Bài học

So sánh hai lũy thừa khác cơ số, khác số mũ

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em so sánh được hai lũy thừa có cơ số khác nhau và số mũ khác nhau — như $2^{30}$ với $3^{20}$ — mà không cần bấm máy tính ra cả hai số khổng lồ đó. Cách làm: đưa cả hai về cùng một cơ số hoặc cùng một số mũ, rồi so sánh phần còn lại, vốn nhỏ và dễ nhìn hơn nhiều.

Kiến thức cần có

Em đã học ở đầu Lớp 6: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ và $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ . Bài này không thêm công thức mới, chỉ dùng đúng quy tắc $(a^m)^n = a^{mn}$ theo chiều ngược lại — tách một số mũ lớn thành tích của hai số nhỏ hơn để lộ ra một cơ số hoặc số mũ chung.

Em đã học ở đầu Lớp 6: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ và $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Bài này không thêm công thức mới, chỉ dùng đúng quy tắc $(a^m)^n = a^{mn}$ theo chiều ngược lại — tách một số mũ lớn thành tích của hai số nhỏ hơn để lộ ra một cơ số hoặc số mũ chung.

Đề bài chuẩn Lớp 6 thường hỏi $2^5$ so với $2^7$ — cùng cơ số, chỉ cần nhìn số mũ. Đề HSG không cho em cái may mắn đó. So sánh $2^{30}$ và $3^{20}$ : hai cơ số khác nhau, hai số mũ khác nhau, và cả hai số đều có hơn chín chữ số. Bấm máy tính không sai, nhưng phòng thi không cho máy tính, và đề chuyên còn thay số mũ bằng chữ để em không bấm được gì cả. Ranh giới nằm ở đó: bài chuẩn nhìn là so sánh được, bài HSG bắt em tạo ra điểm chung trước khi so sánh.

Đề bài chuẩn Lớp 6 thường hỏi $2^5$ so với $2^7$ — cùng cơ số, chỉ cần nhìn số mũ. Đề HSG không cho em cái may mắn đó. So sánh $2^{30}$ và $3^{20}$: hai cơ số khác nhau, hai số mũ khác nhau, và cả hai số đều có hơn chín chữ số. Bấm máy tính không sai, nhưng phòng thi không cho máy tính, và đề chuyên còn thay số mũ bằng chữ để em không bấm được gì cả. Ranh giới nằm ở đó: bài chuẩn nhìn là so sánh được, bài HSG bắt em tạo ra điểm chung trước khi so sánh.

Bài toán khởi động

Không quy đổi ra số thập phân, hãy cho biết $2^{30}$ hay $3^{20}$ lớn hơn. Thử vài cặp nhỏ trước: $2^3=8$ và $3^2=9$ , vậy $3^2>2^3$ . Quy luật này có giữ nguyên khi số mũ lớn gấp trăm lần không, hay đến một lúc nào đó $2$ vượt lên?

Không quy đổi ra số thập phân, hãy cho biết $2^{30}$ hay $3^{20}$ lớn hơn. Thử vài cặp nhỏ trước: $2^3=8$ và $3^2=9$, vậy $3^2>2^3$. Quy luật này có giữ nguyên khi số mũ lớn gấp trăm lần không, hay đến một lúc nào đó $2$ vượt lên?

Ý tưởng cốt lõi

Nhìn vào hai số mũ $30$ và $20$ : cả hai đều chia hết cho $10$ . Viết $2^{30} = 2^{3 \times 10} = (2^3)^{10} = 8^{10}$ và $3^{20} = 3^{2 \times 10} = (3^2)^{10} = 9^{10}$ . Bây giờ cả hai lũy thừa dùng chung số mũ $10$ — mà hai lũy thừa cùng số mũ dương thì cơ số lớn hơn cho kết quả lớn hơn. So $8$ với $9$ là việc học sinh lớp 1 cũng làm được.

Nhìn vào hai số mũ $30$ và $20$: cả hai đều chia hết cho $10$. Viết $2^{30} = 2^{3 \times 10} = (2^3)^{10} = 8^{10}$ và $3^{20} = 3^{2 \times 10} = (3^2)^{10} = 9^{10}$. Bây giờ cả hai lũy thừa dùng chung số mũ $10$ — mà hai lũy thừa cùng số mũ dương thì cơ số lớn hơn cho kết quả lớn hơn. So $8$ với $9$ là việc học sinh lớp 1 cũng làm được.

Vì sao chọn số mũ $10$ chứ không phải số nào khác? Vì $10$ là ước chung lớn nhất của $30$ và $20$ — đây là số mũ chung lớn nhất có thể đưa được, nên phần cơ số còn lại ( $8$ và $9$ ) là nhỏ nhất có thể, dễ so sánh nhất. Học sinh mới làm quen hay dừng ở ước chung nhỏ hơn (ví dụ $5$ ) và phải so $2^6=64$ với $3^4=81$ — vẫn đúng, chỉ là vất vả hơn một chút.

Vì sao chọn số mũ $10$ chứ không phải số nào khác? Vì $10$ là ước chung lớn nhất của $30$ và $20$ — đây là số mũ chung *lớn nhất* có thể đưa được, nên phần cơ số còn lại ($8$ và $9$) là nhỏ nhất có thể, dễ so sánh nhất. Học sinh mới làm quen hay dừng ở ước chung nhỏ hơn (ví dụ $5$) và phải so $2^6=64$ với $3^4=81$ — vẫn đúng, chỉ là vất vả hơn một chút.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ

Ví dụ 1 — Giải bài toán khởi động: so sánh

2^{30}

và

3^{20}

Ví dụ 1 — Giải bài toán khởi động: so sánh $2^{30}$ và $3^{20}$

1
Ước chung lớn nhất của $30$ và $20$ là $10$ : $30 = 3 \times 10$ , $20 = 2 \times 10$ .
Ước chung lớn nhất của $30$ và $20$ là $10$: $30 = 3 \times 10$, $20 = 2 \times 10$.
2
$2^{30} = (2^3)^{10} = 8^{10}$ ; $3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10}$ .
$2^{30} = (2^3)^{10} = 8^{10}$; $3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10}$.
3
Vì $8 < 9$ , và hai lũy thừa cùng số mũ dương $10$ giữ nguyên chiều so sánh của cơ số, nên $8^{10} < 9^{10}$ .
Vì $8 < 9$, và hai lũy thừa cùng số mũ dương $10$ giữ nguyên chiều so sánh của cơ số, nên $8^{10} < 9^{10}$.
4
$2^{30} < 3^{20}$ . Cách làm không đụng đến số nào có quá một chữ số ở phần cơ số, dù kết quả cuối có tới mười chữ số.
$2^{30} < 3^{20}$. Cách làm không đụng đến số nào có quá một chữ số ở phần cơ số, dù kết quả cuối có tới mười chữ số.
5
Ta có $\gcd(30,20) = 10$ (1). Từ (1): $2^{30} = (2^3)^{10} = 8^{10}$ và $3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10}$ (2). Vì $8 < 9$ , theo tính chất hai lũy thừa cùng số mũ dương thì cơ số lớn hơn cho giá trị lớn hơn, từ (2) suy ra $8^{10} < 9^{10}$ . Vậy $2^{30} < 3^{20}$ .
Ta có $\gcd(30,20) = 10$ (1). Từ (1): $2^{30} = (2^3)^{10} = 8^{10}$ và $3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10}$ (2). Vì $8 < 9$, theo tính chất hai lũy thừa cùng số mũ dương thì cơ số lớn hơn cho giá trị lớn hơn, từ (2) suy ra $8^{10} < 9^{10}$. Vậy $2^{30} < 3^{20}$.
6
Đổi số mũ của $3$ từ $20$ thành $19$ : $\gcd(30,19)=1$ nên không còn số mũ chung đẹp — phải chuyển sang cách khác (ví dụ kẹp $3^{19} < 3^{20} < 2^{30}$ dùng lại kết quả vừa chứng minh), cho thấy cách đưa-về-cùng-số-mũ không phải lúc nào cũng áp dụng thẳng được.
Đổi số mũ của $3$ từ $20$ thành $19$: $\gcd(30,19)=1$ nên không còn số mũ chung đẹp — phải chuyển sang cách khác (ví dụ kẹp $3^{19} < 3^{20} < 2^{30}$ dùng lại kết quả vừa chứng minh), cho thấy cách đưa-về-cùng-số-mũ không phải lúc nào cũng áp dụng thẳng được.

Sau khi đưa về cùng số mũ

10

, việc so sánh

2^{30}

và

3^{20}

chỉ còn là so sánh hai số bé:

8

và

9

.Sau khi đưa về cùng số mũ $10$, việc so sánh $2^{30}$ và $3^{20}$ chỉ còn là so sánh hai số bé: $8$ và $9$.

Ví dụ

Ví dụ 2 — So sánh

5^{36}

và

11^{24}

Ví dụ 2 — So sánh $5^{36}$ và $11^{24}$

1
So sánh $5^{36}$ và $11^{24}$ .
So sánh $5^{36}$ và $11^{24}$.
2
$\gcd(36, 24) = 12$ : $36 = 3 \times 12$ , $24 = 2 \times 12$ .
$\gcd(36, 24) = 12$: $36 = 3 \times 12$, $24 = 2 \times 12$.
3
$5^{36} = (5^3)^{12} = 125^{12}$ ; $11^{24} = (11^2)^{12} = 121^{12}$ .
$5^{36} = (5^3)^{12} = 125^{12}$; $11^{24} = (11^2)^{12} = 121^{12}$.
4
Vì $125 > 121$ , nên $125^{12} > 121^{12}$ .
Vì $125 > 121$, nên $125^{12} > 121^{12}$.
5
$5^{36} > 11^{24}$ — ngược hẳn trực giác "cơ số lớn hơn thì lũy thừa lớn hơn" nếu em chỉ nhìn cơ số $11 > 5$ mà quên số mũ.
$5^{36} > 11^{24}$ — ngược hẳn trực giác "cơ số lớn hơn thì lũy thừa lớn hơn" nếu em chỉ nhìn cơ số $11 > 5$ mà quên số mũ.
6
Ta có $\gcd(36,24)=12$ (1). Từ (1): $5^{36}=(5^3)^{12}=125^{12}$ và $11^{24}=(11^2)^{12}=121^{12}$ (2). Vì $125>121$ , từ (2) suy ra $125^{12}>121^{12}$ . Vậy $5^{36}>11^{24}$ .
Ta có $\gcd(36,24)=12$ (1). Từ (1): $5^{36}=(5^3)^{12}=125^{12}$ và $11^{24}=(11^2)^{12}=121^{12}$ (2). Vì $125>121$, từ (2) suy ra $125^{12}>121^{12}$. Vậy $5^{36}>11^{24}$.
7
Đổi số mũ của $11$ từ $24$ thành $25$ : $\gcd(36,25)=1$ , buộc phải ước lượng bằng cách khác — ví dụ so $11^{24}$ với $11^{25}$ trước ( $11^{25}$ lớn hơn), rồi mới so $11^{25}$ với $5^{36}$ , một kiểu bắc cầu qua nhiều bước hơn ví dụ gốc.
Đổi số mũ của $11$ từ $24$ thành $25$: $\gcd(36,25)=1$, buộc phải ước lượng bằng cách khác — ví dụ so $11^{24}$ với $11^{25}$ trước ($11^{25}$ lớn hơn), rồi mới so $11^{25}$ với $5^{36}$, một kiểu bắc cầu qua nhiều bước hơn ví dụ gốc.

Bẫy thường gặp

(1) Nhìn cơ số lớn rồi vội kết luận lũy thừa đó lớn hơn — sai, vì số mũ mới là yếu tố quyết định (Ví dụ 2 chứng minh $5^{36} > 11^{24}$ dù $5 < 11$ ). (2) Chọn số mũ chung không phải ước chung lớn nhất — vẫn ra kết quả đúng nhưng cơ số còn lại to hơn mức cần thiết, dễ tính sai. (3) Quên kiểm tra $\gcd$ tồn tại và chia hết đúng hai số mũ trước khi tách lũy thừa.

(1) Nhìn cơ số lớn rồi vội kết luận lũy thừa đó lớn hơn — sai, vì số mũ mới là yếu tố quyết định (Ví dụ 2 chứng minh $5^{36} > 11^{24}$ dù $5 < 11$). (2) Chọn số mũ chung không phải ước chung lớn nhất — vẫn ra kết quả đúng nhưng cơ số còn lại to hơn mức cần thiết, dễ tính sai. (3) Quên kiểm tra $\gcd$ tồn tại và chia hết đúng hai số mũ trước khi tách lũy thừa.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Tóm tắt

Ghi nhớ: muốn so sánh $a^m$ với $b^n$ , tìm $d = \gcd(m,n)$ , viết lại thành $\left(a^{m/d}\right)^d$ và $\left(b^{n/d}\right)^d$ , rồi so sánh hai cơ số mới $a^{m/d}$ và $b^{n/d}$ — đây là phần việc duy nhất còn lại, và luôn nhỏ hơn hẳn hai lũy thừa ban đầu.

Ghi nhớ: muốn so sánh $a^m$ với $b^n$, tìm $d = \gcd(m,n)$, viết lại thành $\left(a^{m/d}\right)^d$ và $\left(b^{n/d}\right)^d$, rồi so sánh hai cơ số mới $a^{m/d}$ và $b^{n/d}$ — đây là phần việc duy nhất còn lại, và luôn nhỏ hơn hẳn hai lũy thừa ban đầu.

Kỹ thuật đưa về cùng số mũ giải quyết được phần lớn các cặp lũy thừa đề HSG đưa ra, nhưng không phải lúc nào $\gcd$ của hai số mũ cũng đẹp — có lúc bằng $1$ , nghĩa là không tách được gì cả. Bài tiếp theo học cách xử lý một dãy nhiều lũy thừa cùng lúc, và một cái bẫy dấu bằng dễ bị bỏ sót khi có nhiều số hạng.

Kỹ thuật đưa về cùng số mũ giải quyết được phần lớn các cặp lũy thừa đề HSG đưa ra, nhưng không phải lúc nào $\gcd$ của hai số mũ cũng đẹp — có lúc bằng $1$, nghĩa là không tách được gì cả. Bài tiếp theo học cách xử lý một dãy nhiều lũy thừa cùng lúc, và một cái bẫy dấu bằng dễ bị bỏ sót khi có nhiều số hạng.