Bài học

Nhận diện tín hiệu: ba bài toán, ba phương pháp

Mục tiêu

Suốt chín khóa HSG Toán 6 trước, mỗi khóa dạy em một công cụ riêng: chia hết và đồng dư, ƯCLN–BCNN, số nguyên, phân số, số chính phương, lũy thừa, suy luận và hình học. Khóa cuối này không dạy công cụ mới. Nó dạy một kỹ năng khó hơn: đứng trước một đề bài không nói trước phải dùng gì, em có nhận ra ngay công cụ nào phù hợp không.

Trong phòng thi HSG thật, không đề nào ghi sẵn "dùng đồng dư để giải bài này". Đề chỉ đưa ra một yêu cầu trung tính: tìm số dư, tìm hai số, hoặc chứng minh một tổng nằm trong một khoảng. Việc đầu tiên một học sinh giỏi làm không phải là bắt tay tính ngay, mà là đọc tín hiệu trong đề để đoán đúng hướng đi trước khi đặt bút.

Kiến thức nền cần dùng lại

Bài học này không dạy kỹ thuật mới, chỉ dạy cách chọn đúng kỹ thuật em đã học: chu kỳ số dư của lũy thừa (khóa Số học nâng cao: Chia hết và Đồng dư), đẳng thức $ƯCLN(a,b)\times BCNN(a,b)=a\times b$ cùng cách tham số hóa $a=dm, b=dn$ (khóa Ước chung, Bội chung, Số nguyên tố nâng cao), và cách kẹp một tổng phân số giữa hai giá trị (khóa Phân số và tính nhanh nâng cao). Nếu một trong ba còn mơ hồ, em nên ôn lại khóa tương ứng trước khi học tiếp.

Vì sao ba bài toán dưới đây dễ gây nhầm lẫn

Ba bài toán sau có một điểm chung dễ đánh lừa: con số lớn hoặc nhiều số hạng, khiến em muốn cứ tính thẳng bằng tay. Nhưng nhân tay $3^{100}$ , dò từng cặp ước của 240, hay cộng trực tiếp hai mươi phân số không cùng mẫu đều tốn quá nhiều thời gian trong phòng thi. Bề ngoài giống nhau ở chỗ "không tính tay nổi", nhưng bản chất ba bài lại cần ba công cụ hoàn toàn khác nhau. Nhận đúng tín hiệu, em tiết kiệm được phần lớn thời gian làm bài.

Ba bài toán sau có một điểm chung dễ đánh lừa: con số lớn hoặc nhiều số hạng, khiến em muốn cứ tính thẳng bằng tay. Nhưng nhân tay $3^{100}$, dò từng cặp ước của 240, hay cộng trực tiếp hai mươi phân số không cùng mẫu đều tốn quá nhiều thời gian trong phòng thi. Bề ngoài giống nhau ở chỗ "không tính tay nổi", nhưng bản chất ba bài lại cần ba công cụ hoàn toàn khác nhau. Nhận đúng tín hiệu, em tiết kiệm được phần lớn thời gian làm bài.

Bản đồ chẩn đoán nhanh: đọc tín hiệu trước, chọn công cụ, rồi mới tính.

Bài toán 1 — Tín hiệu đồng dư

Ví dụ

Bài toán 1 — Tìm số dư của một lũy thừa lớn

1
Tìm số dư của $3^{100}$ khi chia cho $4$ .
Tìm số dư của $3^{100}$ khi chia cho $4$.
2
Số mũ 100 quá lớn để nhân tay, và câu hỏi là số dư khi chia — đúng tín hiệu đồng dư: cần tìm chu kỳ lặp lại của số dư $3^n$ khi chia cho 4, rồi đưa số mũ 100 về đúng vị trí trong chu kỳ đó.
Số mũ 100 quá lớn để nhân tay, và câu hỏi là số dư khi chia — đúng tín hiệu đồng dư: cần tìm chu kỳ lặp lại của số dư $3^n$ khi chia cho 4, rồi đưa số mũ 100 về đúng vị trí trong chu kỳ đó.
3
Ta có $3^1\equiv3, 3^2\equiv1, 3^3\equiv3, 3^4\equiv1\pmod4$ . Vậy chu kỳ số dư của $3^n$ khi chia cho 4 có độ dài 2: dư 3 ở số mũ lẻ, dư 1 ở số mũ chẵn. (1)
Ta có $3^1\equiv3, 3^2\equiv1, 3^3\equiv3, 3^4\equiv1\pmod4$. Vậy chu kỳ số dư của $3^n$ khi chia cho 4 có độ dài 2: dư 3 ở số mũ lẻ, dư 1 ở số mũ chẵn. (1)
4
Xét số mũ 100. Vì $100$ chẵn, theo (1) suy ra $3^{100}\equiv1\pmod4$ .
Xét số mũ 100. Vì $100$ chẵn, theo (1) suy ra $3^{100}\equiv1\pmod4$.
5
Vậy $3^{100}$ chia cho $4$ dư $1$ .
Vậy $3^{100}$ chia cho $4$ dư $1$.
6
Ghi nhớ: mọi bài tìm số dư của lũy thừa lớn đều bắt đầu bằng việc tìm chu kỳ số dư của cơ số (thường chỉ dài 2 hoặc 4), rồi xét số mũ chẵn lẻ hoặc lấy số mũ chia cho độ dài chu kỳ. Biến thể gần: nếu đổi thành "tìm số dư của $3^{101}$ chia cho 4", số mũ 101 lẻ, theo (1) dư sẽ là 3 — chỉ tính chẵn lẻ của số mũ thay đổi, cách làm giữ nguyên.
Ghi nhớ: mọi bài tìm số dư của lũy thừa lớn đều bắt đầu bằng việc tìm chu kỳ số dư của cơ số (thường chỉ dài 2 hoặc 4), rồi xét số mũ chẵn lẻ hoặc lấy số mũ chia cho độ dài chu kỳ. Biến thể gần: nếu đổi thành \"tìm số dư của $3^{101}$ chia cho 4", số mũ 101 lẻ, theo (1) dư sẽ là 3 — chỉ tính chẵn lẻ của số mũ thay đổi, cách làm giữ nguyên.

Bài toán 2 — Tín hiệu ƯCLN–BCNN

Ví dụ

Bài toán 2 — Tìm hai số khi biết ƯCLN và BCNN

1
Tìm hai số tự nhiên $a, b$ biết $ƯCLN(a,b)=12$ và $BCNN(a,b)=240$ .
Tìm hai số tự nhiên $a, b$ biết $ƯCLN(a,b)=12$ và $BCNN(a,b)=240$.
2
Đề cho sẵn cả ƯCLN lẫn BCNN của hai số cần tìm — đúng tín hiệu ƯCLN–BCNN: dùng đẳng thức ƯCLN×BCNN=a×b để chuyển bài toán tìm hai số về bài toán tìm cặp số nguyên tố cùng nhau.
3
Đặt $a=12m, b=12n$ với $(m,n)=1$ . Theo tính chất ƯCLN nhân BCNN, ta có $12\times240=a\times b=144mn$ , suy ra $mn=20$ . (1)
Đặt $a=12m, b=12n$ với $(m,n)=1$. Theo tính chất ƯCLN nhân BCNN, ta có $12\times240=a\times b=144mn$, suy ra $mn=20$. (1)
4
Từ (1), các cặp ước dương của 20 là $(1,20),(2,10),(4,5)$ và hoán vị. Xét điều kiện $(m,n)=1$ : cặp $(2,10)$ có ƯCLN bằng 2 nên loại; cặp $(1,20)$ và $(4,5)$ đều có ƯCLN bằng 1, thỏa điều kiện. (2)
Từ (1), các cặp ước dương của 20 là $(1,20),(2,10),(4,5)$ và hoán vị. Xét điều kiện $(m,n)=1$: cặp $(2,10)$ có ƯCLN bằng 2 nên loại; cặp $(1,20)$ và $(4,5)$ đều có ƯCLN bằng 1, thỏa điều kiện. (2)
5
Từ (2), với $m=1,n=20$ : $a=12, b=240$ . Với $m=4,n=5$ : $a=48, b=60$ . Kiểm tra lại: $ƯCLN(48,60)=12$ và $BCNN(48,60)=240$ , đúng như đề. Vậy có hai cặp số thỏa mãn: $(a,b)=(12,240)$ hoặc $(a,b)=(48,60)$ .
Từ (2), với $m=1,n=20$: $a=12, b=240$. Với $m=4,n=5$: $a=48, b=60$. Kiểm tra lại: $ƯCLN(48,60)=12$ và $BCNN(48,60)=240$, đúng như đề. Vậy có hai cặp số thỏa mãn: $(a,b)=(12,240)$ hoặc $(a,b)=(48,60)$.
6
Ghi nhớ: mọi bài biết ƯCLN và BCNN, tìm hai số đều quy về tìm cặp $(m,n)$ nguyên tố cùng nhau có tích bằng $\dfrac{ƯCLN\times BCNN}{ƯCLN^2}$ . Biến thể gần: nếu đề đổi BCNN thành tích $a\times b=2880$ , cách làm giống hệt vì $mn$ vẫn tính được từ $12\times240=144mn$ .
Ghi nhớ: mọi bài biết ƯCLN và BCNN, tìm hai số đều quy về tìm cặp $(m,n)$ nguyên tố cùng nhau có tích bằng $\dfrac{ƯCLN\times BCNN}{ƯCLN^2}$. Biến thể gần: nếu đề đổi BCNN thành tích $a\times b=2880$, cách làm giống hệt vì $mn$ vẫn tính được từ $12\times240=144mn$.

Bài toán 3 — Tín hiệu bất đẳng thức số học (kẹp tổng)

Ví dụ

Bài toán 3 — Kẹp một tổng phân số giữa hai giá trị

1
Chứng minh $S=\dfrac{1}{21}+\dfrac{1}{22}+\cdots+\dfrac{1}{40}$ nằm trong khoảng từ $\dfrac{1}{2}$ đến $1$ .
Chứng minh $S=\dfrac{1}{21}+\dfrac{1}{22}+\cdots+\dfrac{1}{40}$ nằm trong khoảng từ $\dfrac{1}{2}$ đến $1$.
2
Tổng có 20 số hạng, cộng trực tiếp hai mươi phân số không cùng mẫu là bất khả thi trong phòng thi — đúng tín hiệu bất đẳng thức số học: so sánh mỗi số hạng với một giá trị chung để kẹp cả tổng, thay vì cộng chính xác.
3
Ta có 20 số hạng, mỗi số hạng đều nhỏ hơn hoặc bằng $\dfrac{1}{21}$ (số hạng đầu, mẫu nhỏ nhất). Theo tính chất phân số cùng tử, mẫu càng nhỏ phân số càng lớn, nên $\dfrac{1}{21}\ge\dfrac{1}{22}\ge\cdots\ge\dfrac{1}{40}$ . Suy ra $S<20\times\dfrac{1}{21}=\dfrac{20}{21}<1$ . (1)
Ta có 20 số hạng, mỗi số hạng đều nhỏ hơn hoặc bằng $\dfrac{1}{21}$ (số hạng đầu, mẫu nhỏ nhất). Theo tính chất phân số cùng tử, mẫu càng nhỏ phân số càng lớn, nên $\dfrac{1}{21}\ge\dfrac{1}{22}\ge\cdots\ge\dfrac{1}{40}$. Suy ra $S<20\times\dfrac{1}{21}=\dfrac{20}{21}<1$. (1)
4
Tương tự, mỗi số hạng đều lớn hơn hoặc bằng $\dfrac{1}{40}$ (số hạng cuối, mẫu lớn nhất). Suy ra $S>20\times\dfrac{1}{40}=\dfrac{1}{2}$ . (2)
Tương tự, mỗi số hạng đều lớn hơn hoặc bằng $\dfrac{1}{40}$ (số hạng cuối, mẫu lớn nhất). Suy ra $S>20\times\dfrac{1}{40}=\dfrac{1}{2}$. (2)
5
Kết hợp (1) và (2): $\dfrac{1}{2}<S<\dfrac{20}{21}<1$ . Vậy $S$ nằm trong khoảng từ $\dfrac{1}{2}$ đến $1$ , đúng như đề yêu cầu.
Kết hợp (1) và (2): $\dfrac{1}{2}<S<\dfrac{20}{21}<1$. Vậy $S$ nằm trong khoảng từ $\dfrac{1}{2}$ đến $1$, đúng như đề yêu cầu.
6
Ghi nhớ: kẹp một tổng bằng cách nhân số số hạng với giá trị nhỏ nhất (chặn dưới) và giá trị lớn nhất (chặn trên) của các số hạng, không cần cộng chính xác. Biến thể gần: nếu tổng có 30 số hạng từ $\dfrac{1}{31}$ đến $\dfrac{1}{60}$ , cách làm giữ nguyên, chỉ đổi số số hạng và hai mẫu biên.
Ghi nhớ: kẹp một tổng bằng cách nhân số số hạng với giá trị nhỏ nhất (chặn dưới) và giá trị lớn nhất (chặn trên) của các số hạng, không cần cộng chính xác. Biến thể gần: nếu tổng có 30 số hạng từ $\dfrac{1}{31}$ đến $\dfrac{1}{60}$, cách làm giữ nguyên, chỉ đổi số số hạng và hai mẫu biên.

Bẫy thường gặp

Nhiều học sinh thấy "nhiều số hạng cộng lại" là phản xạ ngay đến kỹ thuật kẹp, kể cả khi đề thực ra hỏi hai số cụ thể (tín hiệu ƯCLN–BCNN) hoặc hỏi số dư của một lũy thừa (tín hiệu đồng dư). Trước khi chọn công cụ, luôn đọc lại: đề hỏi một số cụ thể hay một khoảng? Nếu đề hỏi số dư hoặc tìm số cụ thể, kẹp không phải công cụ đúng.

Ba bài toán vừa giải có vẻ giống nhau: số lớn, nhiều bước, không tính tay nổi. Nhưng bài 1 cần chu kỳ đồng dư, bài 2 cần đẳng thức ƯCLN nhân BCNN, bài 3 cần kẹp giữa hai giá trị. Kỹ năng quan trọng nhất của khóa tổng hợp này không phải là nhớ thêm công thức, mà là dừng lại vài giây để đọc đúng tín hiệu trước khi đặt bút tính.

Bài tiếp theo không dừng ở nhận diện tín hiệu cho một bài toán đơn. Em sẽ giải một bài toán ba phần kiểu đề học sinh giỏi thật: kết quả của phần a mở khóa phần b, và kết quả của phần b mở khóa phần c.