Bài học

Nhân đa thức hai biến và bình phương một tổng, một hiệu

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tự suy ra được hai công thức $(a+b)^2$ và $(a-b)^2$ bằng cách nhân đa thức đã học ở lớp 7, chứ không học thuộc lòng, và dùng đúng công thức để khai triển hoặc tính nhanh một biểu thức bậc hai.

Kiến thức cần có

Quy tắc nhân đa thức với đa thức (nhân từng hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích lại) — đã học ở Lớp 7 trong bài Nhân và chia đa thức một biến, cùng kỹ năng cộng trừ đơn thức đồng dạng.

Khởi động

Tính nhanh $52^2$ mà không nhân tay hai số có hai chữ số. Gợi ý: viết $52 = 50+2$ , rồi nghĩ xem phép nhân đa thức có giúp được gì không.

Tính nhanh $52^2$ mà không nhân tay hai số có hai chữ số. Gợi ý: viết $52 = 50+2$, rồi nghĩ xem phép nhân đa thức có giúp được gì không.

So với chương trình chuẩn lớp 7

Ở mức chuẩn, khi nhân hai đa thức, đề bài luôn cho sẵn hai đa thức cụ thể, chẳng hạn $(x+2)(x+3)$ , và yêu cầu khai triển. Em nhân từng hạng tử, cộng gộp, xong việc. Bài học này đi xa hơn một bước: thay vì khai triển một biểu thức số cụ thể, ta khai triển $(a+b)(a+b)$ cho $a, b$ bất kỳ, rồi đặt tên kết quả đó thành một công thức dùng lại được cho mọi bài sau. Bản thân phép nhân đa thức với hai chữ $a, b$ vẫn là kỹ năng lớp 7 — chỉ khác ở chỗ hai đa thức đó giống hệt nhau. Nhưng việc coi kết quả là một hằng đẳng thức đáng nhớ, tái sử dụng mà không cần nhân lại từ đầu mỗi lần, là nội dung chính thức của lớp 8.

Ở mức chuẩn, khi nhân hai đa thức, đề bài luôn cho sẵn hai đa thức cụ thể, chẳng hạn $(x+2)(x+3)$, và yêu cầu khai triển. Em nhân từng hạng tử, cộng gộp, xong việc. Bài học này đi xa hơn một bước: thay vì khai triển một biểu thức số cụ thể, ta khai triển $(a+b)(a+b)$ cho $a, b$ bất kỳ, rồi đặt tên kết quả đó thành một công thức dùng lại được cho mọi bài sau. Bản thân phép nhân đa thức với hai chữ $a, b$ vẫn là kỹ năng lớp 7 — chỉ khác ở chỗ hai đa thức đó giống hệt nhau. Nhưng việc coi kết quả là một hằng đẳng thức đáng nhớ, tái sử dụng mà không cần nhân lại từ đầu mỗi lần, là nội dung chính thức của lớp 8.

Mở rộng dành cho HSG

Hằng đẳng thức $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ và $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ là nội dung chính thức của Lớp 8, không nằm trong yêu cầu cần đạt chuẩn của Lớp 7. Tiền đề duy nhất em cần: nhân thành thạo đa thức với đa thức (same-grade bridge từ Lớp 7) và biết thu gọn đơn thức đồng dạng.

Ý tưởng chính

Viết $(a+b)^2$ dưới dạng phép nhân hai đa thức giống nhau: $(a+b)^2 = (a+b)(a+b)$ . Nhân đa thức lớp 7 luôn làm đúng một việc cho mọi cặp đa thức bậc nhất hai hạng tử: nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với từng hạng tử của đa thức thứ hai, rồi cộng gộp các đơn thức đồng dạng. $(a+b)^2$ chỉ là một trường hợp riêng — không có kỹ thuật nào mới, chỉ là một kết quả đáng nhớ vì nó xuất hiện lặp đi lặp lại trong rất nhiều bài toán.

Viết $(a+b)^2$ dưới dạng phép nhân hai đa thức giống nhau: $(a+b)^2 = (a+b)(a+b)$. Nhân đa thức lớp 7 luôn làm đúng một việc cho mọi cặp đa thức bậc nhất hai hạng tử: nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với từng hạng tử của đa thức thứ hai, rồi cộng gộp các đơn thức đồng dạng. $(a+b)^2$ chỉ là một trường hợp riêng — không có kỹ thuật nào mới, chỉ là một kết quả đáng nhớ vì nó xuất hiện lặp đi lặp lại trong rất nhiều bài toán.

Lưới

5\times5=25

ô minh hoạ

(3+2)^2=25

: chia lưới theo cạnh

3

và

2

, ta được bốn mảng

3\times3=9

3\times2=6

2\times3=6

2\times2=4

— đúng bằng

a^2, ab, ab, b^2

với

a=3, b=2

, tổng

9+6+6+4=25

.Lưới $5\times5=25$ ô minh hoạ $(3+2)^2=25$: chia lưới theo cạnh $3$ và $2$, ta được bốn mảng $3\times3=9$, $3\times2=6$, $2\times3=6$, $2\times2=4$ — đúng bằng $a^2, ab, ab, b^2$ với $a=3, b=2$, tổng $9+6+6+4=25$.

Ví dụ mẫu

Ví dụ

Ví dụ 1 — chứng minh công thức bằng cách nhân đa thức

1
Chứng minh $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ và $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ với $a, b$ là hai số bất kỳ, bằng cách nhân đa thức chứ không thừa nhận công thức có sẵn.
Chứng minh $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ và $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ với $a, b$ là hai số bất kỳ, bằng cách nhân đa thức chứ không thừa nhận công thức có sẵn.
2
Lớp 7 mới chỉ luyện nhân hai đa thức cụ thể, ví dụ $(x+2)(x+3)$ . Ở đây $a, b$ là hai chữ bất kỳ, không có con số nào để dựa vào — em phải áp dụng đúng quy tắc nhân đa thức cho trường hợp tổng quát.
Lớp 7 mới chỉ luyện nhân hai đa thức cụ thể, ví dụ $(x+2)(x+3)$. Ở đây $a, b$ là hai chữ bất kỳ, không có con số nào để dựa vào — em phải áp dụng đúng quy tắc nhân đa thức cho trường hợp tổng quát.
3
Viết $(a+b)^2=(a+b)(a+b)$ , nhân đa thức như bình thường: nhân $a$ với từng hạng tử của $(a+b)$ , nhân $b$ với từng hạng tử của $(a+b)$ , rồi cộng gộp các đơn thức đồng dạng.
Viết $(a+b)^2=(a+b)(a+b)$, nhân đa thức như bình thường: nhân $a$ với từng hạng tử của $(a+b)$, nhân $b$ với từng hạng tử của $(a+b)$, rồi cộng gộp các đơn thức đồng dạng.
4
Ta có $(a+b)^2=(a+b)(a+b)$ . Theo quy tắc nhân đa thức với đa thức, nhân $a$ với $(a+b)$ rồi cộng với $b$ nhân $(a+b)$ : $(a+b)(a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^2+ab+ab+b^2$ . Vì $ab$ và $ba$ là hai đơn thức đồng dạng ( $ab=ba$ theo tính chất giao hoán của phép nhân), ta cộng gộp $ab+ab=2ab$ . Suy ra $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ . (1) Thay $b$ bởi $-b$ vào (1): $(a-b)^2=a^2+2a(-b)+(-b)^2=a^2-2ab+b^2$ . Vậy hai công thức cần chứng minh là $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ và $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ .
Ta có $(a+b)^2=(a+b)(a+b)$. Theo quy tắc nhân đa thức với đa thức, nhân $a$ với $(a+b)$ rồi cộng với $b$ nhân $(a+b)$: $(a+b)(a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^2+ab+ab+b^2$. Vì $ab$ và $ba$ là hai đơn thức đồng dạng ($ab=ba$ theo tính chất giao hoán của phép nhân), ta cộng gộp $ab+ab=2ab$. Suy ra $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. (1) Thay $b$ bởi $-b$ vào (1): $(a-b)^2=a^2+2a(-b)+(-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Vậy hai công thức cần chứng minh là $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ và $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
5
Bình phương một tổng (hoặc hiệu) bằng bình phương số thứ nhất, cộng (hoặc trừ) hai lần tích hai số, cộng bình phương số thứ hai — không phải $a^2+b^2$ như nhiều bạn nhầm.
Bình phương một tổng (hoặc hiệu) bằng bình phương số thứ nhất, cộng (hoặc trừ) hai lần tích hai số, cộng bình phương số thứ hai — không phải $a^2+b^2$ như nhiều bạn nhầm.
6
Nếu thay $a, b$ bởi $2x$ và $3$ thì $(2x+3)^2=(2x)^2+2\cdot2x\cdot3+3^2=4x^2+12x+9$ — công thức không đổi, chỉ cần thay đúng cả biểu thức $2x$ vào vị trí của số thứ nhất.
Nếu thay $a, b$ bởi $2x$ và $3$ thì $(2x+3)^2=(2x)^2+2\cdot2x\cdot3+3^2=4x^2+12x+9$ — công thức không đổi, chỉ cần thay đúng cả biểu thức $2x$ vào vị trí của số thứ nhất.

Ví dụ

Ví dụ 2 — tính nhanh bằng công thức vừa chứng minh

1
Tính nhanh $52^2$ mà không nhân trực tiếp hai số có hai chữ số.
Tính nhanh $52^2$ mà không nhân trực tiếp hai số có hai chữ số.
2
Đây không còn là bài khai triển $(a+b)^2$ nữa mà là bài toán ngược: phải tự nhận ra $52$ viết được thành tổng của hai số dễ bình phương ( $50$ và $2$ ), để dùng công thức thay vì nhân tay $52\times52$ .
Đây không còn là bài khai triển $(a+b)^2$ nữa mà là bài toán ngược: phải tự nhận ra $52$ viết được thành tổng của hai số dễ bình phương ($50$ và $2$), để dùng công thức thay vì nhân tay $52\times52$.
3
Viết $52=50+2$ , áp dụng $(a+b)^2$ với $a=50, b=2$ .
Viết $52=50+2$, áp dụng $(a+b)^2$ với $a=50, b=2$.
4
Ta có $52=50+2$ . Theo hằng đẳng thức $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ đã chứng minh ở Ví dụ 1, với $a=50, b=2$ : $52^2=50^2+2\cdot50\cdot2+2^2=2500+200+4=2704$ . Vậy $52^2=2704$ .
Ta có $52=50+2$. Theo hằng đẳng thức $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ đã chứng minh ở Ví dụ 1, với $a=50, b=2$: $52^2=50^2+2\cdot50\cdot2+2^2=2500+200+4=2704$. Vậy $52^2=2704$.
5
Chọn $a$ là số tròn chục hoặc tròn trăm để $a^2$ và $2ab$ tính nhẩm được, $b$ là phần dư nhỏ.
Chọn $a$ là số tròn chục hoặc tròn trăm để $a^2$ và $2ab$ tính nhẩm được, $b$ là phần dư nhỏ.
6
Tính $98^2$ bằng công thức $(a-b)^2$ với $98=100-2$ : $98^2=100^2-2\cdot100\cdot2+2^2=10000-400+4=9604$ .
Tính $98^2$ bằng công thức $(a-b)^2$ với $98=100-2$: $98^2=100^2-2\cdot100\cdot2+2^2=10000-400+4=9604$.

Ví dụ

Ví dụ 3 — phát hiện một quy luật khi trừ hai bình phương

1
Rút gọn $M=(3x-2)^2-(3x+2)^2$ về dạng đơn giản nhất, không còn dấu ngoặc và không còn $x^2$ .
Rút gọn $M=(3x-2)^2-(3x+2)^2$ về dạng đơn giản nhất, không còn dấu ngoặc và không còn $x^2$.
2
Nếu khai triển máy móc, nhiều bạn chỉ dừng lại ở một biểu thức bậc hai còn cồng kềnh mà không nhận ra rằng khi trừ hai bình phương gần giống nhau, phần bậc hai và phần hằng số triệt tiêu hoàn toàn — chỉ còn lại phần bậc nhất.
3
Khai triển từng bình phương bằng công thức vừa học, rồi trừ hai đa thức và gộp các hạng tử đồng dạng, quan sát xem số hạng nào triệt tiêu.
4
Theo $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ với $a=3x, b=2$ : $(3x-2)^2=9x^2-12x+4$ . (1) Theo $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ với $a=3x, b=2$ : $(3x+2)^2=9x^2+12x+4$ . (2) Từ (1) và (2): $M=(9x^2-12x+4)-(9x^2+12x+4)=9x^2-12x+4-9x^2-12x-4=-24x$ . Vậy $M=-24x$ — hai hạng tử $9x^2$ và hai hạng tử $4$ triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn $-24x$ .
Theo $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ với $a=3x, b=2$: $(3x-2)^2=9x^2-12x+4$. (1) Theo $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ với $a=3x, b=2$: $(3x+2)^2=9x^2+12x+4$. (2) Từ (1) và (2): $M=(9x^2-12x+4)-(9x^2+12x+4)=9x^2-12x+4-9x^2-12x-4=-24x$. Vậy $M=-24x$ — hai hạng tử $9x^2$ và hai hạng tử $4$ triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn $-24x$.
5
Khi trừ $(A-B)^2-(A+B)^2$ với cùng $A, B$ , phần $A^2$ và $B^2$ luôn triệt tiêu, kết quả luôn bằng $-4AB$ (ở đây chính là $-4\cdot3x\cdot2=-24x$ ) — một quy luật đáng nhớ, không phải trùng hợp.
Khi trừ $(A-B)^2-(A+B)^2$ với cùng $A, B$, phần $A^2$ và $B^2$ luôn triệt tiêu, kết quả luôn bằng $-4AB$ (ở đây chính là $-4\cdot3x\cdot2=-24x$) — một quy luật đáng nhớ, không phải trùng hợp.
6
Nếu đổi đề thành $(3x+2)^2-(3x-2)^2$ (đổi thứ tự trừ) thì kết quả đổi dấu thành $24x$ , đúng theo quy luật $4AB$ vừa nêu, không phải $-4AB$ .
Nếu đổi đề thành $(3x+2)^2-(3x-2)^2$ (đổi thứ tự trừ) thì kết quả đổi dấu thành $24x$, đúng theo quy luật $4AB$ vừa nêu, không phải $-4AB$.

Sai lầm thường gặp

Quên hạng tử $2ab$ , chỉ viết $a^2+b^2$ . Nhầm dấu khi khai triển $(a-b)^2$ . Áp dụng công thức nhưng quên bình phương cả hệ số đứng trước biến, ví dụ chỉ bình phương $x$ mà quên bình phương $2$ trong $(2x+3)^2$ .

Quên hạng tử $2ab$, chỉ viết $a^2+b^2$. Nhầm dấu khi khai triển $(a-b)^2$. Áp dụng công thức nhưng quên bình phương cả hệ số đứng trước biến, ví dụ chỉ bình phương $x$ mà quên bình phương $2$ trong $(2x+3)^2$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Tóm lại: $(a+b)^2$ và $(a-b)^2$ không phải công thức từ trên trời rơi xuống, mà là kết quả tất yếu của phép nhân đa thức em đã thành thạo. Nhớ đúng ba số hạng — bình phương số đầu, hai lần tích, bình phương số sau — và biết chọn cách tách số hợp lý khi tính nhanh.

Bài tiếp theo dùng đúng cách suy luận này cho một phép nhân khác: $(a+b)(a-b)$ , để tìm ra hằng đẳng thức hiệu hai bình phương — công cụ tính nhẩm những phép nhân trông có vẻ khó.

Bài tiếp theo dùng đúng cách suy luận này cho một phép nhân khác: $(a+b)(a-b)$, để tìm ra hằng đẳng thức hiệu hai bình phương — công cụ tính nhẩm những phép nhân trông có vẻ khó.