Bài học

Phương trình đặc trưng với hai nghiệm phân biệt

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em có thể lập công thức tường minh và xác định hai hằng số từ dữ kiện đầu. Năng lực cần đạt không dừng ở việc nhớ một công thức: em phải nhận ra tín hiệu của bài toán, giải thích vì sao chọn phương pháp và trình bày một chuỗi suy luận có thể kiểm tra được.

Kiến thức cần có

Cấp số nhân, quy nạp, giới hạn, số phức và dãy đơn điệu bị chặn.

Chuẩn HSG so với bài chuẩn

Bài chuẩn thường nhận dạng cấp số hoặc truy hồi bậc nhất. Mở rộng dành cho HSG: bài HSG dùng phương trình đặc trưng bậc hai, nghiệm phức, bất biến, kẹp và điểm cố định cho truy hồi phi tuyến. Nội dung mở rộng được giới thiệu từng bước trong bài; em không cần biết trước ngoài các kiến thức đã nêu ở trên.

Câu hỏi mở đầu

Vì sao thử $u_n=r^n$ biến một truy hồi theo chỉ số thành phương trình đại số? Hãy dừng lại một phút và viết ra hai điều: dữ kiện nào đang khống chế bài toán, và trường hợp đặc biệt nào đáng thử trước. Câu trả lời ban đầu chưa cần hoàn chỉnh; mục đích là tập thói quen nhìn cấu trúc trước khi tính.

Công cụ và cách phát hiện

Với $u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n$ , thế $r^n$ cho phương trình $r^2-ar-b=0$ . Hai nghiệm phân biệt $r_1,r_2$ tạo dạng $u_n=Ar_1^n+Br_2^n$ . Hai điều kiện đầu xác định A,B. Sau khi tìm công thức, hãy kiểm tra hai số hạng đầu và một bước truy hồi; tính duy nhất của dãy bậc hai khi biết hai giá trị đầu bảo đảm công thức đúng với mọi n. Khi đọc đề, ta không hỏi ngay “dùng công thức nào”, mà hỏi “điều kiện nào phải được tận dụng hết”. Một lời giải HSG tốt thường có ba lớp: nhận diện cấu trúc, chọn phép biến đổi bảo toàn điều kiện, rồi kiểm tra trường hợp biên hoặc dấu bằng. Ba lớp này phải xuất hiện rõ trong bài viết, không được giấu sau một chuỗi tính toán.

Với $u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n$, thế $r^n$ cho phương trình $r^2-ar-b=0$. Hai nghiệm phân biệt $r_1,r_2$ tạo dạng $u_n=Ar_1^n+Br_2^n$. Hai điều kiện đầu xác định A,B. Sau khi tìm công thức, hãy kiểm tra hai số hạng đầu và một bước truy hồi; tính duy nhất của dãy bậc hai khi biết hai giá trị đầu bảo đảm công thức đúng với mọi n. Khi đọc đề, ta không hỏi ngay “dùng công thức nào”, mà hỏi “điều kiện nào phải được tận dụng hết”. Một lời giải HSG tốt thường có ba lớp: nhận diện cấu trúc, chọn phép biến đổi bảo toàn điều kiện, rồi kiểm tra trường hợp biên hoặc dấu bằng. Ba lớp này phải xuất hiện rõ trong bài viết, không được giấu sau một chuỗi tính toán.

Cách làm an toàn là dự đoán kết quả bằng một trường hợp cân bằng hoặc đối xứng, sau đó thử biến đổi ngược từ đích. Nếu phép biến đổi tạo ra điều kiện mới, phải ghi điều kiện ấy ngay tại chỗ. Nếu dùng một bất đẳng thức, phải nêu điều kiện áp dụng và trường hợp đẳng thức. Nếu giải phương trình, mọi nghiệm nhận được sau bình phương, đặt ẩn hoặc đổi biểu diễn đều phải thử lại. Đây là phần trình bày thường quyết định điểm số trong bài HSG.

Hai bậc tự do của truy hồi khớp với hai điều kiện đầu.

Ví dụ mẫu thứ nhất

Ví dụ

Ví dụ 1 — Truy hồi Fibonacci

1
Cho $F_0=0,F_1=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ . Tìm công thức tường minh.
Cho $F_0=0,F_1=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$. Tìm công thức tường minh.
2
Đề không chỉ định sẵn phép biến đổi. Muốn đi tiếp, ta phải đọc điều kiện, dự đoán trường hợp đẳng thức hoặc cấu trúc nghiệm, rồi mới chọn công cụ. Nếu biến đổi trước khi có định hướng, lời giải rất dễ dài hoặc mất điều kiện.
3
Giải $r^2-r-1=0$ rồi dùng hai điều kiện đầu.
Giải $r^2-r-1=0$ rồi dùng hai điều kiện đầu.
4
Hai nghiệm là $arphi=(1+sqrt5)/2$ và $psi=(1-sqrt5)/2$ . Dạng tổng quát $F_n=A arphi^n+Bpsi^n$ . Từ $F_0=0$ có A+B=0; từ $F_1=1$ có $A( arphi-psi)=1$ , nên $A=1/sqrt5$ , B=-1/√5. Vậy $F_n=( arphi^n-psi^n)/sqrt5$ .
Hai nghiệm là $arphi=(1+sqrt5)/2$ và $psi=(1-sqrt5)/2$. Dạng tổng quát $F_n=Aarphi^n+Bpsi^n$. Từ $F_0=0$ có A+B=0; từ $F_1=1$ có $A(arphi-psi)=1$, nên $A=1/sqrt5$, B=-1/√5. Vậy $F_n=(arphi^n-psi^n)/sqrt5$.
5
Sau khi có kết quả, cần đối chiếu lại điều kiện và trường hợp xảy ra dấu bằng hoặc nghiệm đặc biệt. Không làm tròn φ,ψ trước khi trừ vì F_n phải là số nguyên.
6
Dùng công thức tính F₆ và đối chiếu truy hồi.

Ví dụ mẫu thứ hai

Ví dụ

Ví dụ 2 — Hai cơ số 2 và 3

1
Cho $u_0=2,u_1=5,u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n$ . Tìm $u_n$ .
Cho $u_0=2,u_1=5,u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n$. Tìm $u_n$.
2
Đề không chỉ định sẵn phép biến đổi. Muốn đi tiếp, ta phải đọc điều kiện, dự đoán trường hợp đẳng thức hoặc cấu trúc nghiệm, rồi mới chọn công cụ. Nếu biến đổi trước khi có định hướng, lời giải rất dễ dài hoặc mất điều kiện.
3
Phương trình đặc trưng có nghiệm 2 và 3.
4
$r^2-5r+6=(r-2)(r-3)$ , nên $u_n=A2^n+B3^n$ . Dữ kiện đầu cho A+B=2 và 2A+3B=5. Suy ra B=1,A=1. Vậy $u_n=2^n+3^n$ . Kiểm tra $u_2=4+9=13$ và từ truy hồi cũng được $5cdot5-6cdot2=13$ .
$r^2-5r+6=(r-2)(r-3)$, nên $u_n=A2^n+B3^n$. Dữ kiện đầu cho A+B=2 và 2A+3B=5. Suy ra B=1,A=1. Vậy $u_n=2^n+3^n$. Kiểm tra $u_2=4+9=13$ và từ truy hồi cũng được $5cdot5-6cdot2=13$.
5
Sau khi có kết quả, cần đối chiếu lại điều kiện và trường hợp xảy ra dấu bằng hoặc nghiệm đặc biệt. Không đảo dấu hệ số b trong phương trình đặc trưng.
6
Tìm giới hạn $u_n/3^n$ .
Tìm giới hạn $u_n/3^n$.

Tự kiểm chứng lời giải

Trước khi chuyển sang luyện tập, em hãy kiểm tra lại hai ví dụ theo bốn câu hỏi. Một: mọi phép chia, căn, logarit hoặc ẩn phụ có kèm điều kiện chưa. Hai: kết quả trung gian có đúng chiều và đúng miền không. Ba: trường hợp dấu bằng hoặc nghiệm biên có thật sự thỏa đề gốc không. Bốn: kết luận cuối đã trả lời đủ điều đề hỏi chưa. Với $u_n=Ar_1^n+Br_2^n$ , một cách kiểm tra tốt là thay một giá trị đơn giản vào cả biểu thức ban đầu lẫn biểu thức sau biến đổi; hai kết quả phải khớp. Cách thử số không thay cho chứng minh, nhưng nó phát hiện nhanh lỗi dấu, lỗi hệ số và nghiệm ngoại lai. Sau đó, hãy thử kể lại ý tưởng bằng ba câu ngắn: tín hiệu nào xuất hiện, công cụ nào được chọn, và vì sao điều kiện của đề làm công cụ ấy trở nên sắc. Nếu ba câu này rõ ràng, em đã nắm phương pháp chứ không chỉ chép lại phép tính.

Trước khi chuyển sang luyện tập, em hãy kiểm tra lại hai ví dụ theo bốn câu hỏi. Một: mọi phép chia, căn, logarit hoặc ẩn phụ có kèm điều kiện chưa. Hai: kết quả trung gian có đúng chiều và đúng miền không. Ba: trường hợp dấu bằng hoặc nghiệm biên có thật sự thỏa đề gốc không. Bốn: kết luận cuối đã trả lời đủ điều đề hỏi chưa. Với $u_n=Ar_1^n+Br_2^n$, một cách kiểm tra tốt là thay một giá trị đơn giản vào cả biểu thức ban đầu lẫn biểu thức sau biến đổi; hai kết quả phải khớp. Cách thử số không thay cho chứng minh, nhưng nó phát hiện nhanh lỗi dấu, lỗi hệ số và nghiệm ngoại lai. Sau đó, hãy thử kể lại ý tưởng bằng ba câu ngắn: tín hiệu nào xuất hiện, công cụ nào được chọn, và vì sao điều kiện của đề làm công cụ ấy trở nên sắc. Nếu ba câu này rõ ràng, em đã nắm phương pháp chứ không chỉ chép lại phép tính.

Một vòng kiểm tra độc lập nữa là đổi cách biểu diễn: với đại số, thử phân tích hoặc khai triển ngược; với hình học, đối chiếu bằng tọa độ, độ dài hay thể tích; với xác suất, cộng các trường hợp để kiểm tra tổng; với dãy và giải tích, thế vài giá trị hoặc so giới hạn biên. Em cần ghi rõ phép kiểm tra đã xác nhận điều gì và điều gì vẫn phải dựa vào chứng minh. Thói quen này giúp phân biệt một đáp số có vẻ hợp lý với một lời giải thật sự kín kẽ.

Luyện tập có hướng dẫn

Ở ba câu vừa rồi, điều quan trọng hơn đáp số là lý do chọn bước đầu. Em nên tự nói thành lời: “Tôi chọn $u_n=Ar_1^n+Br_2^n$ vì dữ kiện của đề tạo đúng cấu trúc cần thiết”. Nếu không nói được câu đó, hãy quay lại sơ đồ phương pháp trước khi làm phần độc lập.

Luyện tập độc lập

Lỗi thường gặp

Đoán đúng dạng công thức nhưng không kiểm tra điều kiện đầu và phương trình truy hồi

Kiểm tra nhanh

Tóm tắt và nối bài

Điều cần giữ lại là: lập đúng đa thức đặc trưng, phân loại nghiệm, dùng đủ hai dữ kiện và kiểm tra một số hạng. Khi tự luyện, em hãy ghi riêng “tín hiệu nhận dạng” ở lề bài giải; sau vài bài, việc chọn công cụ sẽ nhanh hơn hẳn. Bài sau xử lý khi hai nghiệm trùng nhau hoặc tạo thành cặp phức liên hợp.