Bài học

Bài toán tổng-tỉ với ba đại lượng liên quan

Bạn Mi và vẹt Ríu đang ngồi xâu những chuỗi vòng tay thật đẹp.
Trên bàn có ba hộp hạt: xanh, đỏ, và vàng.
Mi đố Ríu: "Tổng cộng có 180 hạt. Số hạt xanh bằng một nửa số hạt đỏ. Số hạt đỏ lại bằng một phần ba số hạt vàng. Ríu có biết mỗi loại có bao nhiêu hạt không?".
Ríu gãi đầu, bài toán này có tới ba số cần tìm, khó hơn mọi khi.

Bạn Mi và vẹt Ríu đang ngồi xâu những chuỗi vòng tay thật đẹp. Trên bàn có ba hộp hạt: xanh, đỏ, và vàng. Mi đố Ríu: "Tổng cộng có 180 hạt. Số hạt xanh bằng một nửa số hạt đỏ. Số hạt đỏ lại bằng một phần ba số hạt vàng. Ríu có biết mỗi loại có bao nhiêu hạt không?". Ríu gãi đầu, bài toán này có tới ba số cần tìm, khó hơn mọi khi.

Cùng gỡ rối cho Ríu nào

Bài toán này có vẻ phức tạp vì các tỉ số nối với nhau.
Số hạt xanh liên quan đến số hạt đỏ.
Số hạt đỏ lại liên quan đến số hạt vàng.
Đại lượng "số hạt đỏ" chính là cầu nối giữa hai tỉ số.

Đại lượng cầu nốiLà đại lượng xuất hiện trong cả hai tỉ số, giúp ta liên kết các đại lượng còn lại với nhau.

Để vẽ được một sơ đồ chung cho cả ba loại hạt, chúng ta cần tìm một cách biểu diễn chung.
Ta có:
Số hạt xanh bằng $\frac{1}{2}$ số hạt đỏ. Nếu coi hạt xanh là 1 phần thì hạt đỏ là 2 phần.
Số hạt đỏ bằng $\frac{1}{3}$ số hạt vàng. Nếu coi hạt đỏ là 1 phần thì hạt vàng là 3 phần.
Em thấy không? Số phần của hạt đỏ ở hai tỉ số này đang khác nhau. Một nơi là 2 phần, một nơi là 1 phần.
Ta cần làm cho số phần của hạt đỏ bằng nhau.

Để vẽ được một sơ đồ chung cho cả ba loại hạt, chúng ta cần tìm một cách biểu diễn chung. Ta có: Số hạt xanh bằng $\frac{1}{2}$ số hạt đỏ. Nếu coi hạt xanh là 1 phần thì hạt đỏ là 2 phần. Số hạt đỏ bằng $\frac{1}{3}$ số hạt vàng. Nếu coi hạt đỏ là 1 phần thì hạt vàng là 3 phần. Em thấy không? Số phần của hạt đỏ ở hai tỉ số này đang khác nhau. Một nơi là 2 phần, một nơi là 1 phần. Ta cần làm cho số phần của hạt đỏ bằng nhau.

Bạn Mi mách nhỏ

Hãy tìm số nhỏ nhất cùng chia hết cho số phần của đại lượng cầu nối. Ở đây, số nhỏ nhất chia hết cho 2 và 1 là 2. Ta sẽ quy đồng số phần của hạt đỏ về 2 phần.

Tỉ số xanh : đỏ là 1 : 2. Số phần của hạt đỏ đã là 2, ta giữ nguyên.
Tỉ số đỏ : vàng là 1 : 3. Để số phần của hạt đỏ là 2, ta nhân cả hai vế của tỉ số với 2.
Ta có tỉ số mới: đỏ : vàng là $(1 \times 2) : (3 \times 2)$ , tức là 2 : 6.
Bây giờ thì tuyệt rồi. Ta có thể kết hợp lại:

Hạt xanh: 1 phần
Hạt đỏ: 2 phần
Hạt vàng: 6 phần

Tỉ số xanh : đỏ là 1 : 2. Số phần của hạt đỏ đã là 2, ta giữ nguyên. Tỉ số đỏ : vàng là 1 : 3. Để số phần của hạt đỏ là 2, ta nhân cả hai vế của tỉ số với 2. Ta có tỉ số mới: đỏ : vàng là $(1 \times 2) : (3 \times 2)$, tức là 2 : 6. Bây giờ thì tuyệt rồi. Ta có thể kết hợp lại: - Hạt xanh: 1 phần - Hạt đỏ: 2 phần - Hạt vàng: 6 phần

Sơ đồ tỉ lệ số phần của ba loại hạt sau khi quy đồng.

Ví dụ

Giải bài toán của Mi

1
Tổng cộng có 180 hạt. Số hạt xanh bằng $\frac{1}{2}$ số hạt đỏ. Số hạt đỏ bằng $\frac{1}{3}$ số hạt vàng. Tính số hạt mỗi loại.
Tổng cộng có 180 hạt. Số hạt xanh bằng $\frac{1}{2}$ số hạt đỏ. Số hạt đỏ bằng $\frac{1}{3}$ số hạt vàng. Tính số hạt mỗi loại.
2
Trước hết, ta tìm tỉ lệ chung cho cả ba loại hạt.
Coi số hạt xanh là 1 phần thì số hạt đỏ là 2 phần.
Coi số hạt đỏ là 1 phần thì số hạt vàng là 3 phần.
Quy đồng số phần của hạt đỏ về 2. Ta nhân tỉ số thứ hai với 2.
Số hạt đỏ là 2 phần thì số hạt vàng là $3 \times 2 = 6$ phần.
Vậy, ta có sơ đồ:
- Hạt xanh: 1 phần
- Hạt đỏ: 2 phần
- Hạt vàng: 6 phần
Tổng số phần bằng nhau là:
$1 + 2 + 6 = 9$ (phần)

Giá trị của một phần là:
$180 : 9 = 20$ (hạt)

Số hạt xanh là:
$20 \times 1 = 20$ (hạt)

Số hạt đỏ là:
$20 \times 2 = 40$ (hạt)

Số hạt vàng là:
$20 \times 6 = 120$ (hạt)
Trước hết, ta tìm tỉ lệ chung cho cả ba loại hạt. Coi số hạt xanh là 1 phần thì số hạt đỏ là 2 phần. Coi số hạt đỏ là 1 phần thì số hạt vàng là 3 phần. Quy đồng số phần của hạt đỏ về 2. Ta nhân tỉ số thứ hai với 2. Số hạt đỏ là 2 phần thì số hạt vàng là $3 \times 2 = 6$ phần. Vậy, ta có sơ đồ: - Hạt xanh: 1 phần - Hạt đỏ: 2 phần - Hạt vàng: 6 phần Tổng số phần bằng nhau là: $1 + 2 + 6 = 9$ (phần) Giá trị của một phần là: $180 : 9 = 20$ (hạt) Số hạt xanh là: $20 \times 1 = 20$ (hạt) Số hạt đỏ là: $20 \times 2 = 40$ (hạt) Số hạt vàng là: $20 \times 6 = 120$ (hạt)
3
Tổng số hạt: $20 + 40 + 120 = 180$ (hạt). Đúng.
Tỉ lệ xanh/đỏ: $20 : 40 = \frac{1}{2}$ . Đúng.
Tỉ lệ đỏ/vàng: $40 : 120 = \frac{1}{3}$ . Đúng.
Tổng số hạt: $20 + 40 + 120 = 180$ (hạt). Đúng. Tỉ lệ xanh/đỏ: $20 : 40 = \frac{1}{2}$. Đúng. Tỉ lệ đỏ/vàng: $40 : 120 = \frac{1}{3}$. Đúng.
4
Khi gặp bài toán tổng-tỉ có ba đại lượng, hãy tìm tỉ số chung trước khi giải.

Thử thách nhỏ

Ríu suýt làm sai.

Thoạt đầu, Ríu thấy tỉ số xanh:đỏ là 1:2, đỏ:vàng là 1:3. Ríu nghĩ cứ cộng tất cả các số chỉ phần lại: $1+2+1+3=7$ phần. Cách làm này không đúng đâu nhé. Vì một "phần" của hạt đỏ trong tỉ số thứ nhất (khi so với hạt xanh) không bằng một "phần" của hạt đỏ trong tỉ số thứ hai (khi so với hạt vàng). Phải quy đồng thì các phần mới bằng nhau.

Chiến thắng!

Thật tuyệt vời, em đã nắm vững cách giải bài toán tổng-tỉ với ba đại lượng rồi đấy.
Giờ thì Mi và Ríu có thể tự tin tìm ra số hạt mỗi loại rồi.

Mi và Ríu đã xâu xong những chiếc vòng tay rực rỡ. Hẹn em ở thử thách lần sau, chúng mình sẽ khám phá các bài toán hiệu-tỉ cũng có ba đại lượng nhé.