Bài học

Phân tích cấu tạo số và các bài toán về chữ số

Bài học nâng cao: Phân tích cấu tạo số

Bạn Sao và mèo Mun đang chơi với những tấm thẻ ghi số.
Sao xếp được một số có hai chữ số rất đẹp.
Bỗng Mun nhảy qua, làm hai tấm thẻ đổi chỗ cho nhau.
Sao nhận ra số mới lại kém số cũ đúng bằng 5 lần tổng các chữ số của nó. Số của Sao là số nào nhỉ?

Cùng khám phá cấu tạo của một số

Để giải được câu đố của Sao, trước hết chúng mình cần hiểu mỗi con số được 'xây dựng' như thế nào.
Đó gọi là phân tích cấu tạo số.

Phân tích cấu tạo sốLà viết một số tự nhiên dưới dạng tổng giá trị các chữ số của nó. Giá trị của một chữ số phụ thuộc vào vị trí (hàng) của nó trong số đó.

Ví dụ, với số 82, chữ số 8 không chỉ là 8, mà là 8 chục.
Chữ số 2 là 2 đơn vị.

Số 82 gồm 8 chục và 2 đơn vị.

Vì vậy, ta có thể viết:
$82 = 80 + 2$
Hoặc viết đầy đủ hơn:
$82 = 8 \times 10 + 2$
Với một số có hai chữ số bất kì, ta có thể kí hiệu là $\overline{ab}$ .
Khi đó, $\overline{ab} = a \times 10 + b$ .

Vì vậy, ta có thể viết: $82 = 80 + 2$ Hoặc viết đầy đủ hơn: $82 = 8 \times 10 + 2$ Với một số có hai chữ số bất kì, ta có thể kí hiệu là $\overline{ab}$. Khi đó, $\overline{ab} = a \times 10 + b$.

Giải đố cùng bạn Sao

Bây giờ, chúng ta hãy cùng vận dụng kiến thức này để giải các bài toán tìm số nhé.

Ví dụ

Tìm số khi thêm chữ số vào bên trái

1
Tìm một số có hai chữ số. Biết rằng nếu viết thêm chữ số 2 vào bên trái số đó, ta được một số mới gấp 9 lần số ban đầu.
2
Ý tưởng chính là dùng cấu tạo số để 'dịch' lời văn thành một phép tính.

Gọi số cần tìm là $\overline{ab}$ .
Khi viết thêm chữ số 2 vào bên trái, ta được số mới là $\overline{2ab}$ .

Bây giờ, ta phân tích cấu tạo của các số này:
$\overline{ab} = a \times 10 + b$
$\overline{2ab} = 200 + \overline{ab} = 200 + a \times 10 + b$

Theo đề bài, số mới gấp 9 lần số ban đầu, nên ta có:
$\overline{2ab} = 9 \times \overline{ab}$
$200 + \overline{ab} = 9 \times \overline{ab}$

Em hãy tưởng tượng $\overline{ab}$ là một giỏ táo. Vế trái có 200 quả táo và 1 giỏ táo. Vế phải có 9 giỏ táo.
Nếu chúng ta cùng bớt 1 giỏ táo ở cả hai bên, thì hai bên vẫn bằng nhau.
$200 = 8 \times \overline{ab}$

Bây giờ ta dễ dàng tìm được giỏ táo, à không, số $\overline{ab}$ :
$\overline{ab} = 200 : 8$
$\overline{ab} = 25$
Vậy số cần tìm là 25.
Ý tưởng chính là dùng cấu tạo số để 'dịch' lời văn thành một phép tính. Gọi số cần tìm là $\overline{ab}$. Khi viết thêm chữ số 2 vào bên trái, ta được số mới là $\overline{2ab}$. Bây giờ, ta phân tích cấu tạo của các số này: $\overline{ab} = a \times 10 + b$ $\overline{2ab} = 200 + \overline{ab} = 200 + a \times 10 + b$ Theo đề bài, số mới gấp 9 lần số ban đầu, nên ta có: $\overline{2ab} = 9 \times \overline{ab}$ $200 + \overline{ab} = 9 \times \overline{ab}$ Em hãy tưởng tượng $\overline{ab}$ là một giỏ táo. Vế trái có 200 quả táo và 1 giỏ táo. Vế phải có 9 giỏ táo. Nếu chúng ta cùng bớt 1 giỏ táo ở cả hai bên, thì hai bên vẫn bằng nhau. $200 = 8 \times \overline{ab}$ Bây giờ ta dễ dàng tìm được giỏ táo, à không, số $\overline{ab}$: $\overline{ab} = 200 : 8$ $\overline{ab} = 25$ Vậy số cần tìm là 25.
3
Số ban đầu là 25. Viết thêm 2 vào bên trái ta được 225.
Ta có $225 : 25 = 9$ . Phép tính hoàn toàn chính xác.
Số ban đầu là 25. Viết thêm 2 vào bên trái ta được 225. Ta có $225 : 25 = 9$. Phép tính hoàn toàn chính xác.
4
Phân tích cấu tạo số giúp đưa một bài toán lạ về dạng tìm thành phần chưa biết của phép tính.

Cẩn thận kẻo sập bẫy của Mun.

Khi phân tích số $\overline{2ab}$ trong ví dụ trên, một số bạn sẽ nhầm lẫn.
Các bạn viết thành $2 + \overline{ab}$ hoặc $2 \times \overline{ab}$ .
Cách này không đúng em nhé. Chữ số 2 ở đây thuộc hàng trăm, nên giá trị của nó là 200.
Vì vậy, cách viết đúng phải là $\overline{2ab} = 200 + \overline{ab}$ .

Khi phân tích số $\overline{2ab}$ trong ví dụ trên, một số bạn sẽ nhầm lẫn. Các bạn viết thành $2 + \overline{ab}$ hoặc $2 \times \overline{ab}$. Cách này không đúng em nhé. Chữ số 2 ở đây thuộc hàng trăm, nên giá trị của nó là 200. Vì vậy, cách viết đúng phải là $\overline{2ab} = 200 + \overline{ab}$.

Em đã chiến thắng thử thách!

Em giỏi quá.
Em đã biết cách 'giải mã' các con số rồi đó.
Bí quyết chính là phân tích cấu tạo số một cách cẩn thận.

Mở rộng dành cho HSG

Với bài toán xóa chữ số, ta cũng làm tương tự.
Ví dụ: Tìm số có 3 chữ số, biết rằng nếu xóa đi chữ số hàng trăm thì số đó giảm đi 7 lần.
Gọi số đó là $\overline{abc}$ . Xóa chữ số $a$ ta còn $\overline{bc}$ .
Ta có $\overline{abc} = 7 \times \overline{bc}$ .
$a \times 100 + \overline{bc} = 7 \times \overline{bc}$ .
$a \times 100 = 6 \times \overline{bc}$ .
$a \times 50 = 3 \times \overline{bc}$ .
Vì $a \times 50$ chia hết cho 50, nên $3 \times \overline{bc}$ cũng phải chia hết cho 50. Do 3 không chia hết cho 50, nên $\overline{bc}$ phải chia hết cho 50. $\overline{bc}$ chỉ có thể là 50. Khi đó $a=3$ . Số cần tìm là 350.

Với bài toán xóa chữ số, ta cũng làm tương tự. Ví dụ: Tìm số có 3 chữ số, biết rằng nếu xóa đi chữ số hàng trăm thì số đó giảm đi 7 lần. Gọi số đó là $\overline{abc}$. Xóa chữ số $a$ ta còn $\overline{bc}$. Ta có $\overline{abc} = 7 \times \overline{bc}$. $a \times 100 + \overline{bc} = 7 \times \overline{bc}$. $a \times 100 = 6 \times \overline{bc}$. $a \times 50 = 3 \times \overline{bc}$. Vì $a \times 50$ chia hết cho 50, nên $3 \times \overline{bc}$ cũng phải chia hết cho 50. Do 3 không chia hết cho 50, nên $\overline{bc}$ phải chia hết cho 50. $\overline{bc}$ chỉ có thể là 50. Khi đó $a=3$. Số cần tìm là 350.

Buổi học hôm nay thật vui.
Lần tới, Sao và Mun sẽ cùng em khám phá những dãy số có quy luật rất thú vị nhé.