Bài học

Bài 1: Dãy số cách đều và những bài toán quen mà lạ

Bạn Sao đang xếp những chiếc ô tô đồ chơi thành một hàng dài trên sàn nhà.
Mèo Mun tò mò lại gần, thấy Sao xếp chiếc xe thứ nhất mang số 2, chiếc thứ hai mang số 6, chiếc thứ ba mang số 10.
Mun thắc mắc: "Cứ xếp như vậy, liệu chiếc xe thứ 20 sẽ mang số bao nhiêu nhỉ?"

Cùng Sao khám phá quy luật

Em hãy nhìn dãy số trên những chiếc xe của bạn Sao nhé.
2, 6, 10, 14, .
Em có nhận ra điều gì đặc biệt không?

Đây là một dãy số cách đều.
Số đứng sau hơn số đứng ngay trước nó cùng một số đơn vị.
Số đơn vị đó được gọi là khoảng cách của dãy số.

Dãy số cách đềuLà dãy số mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng (hoặc trừ) với một số tự nhiên không đổi.

Khoảng cáchLà hiệu giữa hai số hạng liền kề bất kỳ trong dãy số cách đều.

Bạn Sao mách nhỏ

Để giải các bài toán về dãy số cách đều, em cần nhớ ba công thức quan trọng này nhé:

Số số hạng = (Số cuối - Số đầu) : Khoảng cách + 1
Tổng = (Số cuối + Số đầu) × Số số hạng : 2
Tìm số hạng thứ n = Số đầu + (n - 1) × Khoảng cách

Để giải các bài toán về dãy số cách đều, em cần nhớ ba công thức quan trọng này nhé: 1. **Số số hạng** = (Số cuối - Số đầu) : Khoảng cách + 1 2. **Tổng** = (Số cuối + Số đầu) × Số số hạng : 2 3. **Tìm số hạng thứ n** = Số đầu + (n - 1) × Khoảng cách

Làm cùng nhau

Ví dụ

Tính tổng dãy số

1
Một sân trường có các hàng ghế được đánh số theo dãy: 5, 10, 15, ., 95. Hỏi tổng các số ghi trên các hàng ghế là bao nhiêu?
2
Bạn Sao và mèo Mun bắt đầu giải bài toán này.
Đầu tiên, ta cần tìm xem có tất cả bao nhiêu hàng ghế (số số hạng).
Khoảng cách giữa các số là: $10 - 5 = 5$ .
Số số hạng là: $(95 - 5) : 5 + 1 = 19$ (hàng ghế).

Bây giờ, chúng mình tính tổng các số nhé.
Tổng = $(95 + 5) \times 19 : 2 = 100 \times 19 : 2 = 950$ .
Vậy tổng các số ghi trên ghế là 950.
Bạn Sao và mèo Mun bắt đầu giải bài toán này. Đầu tiên, ta cần tìm xem có tất cả bao nhiêu hàng ghế (số số hạng). Khoảng cách giữa các số là: $10 - 5 = 5$. Số số hạng là: $(95 - 5) : 5 + 1 = 19$ (hàng ghế). Bây giờ, chúng mình tính tổng các số nhé. Tổng = $(95 + 5) \times 19 : 2 = 100 \times 19 : 2 = 950$. Vậy tổng các số ghi trên ghế là 950.
3
Để tính tổng, em cần tìm số số hạng trước, sau đó áp dụng công thức tính tổng.

Thử thách đếm chữ số

Mở rộng dành cho HSG

Có những bài toán không chỉ hỏi về giá trị các số mà còn hỏi về các chữ số tạo nên chúng. Ví dụ: cần bao nhiêu chữ số để viết các số từ 1 đến 100?
Ý tưởng để giải quyết là chia dãy số thành các nhóm có cùng số chữ số (nhóm số có 1 chữ số, nhóm số có 2 chữ số,.).

Ví dụ

Bài toán đánh số trang sách

1
Bạn Sao cần dùng bao nhiêu chữ số để đánh số các trang của một quyển truyện dày 135 trang (bắt đầu từ trang 1)?
2
Chúng mình sẽ chia các trang sách thành các nhóm:

Nhóm 1: Các trang có 1 chữ số (từ trang 1 đến trang 9)
- Số trang là: $(9 - 1) : 1 + 1 = 9$ (trang).
- Số chữ số cần dùng: $9 \times 1 = 9$ (chữ số).
Nhóm 2: Các trang có 2 chữ số (từ trang 10 đến trang 99)
- Số trang là: $(99 - 10) : 1 + 1 = 90$ (trang).
- Số chữ số cần dùng: $90 \times 2 = 180$ (chữ số).
Nhóm 3: Các trang có 3 chữ số (từ trang 100 đến trang 135)
- Số trang là: $(135 - 100) : 1 + 1 = 36$ (trang).
- Số chữ số cần dùng: $36 \times 3 = 108$ (chữ số).
Tổng cộng:
Số chữ số cần dùng là: $9 + 180 + 108 = 297$ (chữ số).
Chúng mình sẽ chia các trang sách thành các nhóm: **Nhóm 1: Các trang có 1 chữ số (từ trang 1 đến trang 9)** - Số trang là: $(9 - 1) : 1 + 1 = 9$ (trang). - Số chữ số cần dùng: $9 \times 1 = 9$ (chữ số). **Nhóm 2: Các trang có 2 chữ số (từ trang 10 đến trang 99)** - Số trang là: $(99 - 10) : 1 + 1 = 90$ (trang). - Số chữ số cần dùng: $90 \times 2 = 180$ (chữ số). **Nhóm 3: Các trang có 3 chữ số (từ trang 100 đến trang 135)** - Số trang là: $(135 - 100) : 1 + 1 = 36$ (trang). - Số chữ số cần dùng: $36 \times 3 = 108$ (chữ số). **Tổng cộng:** Số chữ số cần dùng là: $9 + 180 + 108 = 297$ (chữ số).
3
Chia bài toán thành các nhóm nhỏ theo số chữ số sẽ giúp giải quyết dễ dàng hơn.

Bẫy vui của mèo Mun

Khi tính số các số có hai chữ số từ 10 đến 99, mèo Mun đã vội vàng lấy $99 - 10 = 89$ số. Sao lại nói Mun tính sai nhỉ? À, Mun đã quên mất phải cộng thêm 1 vào kết quả sau khi chia. Phép tính đúng phải là $(99 - 10) : 1 + 1 = 90$ số.

Chiến thắng

Giỏi lắm. Em đã cùng Sao và Mun chinh phục những dãy số tưởng chừng rất phức tạp.
Giờ em đã có thể tự tin giải quyết các bài toán về dãy số cách đều rồi.

Buổi học hôm nay thật vui. Lần tới, Sao và Mun sẽ khám phá những dãy số có quy luật còn đặc biệt hơn nữa. Em hãy chờ xem nhé.