Bài học

Từ tìm một số hạng đến đặt k chung

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải được bài toán dãy tỉ số ba (hoặc nhiều) thành phần bằng cách đặt k chung, và hiểu vì sao kỹ thuật này còn giải quyết được cả những tổ hợp tuyến tính phức tạp mà công thức tổng/hiệu quen thuộc không xử lý trực tiếp được. Đây là công cụ nền cho toàn bộ khóa học.

Kiến thức cần có

Em đã học ở lớp 7: tỉ lệ thức $a/b = c/d$ , cách tìm một số hạng chưa biết, và tính chất dãy tỉ số bằng nhau $a/b = c/d = (a+c)/(b+d) = (a-c)/(b-d)$ (với $b \ne \pm d$ ). Bài này dùng lại đúng những kiến thức đó, chỉ tổng quát hóa cách áp dụng.

Em đã học ở lớp 7: tỉ lệ thức $a/b = c/d$, cách tìm một số hạng chưa biết, và tính chất dãy tỉ số bằng nhau $a/b = c/d = (a+c)/(b+d) = (a-c)/(b-d)$ (với $b \ne \pm d$). Bài này dùng lại đúng những kiến thức đó, chỉ tổng quát hóa cách áp dụng.

Đề chuẩn lớp 7 thường hỏi: cho $a/2 = b/3$ , biết $a + b = 15$ , tìm $a, b$ . Em giải bằng cách đặt $a/2 = b/3 = k$ , suy ra $a = 2k$ , $b = 3k$ , thay vào $a+b=15$ được $5k = 15$ , $k = 3$ , nên $a = 6$ , $b = 9$ . Cách làm này gọi là đặt k chung: biểu diễn mọi ẩn qua một tham số $k$ rồi đưa điều kiện của đề về một phương trình bậc nhất theo $k$ .

Đề chuẩn lớp 7 thường hỏi: cho $a/2 = b/3$, biết $a + b = 15$, tìm $a, b$. Em giải bằng cách đặt $a/2 = b/3 = k$, suy ra $a = 2k$, $b = 3k$, thay vào $a+b=15$ được $5k = 15$, $k = 3$, nên $a = 6$, $b = 9$. Cách làm này gọi là đặt k chung: biểu diễn mọi ẩn qua một tham số $k$ rồi đưa điều kiện của đề về một phương trình bậc nhất theo $k$.

Bài toán khởi động

Cho $a/2 = b/3 = c/5$ . Nếu chỉ biết $a+b+c$ , em vẫn giải được bằng cách đặt $k$ chung như trên. Nhưng nếu đề cho $2a - b + c = 24$ thì sao? Không có công thức lớp 7 nào cộng $a$ , $b$ , $c$ với hệ số khác nhau như vậy. Đặt $k$ chung vẫn giải được, không cần công thức mới.

Cho $a/2 = b/3 = c/5$. Nếu chỉ biết $a+b+c$, em vẫn giải được bằng cách đặt $k$ chung như trên. Nhưng nếu đề cho $2a - b + c = 24$ thì sao? Không có công thức lớp 7 nào cộng $a$, $b$, $c$ với hệ số khác nhau như vậy. Đặt $k$ chung vẫn giải được, không cần công thức mới.

Ý tưởng cốt lõi

Với $a/2 = b/3 = c/5 = k$ , ta có $a = 2k$ , $b = 3k$ , $c = 5k$ . Xét một tổ hợp tuyến tính bất kỳ với hệ số $p, q, r$ tùy chọn: $pa + qb + rc = p(2k) + q(3k) + r(5k) = (2p + 3q + 5r)k$ . Nói cách khác, mọi tổ hợp tuyến tính của $a, b, c$ đều bằng $k$ nhân với đúng tổ hợp tuyến tính đó áp trên các mẫu số $2, 3, 5$ . Đây là bổ đề tổng quát đứng sau toàn bộ kỹ thuật đặt k chung. SGK lớp 7 chỉ dạy hai trường hợp riêng của bổ đề này — tổng và hiệu với hệ số $1$ — còn dạng tổng quát với hệ số tùy ý là Mở rộng dành cho HSG: ta đưa vào vì nó xử lý được mọi bài toán ràng buộc tuyến tính, không chỉ hai dạng quen thuộc.

Với $a/2 = b/3 = c/5 = k$, ta có $a = 2k$, $b = 3k$, $c = 5k$. Xét một tổ hợp tuyến tính bất kỳ với hệ số $p, q, r$ tùy chọn: $pa + qb + rc = p(2k) + q(3k) + r(5k) = (2p + 3q + 5r)k$. Nói cách khác, mọi tổ hợp tuyến tính của $a, b, c$ đều bằng $k$ nhân với đúng tổ hợp tuyến tính đó áp trên các mẫu số $2, 3, 5$. Đây là bổ đề tổng quát đứng sau toàn bộ kỹ thuật đặt k chung. SGK lớp 7 chỉ dạy hai trường hợp riêng của bổ đề này — tổng và hiệu với hệ số $1$ — còn dạng tổng quát với hệ số tùy ý là **Mở rộng dành cho HSG**: ta đưa vào vì nó xử lý được mọi bài toán ràng buộc tuyến tính, không chỉ hai dạng quen thuộc.

Vì sao nghĩ ra được ý này? Một học sinh giỏi khi thấy đề cho một biểu thức lạ như $2a - b + c$ sẽ tự hỏi: biểu thức này có tuyến tính theo $a, b, c$ không. Nếu có, việc thay $a = 2k, b = 3k, c = 5k$ luôn đưa nó về dạng một số nhân $k$ , chỉ còn một ẩn duy nhất. Không cần nhớ công thức riêng cho từng kiểu tổ hợp, chỉ cần thay và rút gọn.

Vì sao nghĩ ra được ý này? Một học sinh giỏi khi thấy đề cho một biểu thức lạ như $2a - b + c$ sẽ tự hỏi: biểu thức này có tuyến tính theo $a, b, c$ không. Nếu có, việc thay $a = 2k, b = 3k, c = 5k$ luôn đưa nó về dạng một số nhân $k$, chỉ còn một ẩn duy nhất. Không cần nhớ công thức riêng cho từng kiểu tổ hợp, chỉ cần thay và rút gọn.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ

Ví dụ 1 — Dãy ba thành phần với ràng buộc tổng

1
Cho $a/2 = b/3 = c/5$ và $a + b + c = 20$ . Tìm $a, b, c$ .
Cho $a/2 = b/3 = c/5$ và $a + b + c = 20$. Tìm $a, b, c$.
2
Đặt $a/2 = b/3 = c/5 = k$ , suy ra $a = 2k$ , $b = 3k$ , $c = 5k$ .
Đặt $a/2 = b/3 = c/5 = k$, suy ra $a = 2k$, $b = 3k$, $c = 5k$.
3
$a + b + c = 2k + 3k + 5k = 10k = 20$ , suy ra $k = 2$ .
$a + b + c = 2k + 3k + 5k = 10k = 20$, suy ra $k = 2$.
4
$a = 2 \times 2 = 4$ , $b = 3 \times 2 = 6$ , $c = 5 \times 2 = 10$ .
$a = 2 \times 2 = 4$, $b = 3 \times 2 = 6$, $c = 5 \times 2 = 10$.
5
$a/2 = 2$ , $b/3 = 2$ , $c/5 = 2$ — cả ba bằng nhau, và $4+6+10=20$ đúng như đề.
$a/2 = 2$, $b/3 = 2$, $c/5 = 2$ — cả ba bằng nhau, và $4+6+10=20$ đúng như đề.
6
Đặt $a/2=b/3=c/5=k$ ( $k \ne 0$ vì $a,b,c$ khác $0$ ), suy ra $a=2k,b=3k,c=5k$ . Ta có $a+b+c=2k+3k+5k=10k$ . Theo giả thiết $a+b+c=20$ , do đó $10k=20$ , suy ra $k=2$ . Vậy $a=4,b=6,c=10$ (TMĐK $a/2=b/3=c/5=2$ ).
Đặt $a/2=b/3=c/5=k$ ($k \ne 0$ vì $a,b,c$ khác $0$), suy ra $a=2k,b=3k,c=5k$. Ta có $a+b+c=2k+3k+5k=10k$. Theo giả thiết $a+b+c=20$, do đó $10k=20$, suy ra $k=2$. Vậy $a=4,b=6,c=10$ (TMĐK $a/2=b/3=c/5=2$).
7
Nếu đổi ràng buộc thành $a+b+c=35$ (giữ nguyên dãy tỉ số): $10k=35$ , $k=3{,}5$ , không còn là số nguyên. Điều này cho thấy không phải ràng buộc tổng nào cũng cho nghiệm nguyên; điều kiện của đề bài quyết định việc đó.
Nếu đổi ràng buộc thành $a+b+c=35$ (giữ nguyên dãy tỉ số): $10k=35$, $k=3{,}5$, không còn là số nguyên. Điều này cho thấy không phải ràng buộc tổng nào cũng cho nghiệm nguyên; điều kiện của đề bài quyết định việc đó.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Tổ hợp tuyến tính với hệ số khác 1

1
Cho $a/2 = b/3 = c/5$ và $2a - b + c = 24$ . Tìm $a, b, c$ .
Cho $a/2 = b/3 = c/5$ và $2a - b + c = 24$. Tìm $a, b, c$.
2
$a=2k, b=3k, c=5k$ .
$a=2k, b=3k, c=5k$.
3
$2a-b+c = 2(2k)-3k+5k = 4k-3k+5k = 6k$ . Theo đề, $6k=24$ , suy ra $k=4$ .
$2a-b+c = 2(2k)-3k+5k = 4k-3k+5k = 6k$. Theo đề, $6k=24$, suy ra $k=4$.
4
$a=8, b=12, c=20$ .
$a=8, b=12, c=20$.
5
$2(8)-12+20 = 16-12+20 = 24$ — đúng.
$2(8)-12+20 = 16-12+20 = 24$ — đúng.
6
Đặt $a/2=b/3=c/5=k$ , suy ra $a=2k,b=3k,c=5k$ (1). Xét biểu thức $2a-b+c$ : thay (1) vào, $2a-b+c=2(2k)-3k+5k=6k$ (2). Theo giả thiết $2a-b+c=24$ , kết hợp (2): $6k=24$ , suy ra $k=4$ . Vậy $a=8,b=12,c=20$ .
Đặt $a/2=b/3=c/5=k$, suy ra $a=2k,b=3k,c=5k$ (1). Xét biểu thức $2a-b+c$: thay (1) vào, $2a-b+c=2(2k)-3k+5k=6k$ (2). Theo giả thiết $2a-b+c=24$, kết hợp (2): $6k=24$, suy ra $k=4$. Vậy $a=8,b=12,c=20$.
7
Đổi hệ số vế trái thành $a - 2b + c$ (giữ nguyên dãy tỉ số và vế phải $24$ ): $a-2b+c=2k-6k+5k=k$ , nên $k=24$ , cho $a=48,b=72,c=120$ — cùng phương pháp, chỉ khác hệ số nên kết quả khác hẳn.
Đổi hệ số vế trái thành $a - 2b + c$ (giữ nguyên dãy tỉ số và vế phải $24$): $a-2b+c=2k-6k+5k=k$, nên $k=24$, cho $a=48,b=72,c=120$ — cùng phương pháp, chỉ khác hệ số nên kết quả khác hẳn.

Sáu bước này là quy trình chuẩn cho mọi bài toán dãy tỉ số bằng nhau trong khóa học, bất kể ràng buộc là tổng, hiệu, hay phức tạp hơn.

Ba cột giữ đúng tỉ lệ

2:3:5

dù giá trị cụ thể phụ thuộc vào

k

— đây là điều dãy tỉ số bằng nhau luôn đảm bảo, bất kể ràng buộc là gì.Ba cột giữ đúng tỉ lệ $2:3:5$ dù giá trị cụ thể phụ thuộc vào $k$ — đây là điều dãy tỉ số bằng nhau luôn đảm bảo, bất kể ràng buộc là gì.

Bẫy thường gặp

(1) Quên đặt điều kiện $k \ne 0$ khi đề yêu cầu $a, b, c$ khác $0$ . (2) Thay sai dấu khi tổ hợp có hệ số âm, ví dụ nhầm $2a-b+c$ thành $2a+b+c$ . (3) Đặt $k$ chung rồi quên suy ngược lại $a, b, c$ cụ thể, chỉ dừng ở việc tìm $k$ trong khi đề hỏi giá trị các ẩn.

(1) Quên đặt điều kiện $k \ne 0$ khi đề yêu cầu $a, b, c$ khác $0$. (2) Thay sai dấu khi tổ hợp có hệ số âm, ví dụ nhầm $2a-b+c$ thành $2a+b+c$. (3) Đặt $k$ chung rồi quên suy ngược lại $a, b, c$ cụ thể, chỉ dừng ở việc tìm $k$ trong khi đề hỏi giá trị các ẩn.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Điều cần nhớ

Đặt $a/b = c/d = \ldots = k$ biến mọi bài toán dãy tỉ số thành một phương trình bậc nhất theo $k$ , kể cả khi ràng buộc là một tổ hợp tuyến tính với hệ số bất kỳ, không chỉ tổng hay hiệu đơn giản. Luôn nhớ bước cuối: suy ngược $k$ về các ẩn ban đầu.

Đặt $a/b = c/d = \ldots = k$ biến mọi bài toán dãy tỉ số thành một phương trình bậc nhất theo $k$, kể cả khi ràng buộc là một tổ hợp tuyến tính với hệ số bất kỳ, không chỉ tổng hay hiệu đơn giản. Luôn nhớ bước cuối: suy ngược $k$ về các ẩn ban đầu.

Bài tiếp theo: ta sẽ áp dụng đúng phương pháp này vào các bài toán chia tỉ lệ trong đời sống, khi ràng buộc không phải là một con số tổng đơn giản mà là hiệu giữa hai phần, hoặc kết hợp giữa nhiều phần của dãy.