đây được chọn để mỗi ví dụ buộc em dùng ÍT NHẤT hai kỹ thuật khác nhau trong cùng một lời giải — đúng thử thách mà một bài kiểm tra cuối chương thực sự đặt ra, khác hẳn với bài tập luyện tập từng bài học riêng lẻ chỉ dùng một công thức.

Ví dụ tổng hợp

Ví dụ

Kết hợp dấu theo góc phần tư, hệ thức cơ bản, nhân đôi và công thức cộng

1
Cho $\cos\alpha = -\dfrac35$ với $\alpha \in \left(\dfrac{\pi}2; \pi\right)$ . Tính $\sin2\alpha$ và $\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}3\right)$ .
Cho $\cos\alpha = -\dfrac35$ với $\alpha \in \left(\dfrac{\pi}2; \pi\right)$. Tính $\sin2\alpha$ và $\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}3\right)$.
2
$\sin^2\alpha = 1-\cos^2\alpha = 1-\dfrac9{25} = \dfrac{16}{25}$ . Vì $\alpha$ ở góc phần tư II nên $\sin\alpha > 0$ : $\sin\alpha = \dfrac45$ . (1)
$\sin^2\alpha = 1-\cos^2\alpha = 1-\dfrac9{25} = \dfrac{16}{25}$. Vì $\alpha$ ở góc phần tư II nên $\sin\alpha > 0$: $\sin\alpha = \dfrac45$. (1)
3
$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\cdot\dfrac45\cdot\left(-\dfrac35\right) = -\dfrac{24}{25}$ . (2)
$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\cdot\dfrac45\cdot\left(-\dfrac35\right) = -\dfrac{24}{25}$. (2)
4
$\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}3\right) = \cos\alpha\cos\dfrac{\pi}3 - \sin\alpha\sin\dfrac{\pi}3 = \left(-\dfrac35\right)\cdot\dfrac12 - \dfrac45\cdot\dfrac{\sqrt3}2 = -\dfrac3{10}-\dfrac{4\sqrt3}{10} = -\dfrac{3+4\sqrt3}{10}$ . (3)
$\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}3\right) = \cos\alpha\cos\dfrac{\pi}3 - \sin\alpha\sin\dfrac{\pi}3 = \left(-\dfrac35\right)\cdot\dfrac12 - \dfrac45\cdot\dfrac{\sqrt3}2 = -\dfrac3{10}-\dfrac{4\sqrt3}{10} = -\dfrac{3+4\sqrt3}{10}$. (3)
5
Từ (1) và (2): $\sin2\alpha = -\dfrac{24}{25}$ . Từ (1) và (3): $\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}3\right) = -\dfrac{3+4\sqrt3}{10} \approx -0{,}9928$ . Vậy $\sin2\alpha = -\dfrac{24}{25}$ , $\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}3\right) = -\dfrac{3+4\sqrt3}{10}$ .
Từ (1) và (2): $\sin2\alpha = -\dfrac{24}{25}$. Từ (1) và (3): $\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}3\right) = -\dfrac{3+4\sqrt3}{10} \approx -0{,}9928$. Vậy $\sin2\alpha = -\dfrac{24}{25}$, $\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}3\right) = -\dfrac{3+4\sqrt3}{10}$.

Ví dụ

Kiểm chứng cùng một kết quả bằng hai kỹ thuật khác nhau

1
Tính $\sin\dfrac{\pi}{12}$ bằng công thức cộng (Bài 3), rồi kiểm tra lại bằng công thức hạ bậc (Bài 4).
Tính $\sin\dfrac{\pi}{12}$ bằng công thức cộng (Bài 3), rồi kiểm tra lại bằng công thức hạ bậc (Bài 4).
2
$\dfrac{\pi}{12} = 15° = 45°-30°$ , nên $\sin15° = \sin45°\cos30° - \cos45°\sin30° = \dfrac{\sqrt6}4-\dfrac{\sqrt2}4 = \dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4 \approx 0{,}2588$ .
$\dfrac{\pi}{12} = 15° = 45°-30°$, nên $\sin15° = \sin45°\cos30° - \cos45°\sin30° = \dfrac{\sqrt6}4-\dfrac{\sqrt2}4 = \dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4 \approx 0{,}2588$.
3
$2\cdot15° = 30°$ , nên $\sin^215° = \dfrac{1-\cos30°}2 = \dfrac{1-\sqrt3/2}2 = \dfrac{2-\sqrt3}4$ . Vì $15°$ ở góc phần tư I nên $\sin15° > 0$ : $\sin15° = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt3}}2$ .
$2\cdot15° = 30°$, nên $\sin^215° = \dfrac{1-\cos30°}2 = \dfrac{1-\sqrt3/2}2 = \dfrac{2-\sqrt3}4$. Vì $15°$ ở góc phần tư I nên $\sin15° > 0$: $\sin15° = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt3}}2$.
4
Bình phương kết quả Cách 1: $\left(\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4\right)^2 = \dfrac{6+2-2\sqrt{12}}{16} = \dfrac{8-4\sqrt3}{16} = \dfrac{2-\sqrt3}4$ — đúng bằng $\sin^215°$ ở Cách 2. Hai kỹ thuật độc lập cho cùng một giá trị — đây là cách tự kiểm tra một bài toán khi không có đáp án tham khảo. Vậy $\sin\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4$ .
Bình phương kết quả Cách 1: $\left(\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4\right)^2 = \dfrac{6+2-2\sqrt{12}}{16} = \dfrac{8-4\sqrt3}{16} = \dfrac{2-\sqrt3}4$ — đúng bằng $\sin^215°$ ở Cách 2. Hai kỹ thuật độc lập cho cùng một giá trị — đây là cách tự kiểm tra một bài toán khi không có đáp án tham khảo. Vậy $\sin\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4$.

Ví dụ

Vận dụng công thức góc phụ để so sánh hai giá trị

1
So sánh $\cos\dfrac{\pi}{12}$ và $\sin\dfrac{5\pi}{12}$ mà không cần tính số thập phân của cả hai.
So sánh $\cos\dfrac{\pi}{12}$ và $\sin\dfrac{5\pi}{12}$ mà không cần tính số thập phân của cả hai.
2
$\dfrac{\pi}{12} + \dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{6\pi}{12} = \dfrac{\pi}2$ , nên hai góc này phụ nhau.
$\dfrac{\pi}{12} + \dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{6\pi}{12} = \dfrac{\pi}2$, nên hai góc này phụ nhau.
3
Theo công thức góc phụ (Bài 2), $\sin\left(\dfrac{\pi}2-\beta\right) = \cos\beta$ . Với $\beta = \dfrac{\pi}{12}$ : $\sin\dfrac{5\pi}{12} = \sin\left(\dfrac{\pi}2-\dfrac{\pi}{12}\right) = \cos\dfrac{\pi}{12}$ .
Theo công thức góc phụ (Bài 2), $\sin\left(\dfrac{\pi}2-\beta\right) = \cos\beta$. Với $\beta = \dfrac{\pi}{12}$: $\sin\dfrac{5\pi}{12} = \sin\left(\dfrac{\pi}2-\dfrac{\pi}{12}\right) = \cos\dfrac{\pi}{12}$.
4
Hai giá trị bằng nhau: $\cos\dfrac{\pi}{12} = \sin\dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4$ — không cần tính số thập phân, chỉ cần nhận ra quan hệ phụ nhau giữa hai góc.
Hai giá trị bằng nhau: $\cos\dfrac{\pi}{12} = \sin\dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4$ — không cần tính số thập phân, chỉ cần nhận ra quan hệ phụ nhau giữa hai góc.

Ví dụ

Bài toán ngược: biết sin2α, tìm sinα và cosα

1
Cho $\sin2\alpha = \dfrac{24}{25}$ với $\alpha \in \left(0; \dfrac{\pi}4\right)$ . Tính $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$ .
Cho $\sin2\alpha = \dfrac{24}{25}$ với $\alpha \in \left(0; \dfrac{\pi}4\right)$. Tính $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$.
2
Ta có $s^2+c^2=1$ (hệ thức cơ bản) và $2sc = \dfrac{24}{25}$ (giả thiết, vì $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ ).
Ta có $s^2+c^2=1$ (hệ thức cơ bản) và $2sc = \dfrac{24}{25}$ (giả thiết, vì $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$).
3
$(s+c)^2 = s^2+c^2+2sc = 1+\dfrac{24}{25} = \dfrac{49}{25}$ , nên $s+c = \dfrac75$ (dương, vì $\alpha \in (0;\pi/4)$ nên cả sinα, cosα dương). $(s-c)^2 = s^2+c^2-2sc = 1-\dfrac{24}{25} = \dfrac1{25}$ , nên $s-c = \pm\dfrac15$ .
$(s+c)^2 = s^2+c^2+2sc = 1+\dfrac{24}{25} = \dfrac{49}{25}$, nên $s+c = \dfrac75$ (dương, vì $\alpha \in (0;\pi/4)$ nên cả sinα, cosα dương). $(s-c)^2 = s^2+c^2-2sc = 1-\dfrac{24}{25} = \dfrac1{25}$, nên $s-c = \pm\dfrac15$.
4
Vì $\alpha < \dfrac{\pi}4$ nên $\sin\alpha < \cos\alpha$ , tức $s-c < 0$ : chọn $s-c = -\dfrac15$ .
Vì $\alpha < \dfrac{\pi}4$ nên $\sin\alpha < \cos\alpha$, tức $s-c < 0$: chọn $s-c = -\dfrac15$.
5
Cộng hai phương trình $s+c=\dfrac75$ và $s-c=-\dfrac15$ : $2s=\dfrac65$ , $s=\dfrac35$ ; suy ra $c=\dfrac75-\dfrac35=\dfrac45$ . Kiểm tra: $2sc = 2\cdot\dfrac35\cdot\dfrac45=\dfrac{24}{25}$ , khớp giả thiết. Vậy $\sin\alpha=\dfrac35$ , $\cos\alpha=\dfrac45$ .
Cộng hai phương trình $s+c=\dfrac75$ và $s-c=-\dfrac15$: $2s=\dfrac65$, $s=\dfrac35$; suy ra $c=\dfrac75-\dfrac35=\dfrac45$. Kiểm tra: $2sc = 2\cdot\dfrac35\cdot\dfrac45=\dfrac{24}{25}$, khớp giả thiết. Vậy $\sin\alpha=\dfrac35$, $\cos\alpha=\dfrac45$.

Sai lầm thường gặp

Lỗi phổ biến nhất trong bài tổng hợp không phải là quên công thức, mà là quên BƯỚC ĐẦU TIÊN: xác định dấu của giá trị lượng giác còn thiếu theo đúng góc phần tư đề bài cho — thiếu bước này, mọi công thức áp dụng sau đó đều dùng sai số liệu, dù các bước biến đổi tiếp theo hoàn toàn chính xác. Lỗi thứ hai, cũng rất phổ biến trong bài tổng hợp nhiều bước: dùng nhầm công thức của bài này cho dữ kiện thuộc bài khác — ví dụ áp dụng công thức nhân đôi (Bài 4) khi đề thực ra đang hỏi công thức cộng hai góc khác nhau (Bài 3). Cách phòng tránh chắc chắn nhất: trước khi viết công thức, tự hỏi "đại lượng cần tính có đúng dạng $f(2a)$ , $f(a\pm b)$ , hay $f(x)\pm f(y)$ " — mỗi dạng gọi đúng một nhóm công thức, không lẫn lộn.

Lỗi phổ biến nhất trong bài tổng hợp không phải là quên công thức, mà là quên BƯỚC ĐẦU TIÊN: xác định dấu của giá trị lượng giác còn thiếu theo đúng góc phần tư đề bài cho — thiếu bước này, mọi công thức áp dụng sau đó đều dùng sai số liệu, dù các bước biến đổi tiếp theo hoàn toàn chính xác. Lỗi thứ hai, cũng rất phổ biến trong bài tổng hợp nhiều bước: dùng nhầm công thức của bài này cho dữ kiện thuộc bài khác — ví dụ áp dụng công thức nhân đôi (Bài 4) khi đề thực ra đang hỏi công thức cộng hai góc khác nhau (Bài 3). Cách phòng tránh chắc chắn nhất: trước khi viết công thức, tự hỏi "đại lượng cần tính có đúng dạng $f(2a)$, $f(a\pm b)$, hay $f(x)\pm f(y)$" — mỗi dạng gọi đúng một nhóm công thức, không lẫn lộn.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Tóm lại, một bài toán lượng giác tổng hợp không đòi hỏi kiến thức mới — nó chỉ đòi hỏi thực hiện đúng thứ tự bốn bước: xác định góc phần tư và dấu, dùng hệ thức cơ bản hoặc góc liên kết để tìm giá trị còn thiếu, áp dụng đúng công thức (cộng, nhân đôi, hạ bậc, hay tổng-tích) mà đề bài yêu cầu, rồi kiểm tra lại kết quả bằng một cách tính độc lập khi có thể — như ví dụ hai kỹ thuật ở trên đã minh hoạ. Bốn ví dụ của bài này không phải bốn dạng bài tách biệt cần học thuộc thêm, mà là bốn cách khác nhau để luyện đúng một kỹ năng duy nhất: đọc đề, nhận ra công thức nào áp dụng được, rồi thực hiện theo đúng thứ tự.

Khoá học Giá trị lượng giác và công thức lượng giác kết thúc tại đây. Bộ công thức này là nền tảng bắt buộc cho khoá tiếp theo — Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác — nơi em sẽ dùng lại chính những công thức này để giải phương trình và khảo sát đồ thị. Không có công thức nào trong khoá sau thay thế được năm bài vừa học; chúng chỉ được VẬN DỤNG theo những cách mới, phức tạp hơn, trong một bối cảnh khác — vì vậy, nắm chắc năm bài này trước khi bước sang khoá tiếp theo là điều bắt buộc, không phải một lựa chọn.