Bài học

Chọn đúng cặp tam giác bằng nhau khi hai đoạn thẳng cắt nhau tại trung điểm chung

Mục tiêu bài học

Học xong bài này, em chọn đúng cặp tam giác cần chứng minh bằng nhau trong một hình có nhiều tam giác chồng lấp quanh một điểm chung — thay vì thử ngẫu nhiên từng cặp — và dùng nó để chứng minh cả hai cặp cạnh đối của một tứ giác bằng nhau, kèm một quan hệ song song đi kèm.

Kiến thức cần có trước

Em cần vững ba trường hợp bằng nhau của tam giác (c-c-c, c-g-c, g-c-g), tính chất hai góc đối đỉnh, và dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song bằng cặp góc so le trong — đều là nội dung đã học ở học kỳ II lớp 7.

Bài chuẩn so với bài HSG

Đề chuẩn thường cho sẵn một tam giác và một cặp cạnh cần so sánh, chỉ cần áp dụng đúng một trường hợp bằng nhau là xong. Bài hôm nay cho hai đoạn thẳng cắt nhau, sinh ra bốn tam giác nhỏ quanh giao điểm — và chỉ hai trong bốn tam giác đó thật sự chứa cặp cạnh cần chứng minh. Việc khó không phải là kiến thức mới, mà là lọc đúng cặp giữa nhiều lựa chọn.

Đề chuẩn thường cho sẵn một tam giác và một cặp cạnh cần so sánh, chỉ cần áp dụng đúng một trường hợp bằng nhau là xong. Bài hôm nay cho **hai đoạn thẳng cắt nhau**, sinh ra bốn tam giác nhỏ quanh giao điểm — và chỉ hai trong bốn tam giác đó thật sự chứa cặp cạnh cần chứng minh. Việc khó không phải là kiến thức mới, mà là *lọc đúng cặp* giữa nhiều lựa chọn.

Bài toán mở đầu. Cho hai đoạn thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$ , sao cho $O$ là trung điểm của cả $AC$ lẫn $BD$ (tức $OA = OC$ và $OB = OD$ ). Chứng minh $AB = CD$ và $AD = CB$ .

Quanh điểm $O$ có bốn tam giác nhỏ: $OAB$ , $OBC$ , $OCD$ , $ODA$ . Đề chỉ hỏi về $AB$ và $CD$ — vậy ta phải tìm đúng MỘT cặp trong bốn tam giác đó cùng chứa hai cạnh này.

**Bài toán mở đầu.** Cho hai đoạn thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$, sao cho $O$ là trung điểm của cả $AC$ lẫn $BD$ (tức $OA = OC$ và $OB = OD$). Chứng minh $AB = CD$ và $AD = CB$. Quanh điểm $O$ có bốn tam giác nhỏ: $OAB$, $OBC$, $OCD$, $ODA$. Đề chỉ hỏi về $AB$ và $CD$ — vậy ta phải tìm đúng MỘT cặp trong bốn tam giác đó cùng chứa hai cạnh này.

Ý tưởng mấu chốt

Nhìn vào cạnh cần chứng minh trước: $AB$ nằm trong tam giác $OAB$ , còn $CD$ nằm trong tam giác $OCD$ — hai tam giác này đối đỉnh nhau qua $O$ . Góc $AOB$ và góc $COD$ là hai góc đối đỉnh nên bằng nhau; cộng với $OA = OC$ , $OB = OD$ đã cho, ta có ngay $\triangle OAB = \triangle OCD$ theo trường hợp cạnh–góc–cạnh. Không cần đụng đến hai tam giác còn lại.

Nhìn vào cạnh cần chứng minh trước: $AB$ nằm trong tam giác $OAB$, còn $CD$ nằm trong tam giác $OCD$ — hai tam giác này đối đỉnh nhau qua $O$. Góc $AOB$ và góc $COD$ là hai góc đối đỉnh nên bằng nhau; cộng với $OA = OC$, $OB = OD$ đã cho, ta có ngay $\triangle OAB = \triangle OCD$ theo trường hợp cạnh–góc–cạnh. Không cần đụng đến hai tam giác còn lại.

Vì sao chọn đúng cặp lại quan trọng đến vậy? Vì $\triangle OBC$ và $\triangle ODA$ — hai tam giác còn lại quanh $O$ — không hề chứa cạnh $AB$ hay $CD$ ; dùng chúng sẽ chứng minh ra một cặp cạnh hoàn toàn khác ( $BC$ và $DA$ ). Một học sinh giỏi luôn viết ra cạnh cần chứng minh trước, rồi mới đi tìm tam giác chứa đúng cạnh đó — chứ không đoán đại một cặp tam giác "trông có vẻ bằng nhau".

Vì sao chọn đúng cặp lại quan trọng đến vậy? Vì $\triangle OBC$ và $\triangle ODA$ — hai tam giác còn lại quanh $O$ — không hề chứa cạnh $AB$ hay $CD$; dùng chúng sẽ chứng minh ra một cặp cạnh hoàn toàn khác ($BC$ và $DA$). Một học sinh giỏi luôn viết ra cạnh cần chứng minh trước, rồi mới đi tìm tam giác chứa đúng cạnh đó — chứ không đoán đại một cặp tam giác "trông có vẻ bằng nhau".

Lời giải có hình

Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm chung O

Bước 1

Cho hai đoạn thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$ , với $OA = OC$ và $OB = OD$ .Cho hai đoạn thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$, với $OA = OC$ và $OB = OD$.

Toạ độ thật dùng để kiểm chứng số học

AB = CD

OA=OC=5

OB=OD\approx5{,}39

, và đo trực tiếp

AB=CD\approx5{,}10

.Toạ độ thật dùng để kiểm chứng số học $AB = CD$: $OA=OC=5$, $OB=OD\approx5{,}39$, và đo trực tiếp $AB=CD\approx5{,}10$.

Ví dụ

Ví dụ 1 — Chứng minh AB = CD

1
Với hình trên, chứng minh $AB = CD$ .
Với hình trên, chứng minh $AB = CD$.
2
Cạnh $AB$ nằm trong $\triangle OAB$ , cạnh $CD$ nằm trong $\triangle OCD$ — đây là cặp cần dùng, không phải $\triangle OBC$ hay $\triangle ODA$ .
Cạnh $AB$ nằm trong $\triangle OAB$, cạnh $CD$ nằm trong $\triangle OCD$ — đây là cặp cần dùng, không phải $\triangle OBC$ hay $\triangle ODA$.
3
$OA = OC$ (giả thiết), $\widehat{AOB} = \widehat{COD}$ (đối đỉnh), $OB = OD$ (giả thiết) $\Rightarrow$ $\triangle OAB = \triangle OCD$ .
$OA = OC$ (giả thiết), $\widehat{AOB} = \widehat{COD}$ (đối đỉnh), $OB = OD$ (giả thiết) $\Rightarrow$ $\triangle OAB = \triangle OCD$.
4
Từ $\triangle OAB = \triangle OCD$ suy ra hai cạnh tương ứng $AB = CD$ .
Từ $\triangle OAB = \triangle OCD$ suy ra hai cạnh tương ứng $AB = CD$.
5
Ta có $O$ là trung điểm $AC$ và $BD$ nên $OA=OC$ , $OB=OD$ . (1)

Xét $\triangle OAB$ và $\triangle OCD$ : $OA=OC$ [theo (1)], $\widehat{AOB}=\widehat{COD}$ (hai góc đối đỉnh do $AC$ , $BD$ cắt nhau tại $O$ ), $OB=OD$ [theo (1)]. Do đó $\triangle OAB=\triangle OCD$ (c-g-c). (2)

Từ (2) suy ra $AB=CD$ (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau).

Vậy $AB=CD$ .
Ta có $O$ là trung điểm $AC$ và $BD$ nên $OA=OC$, $OB=OD$. (1) Xét $\triangle OAB$ và $\triangle OCD$: $OA=OC$ [theo (1)], $\widehat{AOB}=\widehat{COD}$ (hai góc đối đỉnh do $AC$, $BD$ cắt nhau tại $O$), $OB=OD$ [theo (1)]. Do đó $\triangle OAB=\triangle OCD$ (c-g-c). (2) Từ (2) suy ra $AB=CD$ (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau). Vậy $AB=CD$.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Chứng minh AD = CB, từ đó AB ∥ CD

1
Lặp lại đúng lý luận trên với cặp cạnh $AD$ , $CB$ : $AD$ nằm trong $\triangle OAD$ , $CB$ nằm trong $\triangle OCB$ .
Lặp lại đúng lý luận trên với cặp cạnh $AD$, $CB$: $AD$ nằm trong $\triangle OAD$, $CB$ nằm trong $\triangle OCB$.
2
$OA=OC$ , $\widehat{AOD}=\widehat{COB}$ (đối đỉnh), $OD=OB$ $\Rightarrow$ $\triangle OAD = \triangle OCB \Rightarrow AD = CB$ .
$OA=OC$, $\widehat{AOD}=\widehat{COB}$ (đối đỉnh), $OD=OB$ $\Rightarrow$ $\triangle OAD = \triangle OCB \Rightarrow AD = CB$.
3
Từ $\triangle OAB=\triangle OCD$ (Ví dụ 1) còn suy ra $\widehat{OAB}=\widehat{OCD}$ , tức $\widehat{CAB}=\widehat{ACD}$ .
Từ $\triangle OAB=\triangle OCD$ (Ví dụ 1) còn suy ra $\widehat{OAB}=\widehat{OCD}$, tức $\widehat{CAB}=\widehat{ACD}$.
4
$\widehat{CAB}$ và $\widehat{ACD}$ là hai góc so le trong tạo bởi cát tuyến $AC$ với hai đường thẳng $AB$ , $CD$ . Hai góc so le trong bằng nhau $\Rightarrow AB \parallel CD$ .
$\widehat{CAB}$ và $\widehat{ACD}$ là hai góc so le trong tạo bởi cát tuyến $AC$ với hai đường thẳng $AB$, $CD$. Hai góc so le trong bằng nhau $\Rightarrow AB \parallel CD$.
5
Xét $\triangle OAD$ và $\triangle OCB$ : $OA=OC$ , $\widehat{AOD}=\widehat{COB}$ (đối đỉnh), $OD=OB$ . Do đó $\triangle OAD=\triangle OCB$ (c-g-c), suy ra $AD=CB$ . (1)

Mặt khác, từ $\triangle OAB=\triangle OCD$ đã chứng minh, ta có $\widehat{OAB}=\widehat{OCD}$ , tức $\widehat{CAB}=\widehat{ACD}$ . (2)

Hai góc ở (2) là hai góc so le trong của cát tuyến $AC$ đối với hai đường thẳng $AB$ và $CD$ ; theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, $AB \parallel CD$ .

Vậy $AD=CB$ và $AB \parallel CD$ .
Xét $\triangle OAD$ và $\triangle OCB$: $OA=OC$, $\widehat{AOD}=\widehat{COB}$ (đối đỉnh), $OD=OB$. Do đó $\triangle OAD=\triangle OCB$ (c-g-c), suy ra $AD=CB$. (1) Mặt khác, từ $\triangle OAB=\triangle OCD$ đã chứng minh, ta có $\widehat{OAB}=\widehat{OCD}$, tức $\widehat{CAB}=\widehat{ACD}$. (2) Hai góc ở (2) là hai góc so le trong của cát tuyến $AC$ đối với hai đường thẳng $AB$ và $CD$; theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, $AB \parallel CD$. Vậy $AD=CB$ và $AB \parallel CD$.

Ví dụ

Ví dụ 3 — Áp dụng: tính độ dài khi biết ba trong bốn cạnh

1
Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ , $BD$ cắt nhau tại $O$ là trung điểm chung của cả hai đường chéo. Biết $AB = 7{,}2\text{ cm}$ , $AD = 5{,}5\text{ cm}$ . Tính $CD$ và $CB$ .
Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo $AC$, $BD$ cắt nhau tại $O$ là trung điểm chung của cả hai đường chéo. Biết $AB = 7{,}2\text{ cm}$, $AD = 5{,}5\text{ cm}$. Tính $CD$ và $CB$.
2
Theo Ví dụ 1 và Ví dụ 2, $O$ là trung điểm chung nên $CD = AB$ và $CB = AD$ — không cần vẽ lại từ đầu mỗi lần gặp dạng này.
Theo Ví dụ 1 và Ví dụ 2, $O$ là trung điểm chung nên $CD = AB$ và $CB = AD$ — không cần vẽ lại từ đầu mỗi lần gặp dạng này.
3
$CD = 7{,}2\text{ cm}$ , $CB = 5{,}5\text{ cm}$ .
$CD = 7{,}2\text{ cm}$, $CB = 5{,}5\text{ cm}$.
4
Một khi đã chứng minh xong "khuôn" $\triangle OAB=\triangle OCD$ và $\triangle OAD=\triangle OCB$ , mọi bài toán cùng dạng chỉ còn là thay số — đây là lý do nắm chắc PHÉP CHỌN cặp tam giác quan trọng hơn nhớ đáp số.
Một khi đã chứng minh xong "khuôn" $\triangle OAB=\triangle OCD$ và $\triangle OAD=\triangle OCB$, mọi bài toán cùng dạng chỉ còn là thay số — đây là lý do nắm chắc PHÉP CHỌN cặp tam giác quan trọng hơn nhớ đáp số.

Ví dụ

Ví dụ 4 — Biến thể: chỉ biết một cặp trung điểm, còn thiếu gì?

1
Nếu đề chỉ cho $OA = OC$ (không cho $OB=OD$ ), ta có còn suy ra $AB=CD$ được không?
Nếu đề chỉ cho $OA = OC$ (không cho $OB=OD$), ta có còn suy ra $AB=CD$ được không?
2
Trường hợp c-g-c cần đủ hai cạnh và góc xen giữa. Thiếu $OB=OD$ , tam giác $OAB$ và $OCD$ chỉ còn chung $OA=OC$ và góc đối đỉnh — không đủ ba yếu tố, nên KHÔNG thể kết luận $\triangle OAB=\triangle OCD$ .
Trường hợp c-g-c cần đủ hai cạnh và góc xen giữa. Thiếu $OB=OD$, tam giác $OAB$ và $OCD$ chỉ còn chung $OA=OC$ và góc đối đỉnh — không đủ ba yếu tố, nên KHÔNG thể kết luận $\triangle OAB=\triangle OCD$.
3
Có thể dựng $B$ và $D$ ở hai khoảng cách khác nhau tới $O$ (chỉ cần $B$ , $O$ , $D$ không nhất thiết thẳng hàng cân xứng) sao cho $AB \ne CD$ dù $OA=OC$ — chứng tỏ giả thiết $OB=OD$ là bắt buộc, không thừa.
Có thể dựng $B$ và $D$ ở hai khoảng cách khác nhau tới $O$ (chỉ cần $B$, $O$, $D$ không nhất thiết thẳng hàng cân xứng) sao cho $AB \ne CD$ dù $OA=OC$ — chứng tỏ giả thiết $OB=OD$ là bắt buộc, không thừa.
4
Đây là bẫy thường gặp: học sinh nhớ "có một cặp trung điểm là đủ" — sai. Phải kiểm đủ CẢ HAI cặp cạnh trước khi khẳng định c-g-c.

Sai lầm phổ biến

Bẫy thường gặp: (1) Ghép nhầm tam giác $OBC$ với $ODA$ khi đề hỏi về $AB$ , $CD$ — luôn viết cạnh cần chứng minh ra giấy trước, rồi mới tìm tam giác chứa nó; (2) quên kiểm tra ĐỦ ba yếu tố c-g-c (hai cạnh và đúng góc xen giữa) — chỉ có một cặp cạnh bằng nhau không đủ kết luận hai tam giác bằng nhau.

**Bẫy thường gặp:** (1) Ghép nhầm tam giác $OBC$ với $ODA$ khi đề hỏi về $AB$, $CD$ — luôn viết cạnh cần chứng minh ra giấy trước, rồi mới tìm tam giác chứa nó; (2) quên kiểm tra ĐỦ ba yếu tố c-g-c (hai cạnh và đúng góc xen giữa) — chỉ có một cặp cạnh bằng nhau không đủ kết luận hai tam giác bằng nhau.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Tổng kết

Khi một hình có nhiều tam giác chung đỉnh hay chung giao điểm, đừng ghép cặp theo cảm tính. Viết cạnh (hoặc góc) cần chứng minh ra trước, rồi hỏi: nó nằm trong những tam giác nào — và trong số đó, cặp nào thật sự đủ ba yếu tố c-c-c / c-g-c / g-c-g?

Bài tiếp theo giữ nguyên kỹ năng chọn cặp tam giác, nhưng đổi cách sinh ra điểm phụ: thay vì hai đoạn thẳng cho sẵn cắt nhau, ta sẽ TỰ TẠO một điểm mới bằng phép đối xứng qua một đỉnh — bước chuyển tiếp tự nhiên sang chương kỹ thuật vẽ đường phụ.