Bài học

Hai đường thẳng cắt nhau: nhiều góc trong một hình

Mục tiêu và kiến thức cần nhớ

Sau bài này, em tính được nhiều góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau và một tia phụ, bằng cách phối hợp góc kề bù với góc đối đỉnh, thay vì đo từng góc bằng thước.

Kiến thức cần nhớ

Ở Lớp 6, em đã học: hai góc kề bù là hai góc có một cạnh chung, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau, và tổng số đo bằng $180^\circ$ . Bài này chỉ dùng đúng kiến thức đó, cộng thêm một khái niệm mới sẽ được chứng minh ngay từ nó.

Ở Lớp 6, em đã học: hai góc kề bù là hai góc có một cạnh chung, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau, và tổng số đo bằng $180^\circ$. Bài này chỉ dùng đúng kiến thức đó, cộng thêm một khái niệm mới sẽ được chứng minh ngay từ nó.

Khởi động

Vẽ hai đường thẳng cắt nhau trên giấy, em sẽ thấy chúng tạo ra bốn góc quanh giao điểm. Đo thử bằng thước đo độ. Hai góc không kề nhau (nằm đối diện qua giao điểm) có số đo bằng nhau không? Chẳng ai bắt em vẽ cho chúng bằng nhau cả, vậy vì sao chúng luôn bằng nhau?

Góc đối đỉnh: thấy quy luật, rồi chứng minh nó

Gọi $xx'$ và $yy'$ là hai đường thẳng cắt nhau tại $O$ . Góc $\widehat{xOy}$ và góc $\widehat{x'Oy'}$ được gọi là hai góc đối đỉnh: mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh góc kia. Đo trên hình, em sẽ thấy hai góc đó bằng nhau, nhưng "đo thấy bằng nhau" chưa phải một lý do toán học. Ta chứng minh nó bằng đúng công cụ đã học: góc kề bù.

Gọi $xx'$ và $yy'$ là hai đường thẳng cắt nhau tại $O$. Góc $\widehat{xOy}$ và góc $\widehat{x'Oy'}$ được gọi là hai góc đối đỉnh: mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh góc kia. Đo trên hình, em sẽ thấy hai góc đó bằng nhau, nhưng "đo thấy bằng nhau" chưa phải một lý do toán học. Ta chứng minh nó bằng đúng công cụ đã học: góc kề bù.

Vì $\widehat{xOy}$ và $\widehat{yOx'}$ kề bù (chung cạnh $Oy$ , hai cạnh $Ox$ , $Ox'$ đối nhau), ta có $\widehat{yOx'} = 180^\circ - \widehat{xOy}$ . (1)

Vì $\widehat{yOx'}$ và $\widehat{x'Oy'}$ cũng kề bù (chung cạnh $Ox'$ , hai cạnh $Oy$ , $Oy'$ đối nhau), ta có $\widehat{x'Oy'} = 180^\circ - \widehat{yOx'}$ . (2)

Thay (1) vào (2): $\widehat{x'Oy'} = 180^\circ - (180^\circ - \widehat{xOy}) = \widehat{xOy}$ . Hai góc đối đỉnh bằng nhau không phải vì chúng "trông đối xứng", mà vì cả hai cùng bù với một góc thứ ba, $\widehat{yOx'}$ .

Vì $\widehat{xOy}$ và $\widehat{yOx'}$ kề bù (chung cạnh $Oy$, hai cạnh $Ox$, $Ox'$ đối nhau), ta có $\widehat{yOx'} = 180^\circ - \widehat{xOy}$. (1) Vì $\widehat{yOx'}$ và $\widehat{x'Oy'}$ cũng kề bù (chung cạnh $Ox'$, hai cạnh $Oy$, $Oy'$ đối nhau), ta có $\widehat{x'Oy'} = 180^\circ - \widehat{yOx'}$. (2) Thay (1) vào (2): $\widehat{x'Oy'} = 180^\circ - (180^\circ - \widehat{xOy}) = \widehat{xOy}$. Hai góc đối đỉnh bằng nhau không phải vì chúng "trông đối xứng", mà vì cả hai cùng bù với một góc thứ ba, $\widehat{yOx'}$.

Mở rộng dành cho HSG

Khái niệm và tính chất "hai góc đối đỉnh thì bằng nhau" chính thức thuộc chương trình Lớp 7. Ở đây ta không thừa nhận nó, mà suy ra trực tiếp từ hai lần dùng góc kề bù, nghĩa là chỉ dùng đúng kiến thức Lớp 6. Cách chứng minh này quan trọng hơn cả kết luận: nó là khuôn mẫu cho mọi bài tính góc nhiều bước ở phần sau của khóa học.

Lời giải có hình

Hai đường thẳng cắt nhau và một tia phụ

Bước 1

Cho hai đường thẳng $xx'$ và $yy'$ cắt nhau tại $O$ , với $\widehat{xOy} = 64^\circ$ .Cho hai đường thẳng $xx'$ và $yy'$ cắt nhau tại $O$, với $\widehat{xOy} = 64^\circ$.

Ví dụ

Ví dụ 1 — Bốn góc quanh một giao điểm, cộng thêm một tia

1
Đề chỉ cho $\widehat{xOy} = 64^\circ$ và $\widehat{yOz} = 40^\circ$ , nhưng hỏi tới hai góc $\widehat{zOx'}$ và $\widehat{zOy'}$ không hề được cho trực tiếp. Không có công thức nào tính thẳng ra hai góc đó từ hai số đã cho, phải đi qua một góc trung gian.
Đề chỉ cho $\widehat{xOy} = 64^\circ$ và $\widehat{yOz} = 40^\circ$, nhưng hỏi tới hai góc $\widehat{zOx'}$ và $\widehat{zOy'}$ không hề được cho trực tiếp. Không có công thức nào tính thẳng ra hai góc đó từ hai số đã cho, phải đi qua một góc trung gian.
2
Bám vào đường thẳng $xx'$ : mọi góc có một cạnh là $Ox$ hoặc $Ox'$ đều liên hệ với nhau qua $180^\circ$ . Tính $\widehat{yOx'}$ trước (kề bù với $\widehat{xOy}$ ), rồi trừ đi $\widehat{yOz}$ để ra $\widehat{zOx'}$ .
Bám vào đường thẳng $xx'$: mọi góc có một cạnh là $Ox$ hoặc $Ox'$ đều liên hệ với nhau qua $180^\circ$. Tính $\widehat{yOx'}$ trước (kề bù với $\widehat{xOy}$), rồi trừ đi $\widehat{yOz}$ để ra $\widehat{zOx'}$.
3
$\widehat{zOx'}$ không kề bù trực tiếp với góc nào đã cho, nhưng nó lại là hiệu của hai góc mà ta tính được: $\widehat{yOx'}$ (kề bù) và $\widehat{yOz}$ (đã cho). Đi qua một góc trung gian là cách duy nhất để nối hai dữ kiện rời nhau.
$\widehat{zOx'}$ không kề bù trực tiếp với góc nào đã cho, nhưng nó lại là hiệu của hai góc mà ta tính được: $\widehat{yOx'}$ (kề bù) và $\widehat{yOz}$ (đã cho). Đi qua một góc trung gian là cách duy nhất để nối hai dữ kiện rời nhau.
4
$\widehat{yOx'} = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$ . Vì $Oz$ nằm trong góc $\widehat{yOx'}$ , $\widehat{zOx'} = 116^\circ - 40^\circ = 76^\circ$ . Vì $Oy$ , $Oy'$ đối nhau, $\widehat{zOy'} = 180^\circ - \widehat{yOz} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$ .
$\widehat{yOx'} = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$. Vì $Oz$ nằm trong góc $\widehat{yOx'}$, $\widehat{zOx'} = 116^\circ - 40^\circ = 76^\circ$. Vì $Oy$, $Oy'$ đối nhau, $\widehat{zOy'} = 180^\circ - \widehat{yOz} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.
5
Khi một góc không kề bù trực tiếp với dữ kiện đã cho, hãy tìm góc kề bù trung gian trước, rồi cộng hoặc trừ. Luôn kiểm tra tia nào nằm giữa hai tia nào trước khi cộng hay trừ, nếu không sẽ cộng nhầm.
6
Nếu đổi $\widehat{yOz}$ thành $55^\circ$ (giữ $\widehat{xOy} = 64^\circ$ ), cách làm y hệt: $\widehat{yOx'}$ vẫn $= 116^\circ$ , nhưng $\widehat{zOx'} = 116^\circ - 55^\circ = 61^\circ$ và $\widehat{zOy'} = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$ .
Nếu đổi $\widehat{yOz}$ thành $55^\circ$ (giữ $\widehat{xOy} = 64^\circ$), cách làm y hệt: $\widehat{yOx'}$ vẫn $= 116^\circ$, nhưng $\widehat{zOx'} = 116^\circ - 55^\circ = 61^\circ$ và $\widehat{zOy'} = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$.
7
Ta có $\widehat{xOy}$ và $\widehat{yOx'}$ kề bù (do $Ox$ , $Ox'$ đối nhau), suy ra $\widehat{yOx'} = 180^\circ - \widehat{xOy} = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$ . (1)

Do tia $Oz$ nằm trong góc $\widehat{yOx'}$ , theo tính chất cộng số đo góc: $\widehat{yOz} + \widehat{zOx'} = \widehat{yOx'}$ , suy ra $\widehat{zOx'} = 116^\circ - 40^\circ = 76^\circ$ . (2)

Mặt khác, $\widehat{yOz}$ và $\widehat{zOy'}$ kề bù (do $Oy$ , $Oy'$ đối nhau), suy ra $\widehat{zOy'} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$ . (3)

Vậy $\widehat{zOx'} = 76^\circ$ và $\widehat{zOy'} = 140^\circ$ .
Ta có $\widehat{xOy}$ và $\widehat{yOx'}$ kề bù (do $Ox$, $Ox'$ đối nhau), suy ra $\widehat{yOx'} = 180^\circ - \widehat{xOy} = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$. (1) Do tia $Oz$ nằm trong góc $\widehat{yOx'}$, theo tính chất cộng số đo góc: $\widehat{yOz} + \widehat{zOx'} = \widehat{yOx'}$, suy ra $\widehat{zOx'} = 116^\circ - 40^\circ = 76^\circ$. (2) Mặt khác, $\widehat{yOz}$ và $\widehat{zOy'}$ kề bù (do $Oy$, $Oy'$ đối nhau), suy ra $\widehat{zOy'} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$. (3) Vậy $\widehat{zOx'} = 76^\circ$ và $\widehat{zOy'} = 140^\circ$.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Kiểm tra ngược bằng tổng góc quanh một điểm

1
Đề bài không hỏi tính góc, mà hỏi làm sao biết một bài đã giải đúng hay sai, khi không có đáp số để so. Đây là kỹ năng tự kiểm tra, quan trọng hơn cả phép tính.
2
Bốn góc $\widehat{xOy}, \widehat{yOx'}, \widehat{x'Oy'}, \widehat{y'Ox}$ quanh điểm $O$ (không chồng nhau) luôn cộng lại đúng $360^\circ$ . Đây là một ràng buộc độc lập với cách tính, dùng để soát lại kết quả.
Bốn góc $\widehat{xOy}, \widehat{yOx'}, \widehat{x'Oy'}, \widehat{y'Ox}$ quanh điểm $O$ (không chồng nhau) luôn cộng lại đúng $360^\circ$. Đây là một ràng buộc độc lập với cách tính, dùng để soát lại kết quả.
3
Cách tính ở Ví dụ 1 hoàn toàn dựa trên các cặp kề bù riêng lẻ, không hề dùng tới tổng $360^\circ$ . Nếu kết quả sai ở một bước, tổng bốn góc sẽ lệch khỏi $360^\circ$ , nên đây là một phép thử độc lập, không phải lặp lại phép tính cũ.
Cách tính ở Ví dụ 1 hoàn toàn dựa trên các cặp kề bù riêng lẻ, không hề dùng tới tổng $360^\circ$. Nếu kết quả sai ở một bước, tổng bốn góc sẽ lệch khỏi $360^\circ$, nên đây là một phép thử độc lập, không phải lặp lại phép tính cũ.
4
Từ Ví dụ 1: $\widehat{xOy} = 64^\circ$ , $\widehat{yOx'} = 116^\circ$ , $\widehat{x'Oy'} = 64^\circ$ (đối đỉnh với $\widehat{xOy}$ ), $\widehat{y'Ox} = 116^\circ$ (đối đỉnh với $\widehat{yOx'}$ ). Tổng: $64 + 116 + 64 + 116 = 360^\circ$ , khớp.
Từ Ví dụ 1: $\widehat{xOy} = 64^\circ$, $\widehat{yOx'} = 116^\circ$, $\widehat{x'Oy'} = 64^\circ$ (đối đỉnh với $\widehat{xOy}$), $\widehat{y'Ox} = 116^\circ$ (đối đỉnh với $\widehat{yOx'}$). Tổng: $64 + 116 + 64 + 116 = 360^\circ$, khớp.
5
Một bài tính góc nhiều bước luôn có ít nhất một cách kiểm tra ngược không lặp lại lời giải cũ. Tổng các góc không chồng nhau quanh một điểm bằng $360^\circ$ là công cụ kiểm tra đơn giản nhất cho dạng hai đường thẳng cắt nhau.
Một bài tính góc nhiều bước luôn có ít nhất một cách kiểm tra ngược không lặp lại lời giải cũ. Tổng các góc không chồng nhau quanh một điểm bằng $360^\circ$ là công cụ kiểm tra đơn giản nhất cho dạng hai đường thẳng cắt nhau.
6
Với tia phụ $Oz$ như Ví dụ 1, ta còn có thể kiểm tra riêng nửa mặt phẳng bờ $xx'$ : $\widehat{xOz} + \widehat{zOx'} = \widehat{xOx'} = 180^\circ$ , tức $104^\circ + 76^\circ = 180^\circ$ , cũng khớp.
Với tia phụ $Oz$ như Ví dụ 1, ta còn có thể kiểm tra riêng nửa mặt phẳng bờ $xx'$: $\widehat{xOz} + \widehat{zOx'} = \widehat{xOx'} = 180^\circ$, tức $104^\circ + 76^\circ = 180^\circ$, cũng khớp.
7
Bốn góc $\widehat{xOy}$ , $\widehat{yOx'}$ , $\widehat{x'Oy'}$ , $\widehat{y'Ox}$ không có điểm trong chung và phủ kín một vòng quanh $O$ , nên tổng số đo của chúng bằng $360^\circ$ . (1)

Thay số đã tính: $64^\circ + 116^\circ + 64^\circ + 116^\circ = 360^\circ$ . (2)

Kết hợp (1) và (2), kết quả của Ví dụ 1 tự kiểm chứng. Vậy các góc $76^\circ$ , $140^\circ$ tính được ở Ví dụ 1 là đáng tin cậy.
Bốn góc $\widehat{xOy}$, $\widehat{yOx'}$, $\widehat{x'Oy'}$, $\widehat{y'Ox}$ không có điểm trong chung và phủ kín một vòng quanh $O$, nên tổng số đo của chúng bằng $360^\circ$. (1) Thay số đã tính: $64^\circ + 116^\circ + 64^\circ + 116^\circ = 360^\circ$. (2) Kết hợp (1) và (2), kết quả của Ví dụ 1 tự kiểm chứng. Vậy các góc $76^\circ$, $140^\circ$ tính được ở Ví dụ 1 là đáng tin cậy.

Sai lầm phổ biến

Sai lầm phổ biến: nhiều bạn cộng $\widehat{yOz}$ với $\widehat{yOx'}$ vì thấy cả hai cùng "chứa chữ $y$ ", thay vì nhận ra $Oz$ nằm giữa $Oy$ và $Ox'$ nên phải TRỪ. Luôn vẽ phác một hình nháp và xác định thứ tự các tia trước khi cộng hay trừ, đừng đoán theo tên góc.

Sai lầm phổ biến: nhiều bạn cộng $\widehat{yOz}$ với $\widehat{yOx'}$ vì thấy cả hai cùng "chứa chữ $y$", thay vì nhận ra $Oz$ nằm giữa $Oy$ và $Ox'$ nên phải TRỪ. Luôn vẽ phác một hình nháp và xác định thứ tự các tia trước khi cộng hay trừ, đừng đoán theo tên góc.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Tổng kết

Tóm lại: mọi góc có cạnh nằm trên cùng một đường thẳng đều liên hệ với nhau qua $180^\circ$ (kề bù), và hai góc đối đỉnh luôn bằng nhau vì cả hai cùng bù với một góc thứ ba. Khi dữ kiện và câu hỏi không nối trực tiếp, hãy tìm góc trung gian, đừng đoán mò.

Bài tiếp theo giữ nguyên công cụ này (kề bù, cộng góc) nhưng thêm tia phân giác vào hình, để tính góc tạo bởi ba, bốn tia chung gốc qua đúng hai bước suy luận.