Bài học

Nguyên lý cộng và nhân trong đếm

Mục tiêu bài học

Sau bài học này, em phân biệt được khi nào dùng quy tắc cộng, khi nào dùng quy tắc nhân trong một bài toán đếm, và tránh được bẫy quên bớt lựa chọn cho chữ số đứng đầu khi tập chữ số có số 0.

Kiến thức cần có

Em đã biết đếm bằng liệt kê từ các lớp dưới, và nắm được khái niệm chữ số hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị. Bản thân quy tắc cộng, quy tắc nhân không phải điều gì mới. Mở rộng dành cho HSG: cái mới ở đây là kỹ năng NHẬN RA đúng lúc nào dùng quy tắc nào trong một bài có nhiều điều kiện ràng buộc cùng lúc — SGK Lớp 6 chuẩn chỉ dừng ở đếm bằng liệt kê trực tiếp với số lượng nhỏ, không đòi hỏi kỹ năng phân loại này.

Em đã biết đếm bằng liệt kê từ các lớp dưới, và nắm được khái niệm chữ số hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị. Bản thân quy tắc cộng, quy tắc nhân không phải điều gì mới. **Mở rộng dành cho HSG**: cái mới ở đây là kỹ năng NHẬN RA đúng lúc nào dùng quy tắc nào trong một bài có nhiều điều kiện ràng buộc cùng lúc — SGK Lớp 6 chuẩn chỉ dừng ở đếm bằng liệt kê trực tiếp với số lượng nhỏ, không đòi hỏi kỹ năng phân loại này.

Bài toán khởi động

Một chiếc khóa số có 3 vòng xoay, mỗi vòng ghi các chữ số từ 1 đến 4, và 3 chữ số hiện trên khóa phải khác nhau đôi một. Có bao nhiêu mật mã khác nhau có thể tạo ra? Ngồi liệt kê từng mật mã một sẽ mất rất nhiều thời gian. Cần một cách đếm nhanh hơn.

Ý tưởng cốt lõi: cộng hay nhân

Quy tắc cộng lại dùng cho tình huống khác hẳn: khi phải TÁCH bài toán thành các trường hợp không thể xảy ra đồng thời, đếm riêng từng trường hợp rồi cộng kết quả lại. Làm sao phân biệt hai quy tắc? Tự hỏi: các lựa chọn có xảy ra CÙNG một lúc, cho CÙNG một đối tượng không (nhân), hay đối tượng chỉ có thể rơi vào ĐÚNG MỘT trong các trường hợp (cộng)? Nhầm quy tắc là lỗi phổ biến nhất khi mới học đếm nâng cao.

Đề bài chuẩn Lớp 6 thường hỏi kiểu "có bao nhiêu số có 2 chữ số" — một điều kiện, tính một bước là xong. Bài toán khóa số ở trên khác hẳn: ba vòng phải chọn LIÊN TIẾP nhau (chọn xong vòng 1 mới đến vòng 2, chọn xong vòng 2 mới đến vòng 3), và ba lựa chọn ràng buộc lẫn nhau (không được trùng chữ số). Đây chính là lúc dùng **quy tắc nhân**: nếu một việc được hoàn thành qua nhiều bước liên tiếp, số cách nhân lại với nhau. Quy tắc cộng lại dùng cho tình huống khác hẳn: khi phải TÁCH bài toán thành các trường hợp không thể xảy ra đồng thời, đếm riêng từng trường hợp rồi cộng kết quả lại. Làm sao phân biệt hai quy tắc? Tự hỏi: các lựa chọn có xảy ra CÙNG một lúc, cho CÙNG một đối tượng không (nhân), hay đối tượng chỉ có thể rơi vào ĐÚNG MỘT trong các trường hợp (cộng)? Nhầm quy tắc là lỗi phổ biến nhất khi mới học đếm nâng cao.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ

Mật mã 3 chữ số khác nhau từ {1, 2, 3, 4}

1
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau đôi một, lập từ các chữ số $\{1,2,3,4\}$ ? Ba vị trí (hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị) được chọn liên tiếp nhau, mỗi lần chọn xong một chữ số thì chữ số đó không được dùng lại.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau đôi một, lập từ các chữ số $\{1,2,3,4\}$? Ba vị trí (hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị) được chọn liên tiếp nhau, mỗi lần chọn xong một chữ số thì chữ số đó không được dùng lại.
2
Hàng trăm: chọn 1 trong 4 chữ số, có 4 cách. Hàng chục: chữ số vừa dùng không được lặp lại, còn 3 chữ số để chọn, có 3 cách. Hàng đơn vị: còn lại 2 chữ số, có 2 cách.
3
Ba lựa chọn diễn ra liên tiếp, mỗi lựa chọn phụ thuộc lựa chọn trước (số chữ số còn lại giảm dần) nên nhân số cách của ba bước: $4\times 3\times 2=24$ .
Ba lựa chọn diễn ra liên tiếp, mỗi lựa chọn phụ thuộc lựa chọn trước (số chữ số còn lại giảm dần) nên nhân số cách của ba bước: $4\times 3\times 2=24$.
4
Gọi số cần lập có dạng $\overline{abc}$ với $a,b,c\in\{1,2,3,4\}$ đôi một khác nhau. Ta có 4 cách chọn $a$ (1). Sau khi chọn $a$ , còn 3 chữ số để chọn $b$ (2). Sau khi chọn $a,b$ , còn 2 chữ số để chọn $c$ (3). Kết hợp (1), (2) và (3) theo quy tắc nhân: $4\times3\times2=24$ . Vậy có $24$ số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lập từ $\{1,2,3,4\}$ .
Gọi số cần lập có dạng $\overline{abc}$ với $a,b,c\in\{1,2,3,4\}$ đôi một khác nhau. Ta có 4 cách chọn $a$ (1). Sau khi chọn $a$, còn 3 chữ số để chọn $b$ (2). Sau khi chọn $a,b$, còn 2 chữ số để chọn $c$ (3). Kết hợp (1), (2) và (3) theo quy tắc nhân: $4\times3\times2=24$. Vậy có $24$ số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lập từ $\{1,2,3,4\}$.
5
Nếu tập chữ số mở rộng thành $\{1,2,3,4,5\}$ (5 phần tử) mà vẫn lập số có 3 chữ số khác nhau, số cách trở thành $5\times4\times3=60$ — chỉ đổi số chữ số ban đầu, cách lập luận giữ nguyên.
Nếu tập chữ số mở rộng thành $\{1,2,3,4,5\}$ (5 phần tử) mà vẫn lập số có 3 chữ số khác nhau, số cách trở thành $5\times4\times3=60$ — chỉ đổi số chữ số ban đầu, cách lập luận giữ nguyên.

Ví dụ

Bẫy chữ số 0: số có 3 chữ số khác nhau từ {0, 1, 2, 3, 4}

1
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau đôi một, lập từ các chữ số $\{0,1,2,3,4\}$ ?
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau đôi một, lập từ các chữ số $\{0,1,2,3,4\}$?
2
Tập có 5 chữ số nên nhiều bạn viết ngay $5\times4\times3=60$ . Đây chính là bẫy: cách tính đó coi hàng trăm được chọn tự do từ cả 5 chữ số, kể cả chữ số 0 — nhưng một số tự nhiên không thể có chữ số 0 ở vị trí đầu tiên (khi đó nó không còn là số có 3 chữ số nữa). Phải xử lý hàng trăm riêng trước.
Tập có 5 chữ số nên nhiều bạn viết ngay $5\times4\times3=60$. Đây chính là bẫy: cách tính đó coi hàng trăm được chọn tự do từ cả 5 chữ số, kể cả chữ số 0 — nhưng một số tự nhiên không thể có chữ số 0 ở vị trí đầu tiên (khi đó nó không còn là số có 3 chữ số nữa). Phải xử lý hàng trăm riêng trước.
3
Hàng trăm: khác 0, chọn 1 trong 4 chữ số $\{1,2,3,4\}$ , có 4 cách. Hàng chục: được phép là 0, chọn từ 4 chữ số còn lại (5 chữ số trừ chữ số đã dùng ở hàng trăm), có 4 cách. Hàng đơn vị: còn 3 chữ số, có 3 cách.
Hàng trăm: khác 0, chọn 1 trong 4 chữ số $\{1,2,3,4\}$, có 4 cách. Hàng chục: được phép là 0, chọn từ 4 chữ số còn lại (5 chữ số trừ chữ số đã dùng ở hàng trăm), có 4 cách. Hàng đơn vị: còn 3 chữ số, có 3 cách.
4
Kết hợp ba bước theo quy tắc nhân: $4\times4\times3=48$ .
Kết hợp ba bước theo quy tắc nhân: $4\times4\times3=48$.
5
Vì $a\neq 0$ , ta chọn $a$ trước: có 4 cách ( $a\in\{1,2,3,4\}$ ) (1). Tiếp theo chọn $b$ từ 4 chữ số còn lại của $\{0,1,2,3,4\}$ (đã dùng $a$ ): 4 cách (2). Cuối cùng chọn $c$ từ 3 chữ số còn lại: 3 cách (3). Kết hợp (1), (2), (3): $4\times4\times3=48$ . Vậy có $48$ số, KHÔNG PHẢI $60$ như cách tính bỏ qua điều kiện hàng trăm khác 0.
Vì $a\neq 0$, ta chọn $a$ trước: có 4 cách ($a\in\{1,2,3,4\}$) (1). Tiếp theo chọn $b$ từ 4 chữ số còn lại của $\{0,1,2,3,4\}$ (đã dùng $a$): 4 cách (2). Cuối cùng chọn $c$ từ 3 chữ số còn lại: 3 cách (3). Kết hợp (1), (2), (3): $4\times4\times3=48$. Vậy có $48$ số, KHÔNG PHẢI $60$ như cách tính bỏ qua điều kiện hàng trăm khác 0.
6
Nếu đổi đề thành "có 4 chữ số khác nhau" từ cùng tập $\{0,1,2,3,4\}$ : hàng nghìn 4 cách (khác 0), rồi 4, 3, 2 cách cho ba vị trí còn lại — kết quả $4\times4\times3\times2=96$ .
Nếu đổi đề thành "có 4 chữ số khác nhau" từ cùng tập $\{0,1,2,3,4\}$: hàng nghìn 4 cách (khác 0), rồi 4, 3, 2 cách cho ba vị trí còn lại — kết quả $4\times4\times3\times2=96$.

Ví dụ

Kết hợp cả hai quy tắc: số chẵn từ {0, 1, 2, 3, 4}

1
Có bao nhiêu số tự nhiên CHẴN có 3 chữ số khác nhau đôi một, lập từ $\{0,1,2,3,4\}$ ? Đây là bài toán cần cả quy tắc cộng lẫn quy tắc nhân trong cùng một lời giải.
Có bao nhiêu số tự nhiên CHẴN có 3 chữ số khác nhau đôi một, lập từ $\{0,1,2,3,4\}$? Đây là bài toán cần cả quy tắc cộng lẫn quy tắc nhân trong cùng một lời giải.
2
Số chẵn có chữ số hàng đơn vị $c\in\{0,2,4\}$ . Ba giá trị của $c$ dẫn đến số cách chọn hai chữ số còn lại khác nhau (vì $c=0$ không chiếm mất một chữ số khác 0, còn $c=2$ hay $c=4$ thì có), nên phải xét riêng từng trường hợp rồi cộng lại.
Số chẵn có chữ số hàng đơn vị $c\in\{0,2,4\}$. Ba giá trị của $c$ dẫn đến số cách chọn hai chữ số còn lại khác nhau (vì $c=0$ không chiếm mất một chữ số khác 0, còn $c=2$ hay $c=4$ thì có), nên phải xét riêng từng trường hợp rồi cộng lại.
3
Hàng trăm $a$ chọn từ $\{1,2,3,4\}$ (khác 0): 4 cách. Hàng chục $b$ chọn từ 3 chữ số còn lại: 3 cách. Số cách: $4\times3=12$ . (1)
Hàng trăm $a$ chọn từ $\{1,2,3,4\}$ (khác 0): 4 cách. Hàng chục $b$ chọn từ 3 chữ số còn lại: 3 cách. Số cách: $4\times3=12$. (1)
4
Với $c=2$ : $a$ khác 0 và khác 2, còn 3 cách ( $a\in\{1,3,4\}$ ); $b$ chọn từ 3 chữ số còn lại (5 trừ $a,c$ ): 3 cách. Số cách: $3\times3=9$ . Tương tự với $c=4$ : cũng $3\times3=9$ cách. Cộng hai trường hợp này: $9+9=18$ . (2)
Với $c=2$: $a$ khác 0 và khác 2, còn 3 cách ($a\in\{1,3,4\}$); $b$ chọn từ 3 chữ số còn lại (5 trừ $a,c$): 3 cách. Số cách: $3\times3=9$. Tương tự với $c=4$: cũng $3\times3=9$ cách. Cộng hai trường hợp này: $9+9=18$. (2)
5
Ba trường hợp $c=0$ , $c=2$ , $c=4$ rời nhau và phủ hết mọi khả năng số chẵn. Kết hợp (1) và (2) theo quy tắc cộng: $12+18=30$ .
Ba trường hợp $c=0$, $c=2$, $c=4$ rời nhau và phủ hết mọi khả năng số chẵn. Kết hợp (1) và (2) theo quy tắc cộng: $12+18=30$.
6
Xét $c\in\{0,2,4\}$ . Với $c=0$ : $a$ có 4 cách, $b$ có 3 cách, được $12$ số (1). Với $c=2$ hoặc $c=4$ : mỗi trường hợp $a$ có 3 cách (khác 0 và khác $c$ ), $b$ có 3 cách, được $9$ số mỗi trường hợp, tổng $9+9=18$ số (2). Kết hợp (1) và (2) theo quy tắc cộng: $12+18=30$ . Vậy có $30$ số chẵn có 3 chữ số khác nhau lập từ $\{0,1,2,3,4\}$ .
Xét $c\in\{0,2,4\}$. Với $c=0$: $a$ có 4 cách, $b$ có 3 cách, được $12$ số (1). Với $c=2$ hoặc $c=4$: mỗi trường hợp $a$ có 3 cách (khác 0 và khác $c$), $b$ có 3 cách, được $9$ số mỗi trường hợp, tổng $9+9=18$ số (2). Kết hợp (1) và (2) theo quy tắc cộng: $12+18=30$. Vậy có $30$ số chẵn có 3 chữ số khác nhau lập từ $\{0,1,2,3,4\}$.
7
Nếu đổi yêu cầu thành số LẺ (c lẻ, $c\in\{1,3\}$ ) từ cùng tập: mỗi giá trị của $c$ cho $a$ có 3 cách (khác 0, khác $c$ ), $b$ có 3 cách, tổng $2\times9=18$ số lẻ — ít hơn số chẵn vì chỉ có 2 lựa chọn cho $c$ thay vì 3.
Nếu đổi yêu cầu thành số LẺ (c lẻ, $c\in\{1,3\}$) từ cùng tập: mỗi giá trị của $c$ cho $a$ có 3 cách (khác 0, khác $c$), $b$ có 3 cách, tổng $2\times9=18$ số lẻ — ít hơn số chẵn vì chỉ có 2 lựa chọn cho $c$ thay vì 3.

Ba trường hợp rời nhau theo chữ số hàng đơn vị: 12 + 9 + 9 = 30 số chẵn — minh họa quy tắc cộng ở Ví dụ 3.

Sai lầm thường gặp

Bẫy thường gặp

Lỗi phổ biến nhất là quên xử lý riêng chữ số hàng trăm khi tập chữ số có số 0, dẫn đến đếm THỪA (như $5\times4\times3=60$ thay vì $48$ ở Ví dụ 2). Lỗi thứ hai là nhân nhầm khi lẽ ra phải cộng: nếu bài toán có nhiều trường hợp rời nhau (như số chẵn chia theo chữ số cuối), phải cộng số cách của từng trường hợp, không được nhân chúng với nhau.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Điều cần nhớ

Nhân khi các bước chọn diễn ra liên tiếp, cùng tạo nên một đối tượng. Cộng khi phải tách bài toán thành các trường hợp rời nhau. Khi tập chữ số có số 0, luôn xử lý vị trí đầu tiên (khác 0) trước, rồi mới đến các vị trí còn lại.

Bài tiếp theo dùng lại đúng hai quy tắc này cho một tình huống quen thuộc hơn nhiều: đếm xem một cuốn sách cần bao nhiêu chữ số để đánh số hết các trang, khi số trang tăng dần từ 1 chữ số lên 2 rồi 3 chữ số.