Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Dựng đường phụ cho chứng minh vuông góc
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em có thể lập chuỗi hai vuông góc để chứng minh đường–mặt rồi suy ra đường–đường. Năng lực cần đạt không dừng ở việc nhớ một công thức: em phải nhận ra tín hiệu của bài toán, giải thích vì sao chọn phương pháp và trình bày một chuỗi suy luận có thể kiểm tra được.
Kiến thức cần có
Quan hệ song song–vuông góc, hình chóp, hình hộp, thể tích và AM-GM.
Chuẩn HSG so với bài chuẩn
Bài chuẩn thường cho sẵn đường vuông góc hoặc chiều cao để tính trực tiếp. Mở rộng dành cho HSG: bài HSG phải dựng đường phụ, tìm vuông góc chung, tính cùng thể tích theo hai đáy hoặc tối ưu đại lượng hình học. Nội dung mở rộng được giới thiệu từng bước trong bài; em không cần biết trước ngoài các kiến thức đã nêu ở trên.
Câu hỏi mở đầu
Nếu BC vuông góc SA và AB, vì sao BC vuông góc mọi đường trong mặt phẳng SAB đi qua giao điểm thích hợp? Hãy dừng lại một phút và viết ra hai điều: dữ kiện nào đang khống chế bài toán, và trường hợp đặc biệt nào đáng thử trước. Câu trả lời ban đầu chưa cần hoàn chỉnh; mục đích là tập thói quen nhìn cấu trúc trước khi tính.
Công cụ và cách phát hiện
Tiêu chuẩn cốt lõi: đường d vuông góc hai đường cắt nhau a,b trong mặt phẳng P thì d vuông góc P. Sau đó d vuông góc mọi đường thuộc P. Đường phụ song song thường đưa một đường chéo nhau vào mặt phẳng thuận lợi. Khi đọc đề, ta không hỏi ngay “dùng công thức nào”, mà hỏi “điều kiện nào phải được tận dụng hết”. Một lời giải HSG tốt thường có ba lớp: nhận diện cấu trúc, chọn phép biến đổi bảo toàn điều kiện, rồi kiểm tra trường hợp biên hoặc dấu bằng. Ba lớp này phải xuất hiện rõ trong bài viết, không được giấu sau một chuỗi tính toán.
Cách làm an toàn là dự đoán kết quả bằng một trường hợp cân bằng hoặc đối xứng, sau đó thử biến đổi ngược từ đích. Nếu phép biến đổi tạo ra điều kiện mới, phải ghi điều kiện ấy ngay tại chỗ. Nếu dùng một bất đẳng thức, phải nêu điều kiện áp dụng và trường hợp đẳng thức. Nếu giải phương trình, mọi nghiệm nhận được sau bình phương, đặt ẩn hoặc đổi biểu diễn đều phải thử lại. Đây là phần trình bày thường quyết định điểm số trong bài HSG.
Hai đường cắt nhau trong cùng mặt phẳng là cầu nối bắt buộc.
Ví dụ mẫu thứ nhất
Ví dụ
Ví dụ 1 — Từ cạnh đáy đến cạnh bên
1
Cho hình chóp S.ABC, $SAperp(ABC)$ và $ABperp BC$. Chứng minh $BCperp SB$.
2
Đề không chỉ định sẵn phép biến đổi. Muốn đi tiếp, ta phải đọc điều kiện, dự đoán trường hợp đẳng thức hoặc cấu trúc nghiệm, rồi mới chọn công cụ. Nếu biến đổi trước khi có định hướng, lời giải rất dễ dài hoặc mất điều kiện.
3
Chứng minh BC vuông góc mặt phẳng SAB.
4
Vì $SAperp(ABC)$ nên $SAperp BC$. Lại có $ABperp BC$ theo giả thiết. Hai đường SA,AB cắt nhau và cùng thuộc (SAB), nên $BCperp(SAB)$. Vì $SBsubset(SAB)$, suy ra $BCperp SB$. Vậy điều phải chứng minh đúng.
5
Sau khi có kết quả, cần đối chiếu lại điều kiện và trường hợp xảy ra dấu bằng hoặc nghiệm đặc biệt. Không kết luận BC⊥(SAB) chỉ từ BC⊥AB.
6
Thay SB bằng mọi đường qua B nằm trong (SAB).
Ví dụ mẫu thứ hai
Ví dụ
Ví dụ 2 — Đường chéo của hai mặt song song
1
Trong hình lập phương ABCD.A′B′C′D′, chứng minh $ACperp B′D′$.
2
Đề không chỉ định sẵn phép biến đổi. Muốn đi tiếp, ta phải đọc điều kiện, dự đoán trường hợp đẳng thức hoặc cấu trúc nghiệm, rồi mới chọn công cụ. Nếu biến đổi trước khi có định hướng, lời giải rất dễ dài hoặc mất điều kiện.
3
Dùng $B′D′parallel BD$ và hai đường chéo hình vuông đáy vuông góc.
4
Trong hình vuông ABCD, $ACperp BD$. Hai mặt đáy song song nên $B′D′parallel BD$. Một đường vuông góc với BD cũng vuông góc mọi đường song song BD; do đó $ACperp B′D′$. Vậy hai đường chéo chéo nhau này vuông góc.
5
Sau khi có kết quả, cần đối chiếu lại điều kiện và trường hợp xảy ra dấu bằng hoặc nghiệm đặc biệt. Không gọi hai đường là cắt nhau; chúng vuông góc theo góc giữa hai đường chéo nhau.
6
Chứng minh $A′C′perp BD$ tương tự.
Tự kiểm chứng lời giải
Trước khi chuyển sang luyện tập, em hãy kiểm tra lại hai ví dụ theo bốn câu hỏi. Một: mọi phép chia, căn, logarit hoặc ẩn phụ có kèm điều kiện chưa. Hai: kết quả trung gian có đúng chiều và đúng miền không. Ba: trường hợp dấu bằng hoặc nghiệm biên có thật sự thỏa đề gốc không. Bốn: kết luận cuối đã trả lời đủ điều đề hỏi chưa. Với d vuông góc hai đường cắt nhau trong P, một cách kiểm tra tốt là thay một giá trị đơn giản vào cả biểu thức ban đầu lẫn biểu thức sau biến đổi; hai kết quả phải khớp. Cách thử số không thay cho chứng minh, nhưng nó phát hiện nhanh lỗi dấu, lỗi hệ số và nghiệm ngoại lai. Sau đó, hãy thử kể lại ý tưởng bằng ba câu ngắn: tín hiệu nào xuất hiện, công cụ nào được chọn, và vì sao điều kiện của đề làm công cụ ấy trở nên sắc. Nếu ba câu này rõ ràng, em đã nắm phương pháp chứ không chỉ chép lại phép tính.
Một vòng kiểm tra độc lập nữa là đổi cách biểu diễn: với đại số, thử phân tích hoặc khai triển ngược; với hình học, đối chiếu bằng tọa độ, độ dài hay thể tích; với xác suất, cộng các trường hợp để kiểm tra tổng; với dãy và giải tích, thế vài giá trị hoặc so giới hạn biên. Em cần ghi rõ phép kiểm tra đã xác nhận điều gì và điều gì vẫn phải dựa vào chứng minh. Thói quen này giúp phân biệt một đáp số có vẻ hợp lý với một lời giải thật sự kín kẽ.
Luyện tập có hướng dẫn
Ở ba câu vừa rồi, điều quan trọng hơn đáp số là lý do chọn bước đầu. Em nên tự nói thành lời: “Tôi chọn d vuông góc hai đường cắt nhau trong P vì dữ kiện của đề tạo đúng cấu trúc cần thiết”. Nếu không nói được câu đó, hãy quay lại sơ đồ phương pháp trước khi làm phần độc lập.
Luyện tập độc lập
Lỗi thường gặp
Suy luận từ hình vẽ phối cảnh hoặc dùng một cặp vuông góc để kết luận đường vuông góc mặt phẳng
Kiểm tra nhanh
Tóm tắt và nối bài
Điều cần giữ lại là: chọn mặt phẳng chứa đường đích, tìm hai đường cắt nhau và chỉ dùng quan hệ song song sau khi nêu rõ. Khi tự luyện, em hãy ghi riêng “tín hiệu nhận dạng” ở lề bài giải; sau vài bài, việc chọn công cụ sẽ nhanh hơn hẳn. Bài sau dựng đường vuông góc chung để tính khoảng cách hai đường chéo nhau.
Tiêu chuẩn cốt lõi: đường d vuông góc hai đường cắt nhau a,b trong mặt phẳng P thì d vuông góc P. Sau đó d vuông góc mọi đường thuộc P. Đường phụ song song thường đưa một đường chéo nhau vào mặt phẳng thuận lợi. Khi đọc đề, ta không hỏi ngay “dùng công thức nào”, mà hỏi “điều kiện nào phải được tận dụng hết”. Một lời giải HSG tốt thường có ba lớp: nhận diện cấu trúc, chọn phép biến đổi bảo toàn điều kiện, rồi kiểm tra trường hợp biên hoặc dấu bằng. Ba lớp này phải xuất hiện rõ trong bài viết, không được giấu sau một chuỗi tính toán.
Cách làm an toàn là dự đoán kết quả bằng một trường hợp cân bằng hoặc đối xứng, sau đó thử biến đổi ngược từ đích. Nếu phép biến đổi tạo ra điều kiện mới, phải ghi điều kiện ấy ngay tại chỗ. Nếu dùng một bất đẳng thức, phải nêu điều kiện áp dụng và trường hợp đẳng thức. Nếu giải phương trình, mọi nghiệm nhận được sau bình phương, đặt ẩn hoặc đổi biểu diễn đều phải thử lại. Đây là phần trình bày thường quyết định điểm số trong bài HSG.
Cho hình chóp S.ABC, SAperp(ABC) và ABperpBC. Chứng minh BCperpSB.
Vì SAperp(ABC) nên SAperpBC. Lại có ABperpBC theo giả thiết. Hai đường SA,AB cắt nhau và cùng thuộc (SAB), nên BCperp(SAB). Vì SBsubset(SAB), suy ra BCperpSB. Vậy điều phải chứng minh đúng.
Trong hình lập phương ABCD.A′B′C′D′, chứng minh ACperpB′D′.
Dùng B′D′parallelBD và hai đường chéo hình vuông đáy vuông góc.
Trong hình vuông ABCD, ACperpBD. Hai mặt đáy song song nên B′D′parallelBD. Một đường vuông góc với BD cũng vuông góc mọi đường song song BD; do đó ACperpB′D′. Vậy hai đường chéo chéo nhau này vuông góc.
Chứng minh A′C′perpBD tương tự.
Trước khi chuyển sang luyện tập, em hãy kiểm tra lại hai ví dụ theo bốn câu hỏi. Một: mọi phép chia, căn, logarit hoặc ẩn phụ có kèm điều kiện chưa. Hai: kết quả trung gian có đúng chiều và đúng miền không. Ba: trường hợp dấu bằng hoặc nghiệm biên có thật sự thỏa đề gốc không. Bốn: kết luận cuối đã trả lời đủ điều đề hỏi chưa. Với d vuông góc hai đường cắt nhau trong P, một cách kiểm tra tốt là thay một giá trị đơn giản vào cả biểu thức ban đầu lẫn biểu thức sau biến đổi; hai kết quả phải khớp. Cách thử số không thay cho chứng minh, nhưng nó phát hiện nhanh lỗi dấu, lỗi hệ số và nghiệm ngoại lai. Sau đó, hãy thử kể lại ý tưởng bằng ba câu ngắn: tín hiệu nào xuất hiện, công cụ nào được chọn, và vì sao điều kiện của đề làm công cụ ấy trở nên sắc. Nếu ba câu này rõ ràng, em đã nắm phương pháp chứ không chỉ chép lại phép tính.
Một vòng kiểm tra độc lập nữa là đổi cách biểu diễn: với đại số, thử phân tích hoặc khai triển ngược; với hình học, đối chiếu bằng tọa độ, độ dài hay thể tích; với xác suất, cộng các trường hợp để kiểm tra tổng; với dãy và giải tích, thế vài giá trị hoặc so giới hạn biên. Em cần ghi rõ phép kiểm tra đã xác nhận điều gì và điều gì vẫn phải dựa vào chứng minh. Thói quen này giúp phân biệt một đáp số có vẻ hợp lý với một lời giải thật sự kín kẽ.