Bài học

Viết số theo cấu tạo để chứng minh chia hết

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em biết viết một số (hoặc một biểu thức chứa số chưa biết) dưới dạng khai triển theo hàng chục, hàng trăm — rồi dùng cách viết đó để chứng minh một số luôn chia hết cho một số khác, thay vì chỉ kiểm tra bằng dấu hiệu chia hết đã học.

Kiến thức cần có

Em đã biết dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 và cách viết một số có hai chữ số dưới dạng $\overline{ab} = 10a + b$ (lớp 5, lớp 6). Bài này dùng đúng cách viết đó, nhưng theo hướng ngược: không kiểm tra một số cụ thể, mà chứng minh cho mọi số cùng dạng.

Dấu hiệu chia hết cho 9 mà em học ở lớp 6 trả lời được câu "số 4536 có chia hết cho 9 không". Nhưng nó không trả lời được câu "vì sao mọi số có dạng $\overline{aabb}$ đều chia hết cho 11" — đây là một khẳng định cho vô số số, không thể kiểm tra từng số một. Sự khác biệt này chính là ranh giới giữa bài kiểm tra thông thường và bài chứng minh.

Dấu hiệu chia hết cho 9 mà em học ở lớp 6 trả lời được câu "số 4536 có chia hết cho 9 không". Nhưng nó không trả lời được câu "vì sao mọi số có dạng $\overline{aabb}$ đều chia hết cho 11" — đây là một khẳng định cho **vô số** số, không thể kiểm tra từng số một. Sự khác biệt này chính là ranh giới giữa bài kiểm tra thông thường và bài chứng minh.

Bài toán khởi động

Thử vài số dạng $\overline{aabb}$ : $1122, 3311, 7788$ . Lấy máy tính chia cho 11, em sẽ thấy cả ba đều chia hết. Trùng hợp, hay đây là quy luật đúng với mọi số dạng này? Thử thêm vài số nữa không giải quyết được câu hỏi — ta cần một lý lẽ đúng cho mọi $a, b$ .

Thử vài số dạng $\overline{aabb}$: $1122, 3311, 7788$. Lấy máy tính chia cho 11, em sẽ thấy cả ba đều chia hết. Trùng hợp, hay đây là quy luật đúng với mọi số dạng này? Thử thêm vài số nữa không giải quyết được câu hỏi — ta cần một lý lẽ đúng cho **mọi** $a, b$.

Ý tưởng cốt lõi

Một số tự nhiên viết bằng chữ số không chỉ là một dãy ký hiệu — mỗi chữ số có một giá trị theo hàng của nó. Số $\overline{ab}$ (hai chữ số) có giá trị $10a + b$ ; số $\overline{abc}$ (ba chữ số) có giá trị $100a + 10b + c$ . Khi viết một số theo đúng công thức này, phép chia hết không còn phải đoán nữa — nó hiện ra ngay trong cách nhóm các số hạng lại với nhau.

Một số tự nhiên viết bằng chữ số không chỉ là một dãy ký hiệu — mỗi chữ số có một **giá trị theo hàng** của nó. Số $\overline{ab}$ (hai chữ số) có giá trị $10a + b$; số $\overline{abc}$ (ba chữ số) có giá trị $100a + 10b + c$. Khi viết một số theo đúng công thức này, phép chia hết không còn phải đoán nữa — nó hiện ra ngay trong cách nhóm các số hạng lại với nhau.

Nhìn vào $\overline{aabb} = 1000a + 100a + 10b + b = 1100a + 11b$ , một học sinh quen quan sát sẽ để ý cả hai số hạng $1100a$ và $11b$ đều chứa thừa số 11. Đó không phải may mắn — đó là vì bốn chữ số của số này lặp lại theo cặp, và khi khai triển, các hệ số $1000, 100, 10, 1$ nhóm lại vừa khớp thành bội của 11. Chọn đúng cách khai triển là bước quyết định cả bài.

Nhìn vào $\overline{aabb} = 1000a + 100a + 10b + b = 1100a + 11b$, một học sinh quen quan sát sẽ để ý cả hai số hạng $1100a$ và $11b$ đều chứa thừa số 11. Đó không phải may mắn — đó là vì bốn chữ số của số này lặp lại theo cặp, và khi khai triển, các hệ số $1000, 100, 10, 1$ nhóm lại vừa khớp thành bội của 11. Chọn đúng cách khai triển là bước quyết định cả bài.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ

Ví dụ 1 — Chứng minh

\overline{aabb}

luôn chia hết cho 11Ví dụ 1 — Chứng minh $\overline{aabb}$ luôn chia hết cho 11

1
Chứng minh rằng với mọi chữ số $a$ (từ 1 đến 9) và $b$ (từ 0 đến 9), số $\overline{aabb}$ (hai chữ số đầu bằng $a$ , hai chữ số cuối bằng $b$ ) luôn chia hết cho 11.
Chứng minh rằng với mọi chữ số $a$ (từ 1 đến 9) và $b$ (từ 0 đến 9), số $\overline{aabb}$ (hai chữ số đầu bằng $a$, hai chữ số cuối bằng $b$) luôn chia hết cho 11.
2
$\overline{aabb} = a \times 1000 + a \times 100 + b \times 10 + b \times 1 = 1100a + 11b$ .
$\overline{aabb} = a \times 1000 + a \times 100 + b \times 10 + b \times 1 = 1100a + 11b$.
3
$1100a + 11b = 11 \times (100a + b)$ — vì $1100 = 11 \times 100$ .
$1100a + 11b = 11 \times (100a + b)$ — vì $1100 = 11 \times 100$.
4
Vì $\overline{aabb} = 11 \times (100a+b)$ , và $100a+b$ luôn là số tự nhiên, nên $\overline{aabb}$ luôn chia hết cho 11 — đúng với mọi $a, b$ , không cần thử số nào.
Vì $\overline{aabb} = 11 \times (100a+b)$, và $100a+b$ luôn là số tự nhiên, nên $\overline{aabb}$ luôn chia hết cho 11 — đúng với mọi $a, b$, không cần thử số nào.
5
Ta có $\overline{aabb} = 1000a+100a+10b+b = 1100a+11b$ (1). Vì $1100 = 11\times100$ , từ (1) suy ra $\overline{aabb} = 11(100a+b)$ . Do $100a+b$ là số tự nhiên với mọi chữ số $a,b$ , nên $\overline{aabb}$ chia hết cho 11. Vậy mọi số có dạng $\overline{aabb}$ đều chia hết cho 11.
Ta có $\overline{aabb} = 1000a+100a+10b+b = 1100a+11b$ (1). Vì $1100 = 11\times100$, từ (1) suy ra $\overline{aabb} = 11(100a+b)$. Do $100a+b$ là số tự nhiên với mọi chữ số $a,b$, nên $\overline{aabb}$ chia hết cho 11. Vậy mọi số có dạng $\overline{aabb}$ đều chia hết cho 11.
6
Đổi mẫu số sang ba cặp: xét số 6 chữ số $\overline{aabbcc}$ . Khai triển tương tự cho $110000a+1100b+11c = 11(10000a+100b+c)$ — vẫn chia hết cho 11 bằng đúng cách nhóm thừa số chung, chỉ khác số chữ số.
Đổi mẫu số sang ba cặp: xét số 6 chữ số $\overline{aabbcc}$. Khai triển tương tự cho $110000a+1100b+11c = 11(10000a+100b+c)$ — vẫn chia hết cho 11 bằng đúng cách nhóm thừa số chung, chỉ khác số chữ số.

Mọi bội của 11 có hai chữ số giống nhau lặp lại cặp (

11, 22, ..., 99

) — chính là trường hợp hai chữ số của

\overline{aabb}

khi rút gọn về một cặp. Ví dụ 1 chứng minh quy luật này đúng cả khi mở rộng ra bốn chữ số.Mọi bội của 11 có hai chữ số giống nhau lặp lại cặp ($11, 22, ..., 99$) — chính là trường hợp hai chữ số của $\overline{aabb}$ khi rút gọn về một cặp. Ví dụ 1 chứng minh quy luật này đúng cả khi mở rộng ra bốn chữ số.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Chứng minh

\overline{ab} + \overline{ba}

luôn chia hết cho 11Ví dụ 2 — Chứng minh $\overline{ab} + \overline{ba}$ luôn chia hết cho 11

1
Chứng minh rằng tổng của một số có hai chữ số $\overline{ab}$ ( $a \ge 1$ ) và số viết ngược của nó $\overline{ba}$ luôn chia hết cho 11.
Chứng minh rằng tổng của một số có hai chữ số $\overline{ab}$ ($a \ge 1$) và số viết ngược của nó $\overline{ba}$ luôn chia hết cho 11.
2
$\overline{ab} = 10a+b$ và $\overline{ba} = 10b+a$ .
$\overline{ab} = 10a+b$ và $\overline{ba} = 10b+a$.
3
$\overline{ab} + \overline{ba} = (10a+b) + (10b+a) = 11a + 11b = 11(a+b)$ .
$\overline{ab} + \overline{ba} = (10a+b) + (10b+a) = 11a + 11b = 11(a+b)$.
4
Vì tổng bằng $11 \times (a+b)$ , nó luôn chia hết cho 11 — với mọi số có hai chữ số, không phụ thuộc $a, b$ là bao nhiêu. Ví dụ $47+74=121=11\times11$ ; $58+85=143=11\times13$ .
Vì tổng bằng $11 \times (a+b)$, nó luôn chia hết cho 11 — với mọi số có hai chữ số, không phụ thuộc $a, b$ là bao nhiêu. Ví dụ $47+74=121=11\times11$; $58+85=143=11\times13$.
5
Ta có $\overline{ab}=10a+b$ , $\overline{ba}=10b+a$ (1). Cộng vế theo vế: $\overline{ab}+\overline{ba} = 11a+11b = 11(a+b)$ (2). Từ (1) và (2), với mọi chữ số $a\ge1, b$ , tổng $\overline{ab}+\overline{ba}$ luôn chia hết cho 11. Vậy khẳng định được chứng minh.
Ta có $\overline{ab}=10a+b$, $\overline{ba}=10b+a$ (1). Cộng vế theo vế: $\overline{ab}+\overline{ba} = 11a+11b = 11(a+b)$ (2). Từ (1) và (2), với mọi chữ số $a\ge1, b$, tổng $\overline{ab}+\overline{ba}$ luôn chia hết cho 11. Vậy khẳng định được chứng minh.
6
Đổi phép cộng thành phép trừ: $\overline{ab} - \overline{ba} = (10a+b)-(10b+a) = 9a-9b = 9(a-b)$ — cùng kỹ thuật khai triển, nhưng hiệu lại chia hết cho 9 thay vì 11. Đây chính là chìa khóa của Bài học tiếp theo.
Đổi phép cộng thành phép trừ: $\overline{ab} - \overline{ba} = (10a+b)-(10b+a) = 9a-9b = 9(a-b)$ — cùng kỹ thuật khai triển, nhưng hiệu lại chia hết cho 9 thay vì 11. Đây chính là chìa khóa của Bài học tiếp theo.

Ví dụ

Ví dụ 3 — Tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2

1
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ , tích $n(n+1)$ luôn chia hết cho 2.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$, tích $n(n+1)$ luôn chia hết cho 2.
2
$n$ là một biến tự do, không phải một chữ số cụ thể, nên không thể viết $n$ theo giá trị hàng như $\overline{ab}$ . Cần một cách chia trường hợp khác: dựa vào tính chẵn lẻ.
$n$ là một biến tự do, không phải một chữ số cụ thể, nên không thể viết $n$ theo giá trị hàng như $\overline{ab}$. Cần một cách chia trường hợp khác: dựa vào **tính chẵn lẻ**.
3
Nếu $n$ chẵn thì $n = 2k$ với $k$ tự nhiên, nên $n(n+1) = 2k(n+1)$ — chia hết cho 2 vì có thừa số 2 tách riêng.
Nếu $n$ chẵn thì $n = 2k$ với $k$ tự nhiên, nên $n(n+1) = 2k(n+1)$ — chia hết cho 2 vì có thừa số 2 tách riêng.
4
Nếu $n$ lẻ thì $n+1$ chẵn, viết $n+1=2k$ , nên $n(n+1) = n \times 2k$ — vẫn chia hết cho 2 vì thừa số 2 nằm ở $n+1$ lần này.
Nếu $n$ lẻ thì $n+1$ chẵn, viết $n+1=2k$, nên $n(n+1) = n \times 2k$ — vẫn chia hết cho 2 vì thừa số 2 nằm ở $n+1$ lần này.
5
Trong hai số tự nhiên liên tiếp $n$ và $n+1$ , đúng một số chẵn — nên tích luôn có thừa số 2, chia hết cho 2 dù $n$ là số nào. Kỹ thuật xét trường hợp theo tính chẵn lẻ này sẽ mở rộng thành công cụ mạnh hơn ở bài học sau, khi xét tích của ba, bốn số liên tiếp.
Trong hai số tự nhiên liên tiếp $n$ và $n+1$, đúng một số chẵn — nên tích luôn có thừa số 2, chia hết cho 2 dù $n$ là số nào. Kỹ thuật xét trường hợp theo tính chẵn lẻ này sẽ mở rộng thành công cụ mạnh hơn ở bài học sau, khi xét tích của ba, bốn số liên tiếp.
6
Xét $n$ theo tính chẵn lẻ: nếu $n=2k$ thì $n(n+1)=2k(n+1)$ chia hết cho 2 (1); nếu $n=2k+1$ thì $n+1=2k+2=2(k+1)$ , nên $n(n+1)=n\times2(k+1)$ chia hết cho 2 (2). Từ (1) và (2), với mọi số tự nhiên $n$ , tích $n(n+1)$ chia hết cho 2. Vậy khẳng định đúng.
Xét $n$ theo tính chẵn lẻ: nếu $n=2k$ thì $n(n+1)=2k(n+1)$ chia hết cho 2 (1); nếu $n=2k+1$ thì $n+1=2k+2=2(k+1)$, nên $n(n+1)=n\times2(k+1)$ chia hết cho 2 (2). Từ (1) và (2), với mọi số tự nhiên $n$, tích $n(n+1)$ chia hết cho 2. Vậy khẳng định đúng.
7
Thay $n(n+1)$ bằng $n(n+1)+1$ : biểu thức này KHÔNG chia hết cho 2 (vì cộng thêm 1 vào một số chẵn cho ra số lẻ) — một phép thử nhanh để kiểm tra em đã hiểu đúng: đúng $n(n+1)$ chia hết cho 2, chứ không phải mọi biểu thức chứa $n(n+1)$ .
Thay $n(n+1)$ bằng $n(n+1)+1$: biểu thức này KHÔNG chia hết cho 2 (vì cộng thêm 1 vào một số chẵn cho ra số lẻ) — một phép thử nhanh để kiểm tra em đã hiểu đúng: đúng $n(n+1)$ chia hết cho 2, chứ không phải mọi biểu thức chứa $n(n+1)$.

Bẫy thường gặp

(1) Khai triển sai giá trị hàng — nhầm $\overline{aabb} = a+a+b+b$ thay vì $1000a+100a+10b+b$ . (2) Kết luận từ vài ví dụ số cụ thể rồi coi là đã chứng minh — thử 3 số đúng không có nghĩa đúng với mọi số. (3) Với biểu thức chứa biến $n$ (không phải chữ số cụ thể), không thể dùng khai triển hàng chục — phải xét trường hợp (chẵn/lẻ) như Ví dụ 3.

(1) Khai triển sai giá trị hàng — nhầm $\overline{aabb} = a+a+b+b$ thay vì $1000a+100a+10b+b$. (2) Kết luận từ vài ví dụ số cụ thể rồi coi là đã chứng minh — thử 3 số đúng không có nghĩa đúng với mọi số. (3) Với biểu thức chứa biến $n$ (không phải chữ số cụ thể), không thể dùng khai triển hàng chục — phải xét trường hợp (chẵn/lẻ) như Ví dụ 3.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Điều cần nhớ

Muốn chứng minh chia hết cho mọi số cùng dạng, hãy viết số (hoặc biểu thức) theo đúng giá trị hàng — $\overline{ab}=10a+b$ , $\overline{abc}=100a+10b+c$ — rồi tìm thừa số chung. Khi biến là một số tự nhiên $n$ chưa biết chẵn lẻ, xét hai trường hợp $n=2k$ và $n=2k+1$ thay vì khai triển hàng.

Muốn chứng minh chia hết cho **mọi** số cùng dạng, hãy viết số (hoặc biểu thức) theo đúng giá trị hàng — $\overline{ab}=10a+b$, $\overline{abc}=100a+10b+c$ — rồi tìm thừa số chung. Khi biến là một số tự nhiên $n$ chưa biết chẵn lẻ, xét hai trường hợp $n=2k$ và $n=2k+1$ thay vì khai triển hàng.

Bài tiếp theo: Biến thể gần của Ví dụ 2 đã hé lộ một công thức mới — hiệu $\overline{ab}-\overline{ba}$ chia hết cho 9. Bài học tiếp theo mở rộng đúng ý tưởng này sang số có ba chữ số, và dùng nó để giải một bài toán tìm số thật sự — không chỉ chứng minh, mà còn đếm được có bao nhiêu số thỏa mãn.

**Bài tiếp theo:** Biến thể gần của Ví dụ 2 đã hé lộ một công thức mới — hiệu $\overline{ab}-\overline{ba}$ chia hết cho 9. Bài học tiếp theo mở rộng đúng ý tưởng này sang số có ba chữ số, và dùng nó để giải một bài toán tìm số thật sự — không chỉ chứng minh, mà còn đếm được có bao nhiêu số thỏa mãn.