Bài học

Tách phân số thành hiệu và tổng khử liên tiếp

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tách được một phân số dạng $\dfrac1{k(k+1)}$ thành hiệu hai phân số liên tiếp, dùng phép tách đó để cộng nhanh một dãy nhiều phân số cùng dạng, và chứng minh được vì sao tổng đó luôn nhỏ hơn 1.

Kiến thức cần có

Cộng trừ phân số khác mẫu bằng quy đồng, rút gọn phân số về dạng tối giản, và so sánh hai phân số bằng quy đồng hoặc bằng phần bù tới 1 (chương Phân số, Toán 6).

Khởi động

Cộng nhanh dãy này: $\dfrac12+\dfrac16+\dfrac1{12}+\dfrac1{20}$ . Quy đồng bốn mẫu số 2, 6, 12, 20 theo cách thông thường sẽ ra một mẫu chung khá cồng kềnh. Nhưng nhìn kỹ: $2=1\times2$ , $6=2\times3$ , $12=3\times4$ , $20=4\times5$ . Bốn mẫu số đi theo đúng một quy luật — quy luật đó có giúp em cộng nhanh hơn không?

Cộng nhanh dãy này: $\dfrac12+\dfrac16+\dfrac1{12}+\dfrac1{20}$. Quy đồng bốn mẫu số 2, 6, 12, 20 theo cách thông thường sẽ ra một mẫu chung khá cồng kềnh. Nhưng nhìn kỹ: $2=1\times2$, $6=2\times3$, $12=3\times4$, $20=4\times5$. Bốn mẫu số đi theo đúng một quy luật — quy luật đó có giúp em cộng nhanh hơn không?

So với chương trình chuẩn lớp 6

Ở mức chuẩn, em cộng trừ phân số bằng quy đồng mẫu số, và cách đó đúng cho mọi trường hợp, kể cả khi chỉ có hai hay ba phân số. Nhưng khi dãy phân số dài ra, chẳng hạn chín hay hai mươi số hạng, quy đồng cả dãy cho ra một mẫu số rất lớn, và bước rút gọn kết quả cuối cùng dễ sai ở đúng chỗ này. Bài học không thay quy đồng, mà thêm cho em một lối đi tắt dành riêng cho một dạng mẫu số đặc biệt: tích của hai số tự nhiên liên tiếp.

Mở rộng dành cho HSG

Kỹ thuật tách $\dfrac1{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}$ và cách cộng một dãy nhiều số hạng dạng này (gọi là tổng khử liên tiếp, vì các số hạng ở giữa lần lượt biến mất) không nằm trong yêu cầu cần đạt chuẩn của Lớp 6. Đây là kỹ thuật hay gặp trong đề học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện. Tiên quyết: quy đồng mẫu số và cộng trừ phân số khác mẫu.

Ý tưởng chính

Với mọi số tự nhiên $k \ge 1$ :

$\dfrac1k-\dfrac1{k+1}=\dfrac{(k+1)-k}{k(k+1)}=\dfrac1{k(k+1)}.$

Nói ngược lại: $\dfrac1{k(k+1)}$ chính là hiệu của hai phân số liên tiếp $\dfrac1k$ và $\dfrac1{k+1}$ . Khi cộng nhiều số hạng dạng này nối tiếp nhau, số bị trừ của một số hạng vừa hay trùng số trừ của số hạng ngay trước nó — chúng triệt tiêu theo cặp, chỉ còn lại phân số đầu tiên và phân số cuối cùng của cả dãy.

Với mọi số tự nhiên $k \ge 1$: $$\dfrac1k-\dfrac1{k+1}=\dfrac{(k+1)-k}{k(k+1)}=\dfrac1{k(k+1)}.$$ Nói ngược lại: $\dfrac1{k(k+1)}$ chính là hiệu của hai phân số liên tiếp $\dfrac1k$ và $\dfrac1{k+1}$. Khi cộng nhiều số hạng dạng này nối tiếp nhau, số bị trừ của một số hạng vừa hay trùng số trừ của số hạng ngay trước nó — chúng triệt tiêu theo cặp, chỉ còn lại phân số đầu tiên và phân số cuối cùng của cả dãy.

Vì sao ý tưởng này tự nhiên? Em đã quen quy đồng $\dfrac1k$ và $\dfrac1{k+1}$ để trừ chúng, và mẫu số chung khi đó đúng là $k(k+1)$ , trùng khớp với mẫu số của phân số ban đầu. Bài toán chỉ đơn giản là làm ngược chiều: nhìn một phân số có mẫu là tích hai số tự nhiên liên tiếp, rồi nhận ra nó chính là kết quả của một phép trừ mà em đã biết làm.

Vì sao ý tưởng này tự nhiên? Em đã quen quy đồng $\dfrac1k$ và $\dfrac1{k+1}$ để trừ chúng, và mẫu số chung khi đó đúng là $k(k+1)$, trùng khớp với mẫu số của phân số ban đầu. Bài toán chỉ đơn giản là làm ngược chiều: nhìn một phân số có mẫu là tích hai số tự nhiên liên tiếp, rồi nhận ra nó chính là kết quả của một phép trừ mà em đã biết làm.

\dfrac16=\dfrac1{2\times3}=\dfrac12-\dfrac13

— mảnh nhỏ này chính là phần chênh lệch giữa hai phân số liên tiếp

\dfrac12

và

\dfrac13

.$\dfrac16=\dfrac1{2\times3}=\dfrac12-\dfrac13$ — mảnh nhỏ này chính là phần chênh lệch giữa hai phân số liên tiếp $\dfrac12$ và $\dfrac13$.

Càng cộng nhiều số hạng, tổng càng tiến gần 1 nhưng không bao giờ chạm tới 1 — điểm đánh dấu cuối cùng ứng với 9 số hạng, giá trị

\dfrac9{10}

.Càng cộng nhiều số hạng, tổng càng tiến gần 1 nhưng không bao giờ chạm tới 1 — điểm đánh dấu cuối cùng ứng với 9 số hạng, giá trị $\dfrac9{10}$.

Ba ví dụ dưới đây đi từ áp dụng trực tiếp phép tách, đến cộng một dãy dài bằng cách triệt tiêu, rồi đến một bài toán tổng quát theo $n$ kèm yêu cầu tìm số hạng nhỏ nhất thỏa một điều kiện — dạng câu hỏi rất hay gặp trong đề học sinh giỏi.

Ví dụ mẫu

Ví dụ

Ví dụ 1 — kiểm chứng phép tách trên một số hạng

1
Viết $\dfrac1{6\times7}$ dưới dạng hiệu hai phân số, rồi kiểm tra lại bằng quy đồng.
Viết $\dfrac1{6\times7}$ dưới dạng hiệu hai phân số, rồi kiểm tra lại bằng quy đồng.
2
Ta có $6\times7=42=6(6+1)$ , đúng dạng $k(k+1)$ với $k=6$ . Theo công thức $\dfrac1{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}$ , suy ra $\dfrac1{42}=\dfrac16-\dfrac17$ . (1)
Ta có $6\times7=42=6(6+1)$, đúng dạng $k(k+1)$ với $k=6$. Theo công thức $\dfrac1{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}$, suy ra $\dfrac1{42}=\dfrac16-\dfrac17$. (1)
3
Quy đồng vế phải của (1): $\dfrac16-\dfrac17=\dfrac{7}{42}-\dfrac6{42}=\dfrac1{42}$ , đúng bằng vế trái.
Quy đồng vế phải của (1): $\dfrac16-\dfrac17=\dfrac{7}{42}-\dfrac6{42}=\dfrac1{42}$, đúng bằng vế trái.
4
Vậy $\dfrac1{42}=\dfrac16-\dfrac17$ . Biến thể gần: đổi $k=6$ thành $k=11$ , ta có ngay $\dfrac1{132}=\dfrac1{11}-\dfrac1{12}$ mà không cần quy đồng lại từ đầu, chỉ cần nhận ra $132=11\times12$ .
Vậy $\dfrac1{42}=\dfrac16-\dfrac17$. Biến thể gần: đổi $k=6$ thành $k=11$, ta có ngay $\dfrac1{132}=\dfrac1{11}-\dfrac1{12}$ mà không cần quy đồng lại từ đầu, chỉ cần nhận ra $132=11\times12$.

Ví dụ

Ví dụ 2 — cộng một dãy chín số hạng

1
Tính $S=\dfrac1{1\times2}+\dfrac1{2\times3}+\dfrac1{3\times4}+\cdots+\dfrac1{9\times10}$ .
Tính $S=\dfrac1{1\times2}+\dfrac1{2\times3}+\dfrac1{3\times4}+\cdots+\dfrac1{9\times10}$.
2
Theo công thức tách, mỗi số hạng $\dfrac1{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}$ với $k=1,2,\ldots,9$ . Viết lại: $S=\left(\dfrac11-\dfrac12\right)+\left(\dfrac12-\dfrac13\right)+\left(\dfrac13-\dfrac14\right)+\cdots+\left(\dfrac19-\dfrac1{10}\right).$
Theo công thức tách, mỗi số hạng $\dfrac1{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}$ với $k=1,2,\ldots,9$. Viết lại: $$S=\left(\dfrac11-\dfrac12\right)+\left(\dfrac12-\dfrac13\right)+\left(\dfrac13-\dfrac14\right)+\cdots+\left(\dfrac19-\dfrac1{10}\right).$$
3
Ta có $-\dfrac12$ ở ngoặc thứ nhất triệt tiêu với $\dfrac12$ ở ngoặc thứ hai, $-\dfrac13$ triệt tiêu với $\dfrac13$ ở ngoặc thứ ba, cứ như vậy cho tới hết. Chỉ còn số hạng đầu tiên của ngoặc đầu và số hạng cuối của ngoặc cuối. (1)
Ta có $-\dfrac12$ ở ngoặc thứ nhất triệt tiêu với $\dfrac12$ ở ngoặc thứ hai, $-\dfrac13$ triệt tiêu với $\dfrac13$ ở ngoặc thứ ba, cứ như vậy cho tới hết. Chỉ còn số hạng đầu tiên của ngoặc đầu và số hạng cuối của ngoặc cuối. (1)
4
Từ (1): $S=\dfrac11-\dfrac1{10}=\dfrac{10}{10}-\dfrac1{10}=\dfrac9{10}$ . Vậy $S=\dfrac9{10}$ .
Từ (1): $S=\dfrac11-\dfrac1{10}=\dfrac{10}{10}-\dfrac1{10}=\dfrac9{10}$. Vậy $S=\dfrac9{10}$.

Ví dụ

Ví dụ 3 — công thức tổng quát và bài toán tìm

n

nhỏ nhất

1
Cho $S_n=\dfrac1{1\times2}+\dfrac1{2\times3}+\cdots+\dfrac1{n(n+1)}$ với $n$ là số tự nhiên, $n\ge1$ . Chứng minh $S_n<1$ với mọi $n$ , rồi tìm số tự nhiên $n$ nhỏ nhất để $S_n\ge\dfrac{99}{100}$ .
Cho $S_n=\dfrac1{1\times2}+\dfrac1{2\times3}+\cdots+\dfrac1{n(n+1)}$ với $n$ là số tự nhiên, $n\ge1$. Chứng minh $S_n<1$ với mọi $n$, rồi tìm số tự nhiên $n$ nhỏ nhất để $S_n\ge\dfrac{99}{100}$.
2
Lặp lại đúng cách triệt tiêu ở Ví dụ 2 nhưng dừng ở số hạng thứ $n$ thay vì số hạng thứ 9: $S_n=\dfrac11-\dfrac1{n+1}.$ (1)
Lặp lại đúng cách triệt tiêu ở Ví dụ 2 nhưng dừng ở số hạng thứ $n$ thay vì số hạng thứ 9: $$S_n=\dfrac11-\dfrac1{n+1}.$$ (1)
3
Vì $n\ge1$ nên $n+1\ge2>0$ , suy ra $\dfrac1{n+1}>0$ . Theo (1), $S_n=1-\dfrac1{n+1}<1$ với mọi số tự nhiên $n\ge1$ , vì hiệu của 1 trừ đi một số dương luôn nhỏ hơn 1. (2)
Vì $n\ge1$ nên $n+1\ge2>0$, suy ra $\dfrac1{n+1}>0$. Theo (1), $S_n=1-\dfrac1{n+1}<1$ với mọi số tự nhiên $n\ge1$, vì hiệu của 1 trừ đi một số dương luôn nhỏ hơn 1. (2)
4
Cần $S_n\ge\dfrac{99}{100}$ . Theo (1): $1-\dfrac1{n+1}\ge\dfrac{99}{100}\iff\dfrac1{n+1}\le\dfrac1{100}\iff n+1\ge100\iff n\ge99$ (hai phân số dương, mẫu càng lớn thì phân số càng nhỏ, nên bất đẳng thức đổi chiều khi lật ngược).
Cần $S_n\ge\dfrac{99}{100}$. Theo (1): $1-\dfrac1{n+1}\ge\dfrac{99}{100}\iff\dfrac1{n+1}\le\dfrac1{100}\iff n+1\ge100\iff n\ge99$ (hai phân số dương, mẫu càng lớn thì phân số càng nhỏ, nên bất đẳng thức đổi chiều khi lật ngược).
5
Số tự nhiên $n$ nhỏ nhất thỏa điều kiện là $n=99$ . Kiểm tra: $S_{99}=1-\dfrac1{100}=\dfrac{99}{100}$ (TMĐK, đúng bằng cận dưới). Vậy $S_n<1$ với mọi $n$ theo (2), và $n=99$ là số hạng nhỏ nhất để tổng đạt tới $\dfrac{99}{100}$ . Biến thể gần: đổi cận thành $\dfrac9{10}$ thay vì $\dfrac{99}{100}$ , cách giải hệt như trên cho $n\ge9$ , tức $n$ nhỏ nhất là 9.
Số tự nhiên $n$ nhỏ nhất thỏa điều kiện là $n=99$. Kiểm tra: $S_{99}=1-\dfrac1{100}=\dfrac{99}{100}$ (TMĐK, đúng bằng cận dưới). Vậy $S_n<1$ với mọi $n$ theo (2), và $n=99$ là số hạng nhỏ nhất để tổng đạt tới $\dfrac{99}{100}$. Biến thể gần: đổi cận thành $\dfrac9{10}$ thay vì $\dfrac{99}{100}$, cách giải hệt như trên cho $n\ge9$, tức $n$ nhỏ nhất là 9.

Sai lầm thường gặp

(1) Áp dụng công thức tách cho một mẫu số không phải tích hai số tự nhiên liên tiếp, ví dụ nhầm $\dfrac1{10}$ (với $10=2\times5$ , không liên tiếp) sang dạng $\dfrac1{k(k+1)}$ . (2) Quên dấu trừ khi khai triển tổng, viết nhầm mỗi số hạng thành một tổng thay vì một hiệu. (3) Dừng lại ở kết quả $S_n=1-\dfrac1{n+1}$ mà quên đối chiếu lại với điều kiện đề bài hỏi, dù là so sánh, tìm $n$ nhỏ nhất, hay chỉ tính giá trị.

(1) Áp dụng công thức tách cho một mẫu số không phải tích hai số tự nhiên liên tiếp, ví dụ nhầm $\dfrac1{10}$ (với $10=2\times5$, không liên tiếp) sang dạng $\dfrac1{k(k+1)}$. (2) Quên dấu trừ khi khai triển tổng, viết nhầm mỗi số hạng thành một tổng thay vì một hiệu. (3) Dừng lại ở kết quả $S_n=1-\dfrac1{n+1}$ mà quên đối chiếu lại với điều kiện đề bài hỏi, dù là so sánh, tìm $n$ nhỏ nhất, hay chỉ tính giá trị.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

$\dfrac1{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}$ ; cộng liên tiếp nhiều số hạng dạng này, mọi số hạng ở giữa triệt tiêu theo cặp, chỉ còn số hạng đầu trừ số hạng cuối. Từ đó $S_n=1-\dfrac1{n+1}$ luôn nhỏ hơn 1.

$\dfrac1{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}$; cộng liên tiếp nhiều số hạng dạng này, mọi số hạng ở giữa triệt tiêu theo cặp, chỉ còn số hạng đầu trừ số hạng cuối. Từ đó $S_n=1-\dfrac1{n+1}$ luôn nhỏ hơn 1.

Kỹ thuật trên hoạt động đẹp khi hai thừa số ở mẫu số cách nhau đúng 1 đơn vị. Bài học sau xử lý trường hợp chúng cách nhau 2 hoặc 3 đơn vị, khi đó phép tách vẫn dùng được, nhưng cần thêm một hệ số điều chỉnh trước khi các số hạng chịu triệt tiêu.