Bài học

Bài chuẩn và bài HSG: hai lời giải, một chủ đề

Mục tiêu

Sau bài học này, em so sánh được một bài toán chuẩn lớp 7 với phiên bản HSG cùng chủ đề, và nói đúng một câu: chỗ nào làm bài toán khó lên. Đó là kỹ năng đầu tiên của cả khóa — trước khi giải, phải nhận ra mình đang đứng ở đâu.

Kiến thức nền cần có

Em cần nắm vững giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ (tính $|x|$ khi biết $x$ ) và ba trường hợp bằng nhau của tam giác (c-c-c, c-g-c, g-c-g) ở mức chuẩn lớp 7. Bài học không dạy lại các kiến thức đó — nó dùng chúng làm mốc để đo độ khó.

Em cần nắm vững giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ (tính $|x|$ khi biết $x$) và ba trường hợp bằng nhau của tam giác (c-c-c, c-g-c, g-c-g) ở mức chuẩn lớp 7. Bài học không dạy lại các kiến thức đó — nó dùng chúng làm mốc để đo độ khó.

Khởi động

Hai bạn cùng lớp 7 được giao hai đề khác nhau, cùng nói về giá trị tuyệt đối. Bạn thứ nhất làm xong trong một dòng. Bạn thứ hai loay hoay cả buổi. Đề bài chỉ khác nhau ở cách hỏi, số liệu thì na ná nhau. Vì sao lại chênh lệch đến vậy? Câu trả lời nằm ở chỗ: bài HSG không hỏi "tính một giá trị", nó hỏi "tìm giới hạn" — và giới hạn thì không có công thức thay số trực tiếp.

Hai bạn cùng lớp 7 được giao hai đề khác nhau, cùng nói về giá trị tuyệt đối. Bạn thứ nhất làm xong trong một dòng. Bạn thứ hai loay hoay cả buổi. Đề bài chỉ khác nhau ở cách hỏi, số liệu thì na ná nhau. Vì sao lại chênh lệch đến vậy? Câu trả lời nằm ở chỗ: bài HSG không hỏi \"tính một giá trị\", nó hỏi \"tìm giới hạn\" — và giới hạn thì không có công thức thay số trực tiếp.

Bài chuẩn và bài HSG khác nhau ở đâu

Một bài chuẩn cho sẵn mọi thứ cần để thay số: biết $x$ , tính $|x|$ . Một phép thế, một đáp số. Bài HSG giữ nguyên khái niệm giá trị tuyệt đối nhưng đổi câu hỏi thành tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của một biểu thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối, với $x$ chạy trên toàn bộ tập số hữu tỉ. Không còn một con số cụ thể để thế vào — em phải suy luận trên cả một khoảng giá trị. Điều này đúng y hệt ở phần hình học: bài chuẩn cho sẵn hai tam giác cần so sánh, chỉ ra đúng cạnh, đúng góc, khớp đúng trường hợp là xong. Bài HSG không cho sẵn tam giác thứ hai — em phải tự dựng nó bằng một đường phụ, rồi mới có gì để áp dụng trường hợp bằng nhau. Cả hai ví dụ đều theo một quy luật chung: độ khó HSG không nằm ở số liệu to hơn, mà nằm ở việc bài toán không tự cho sẵn cấu trúc để áp dụng công thức ngay — em phải tự dựng ra cấu trúc đó trước.

Một bài chuẩn cho sẵn mọi thứ cần để thay số: biết $x$, tính $|x|$. Một phép thế, một đáp số. Bài HSG giữ nguyên khái niệm giá trị tuyệt đối nhưng đổi câu hỏi thành tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của một biểu thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối, với $x$ chạy trên toàn bộ tập số hữu tỉ. Không còn một con số cụ thể để thế vào — em phải suy luận trên cả một khoảng giá trị. Điều này đúng y hệt ở phần hình học: bài chuẩn cho sẵn hai tam giác cần so sánh, chỉ ra đúng cạnh, đúng góc, khớp đúng trường hợp là xong. Bài HSG không cho sẵn tam giác thứ hai — em phải tự dựng nó bằng một đường phụ, rồi mới có gì để áp dụng trường hợp bằng nhau. Cả hai ví dụ đều theo một quy luật chung: độ khó HSG không nằm ở số liệu to hơn, mà nằm ở việc bài toán không tự cho sẵn cấu trúc để áp dụng công thức ngay — em phải tự dựng ra cấu trúc đó trước.

Mọi

x

trong đoạn

[-2;1]

đều cho

|x-1|+|x+2|=3

— đây là vùng đạt giá trị nhỏ nhất, không phải một điểm duy nhất.Mọi $x$ trong đoạn $[-2;1]$ đều cho $|x-1|+|x+2|=3$ — đây là vùng đạt giá trị nhỏ nhất, không phải một điểm duy nhất.

Ví dụ

Từ tính |x| đến tìm GTNN của một tổng giá trị tuyệt đối

1
Bài chuẩn: tính $|x|$ biết $x=-\dfrac{3}{5}$ — chỉ một phép đổi dấu, không cần suy luận. Bài dưới đây trông giống hệt về hình thức (vẫn là dấu giá trị tuyệt đối, vẫn là số hữu tỉ) nhưng không cho giá trị cụ thể của $x$ , mà hỏi giá trị nhỏ nhất của cả biểu thức khi $x$ thay đổi tự do — không có phép thế số nào giải quyết được câu hỏi này.
Bài chuẩn: tính $|x|$ biết $x=-\dfrac{3}{5}$ — chỉ một phép đổi dấu, không cần suy luận. Bài dưới đây trông giống hệt về hình thức (vẫn là dấu giá trị tuyệt đối, vẫn là số hữu tỉ) nhưng không cho giá trị cụ thể của $x$, mà hỏi giá trị nhỏ nhất của cả biểu thức khi $x$ thay đổi tự do — không có phép thế số nào giải quyết được câu hỏi này.
2
Dùng bất đẳng thức $|a|+|b|\ge|a+b|$ , với dấu bằng xảy ra khi $a,b$ cùng dấu (hoặc một số bằng $0$ ). Nếu chọn $a=1-x$ và $b=x+2$ thì $a+b=3$ là một hằng số, không phụ thuộc $x$ — nên $|1-x|+|x+2|\ge3$ luôn đúng, bất kể $x$ là bao nhiêu.
Dùng bất đẳng thức $|a|+|b|\ge|a+b|$, với dấu bằng xảy ra khi $a,b$ cùng dấu (hoặc một số bằng $0$). Nếu chọn $a=1-x$ và $b=x+2$ thì $a+b=3$ là một hằng số, không phụ thuộc $x$ — nên $|1-x|+|x+2|\ge3$ luôn đúng, bất kể $x$ là bao nhiêu.
3
Một học sinh quen với giá trị tuyệt đối sẽ để ý: $|x-1|=|1-x|$ , và nếu cộng hai biểu thức bên trong hai dấu giá trị tuyệt đối lại ( $(1-x)+(x+2)$ ), $x$ triệt tiêu, chỉ còn số $3$ . Đó chính là tín hiệu cho biết bất đẳng thức $|a|+|b|\ge|a+b|$ dùng được — tổng $a+b$ không đổi là điều kiện để kỹ thuật này có tác dụng.
Một học sinh quen với giá trị tuyệt đối sẽ để ý: $|x-1|=|1-x|$, và nếu cộng hai biểu thức bên trong hai dấu giá trị tuyệt đối lại ($ (1-x)+(x+2) $), $x$ triệt tiêu, chỉ còn số $3$. Đó chính là tín hiệu cho biết bất đẳng thức $|a|+|b|\ge|a+b|$ dùng được — tổng $a+b$ không đổi là điều kiện để kỹ thuật này có tác dụng.
4
Đặt $A=|x-1|+|x+2|$ với $x\in\mathbb{Q}$ . Ta có $A=|1-x|+|x+2|$ . Áp dụng bất đẳng thức $|a|+|b|\ge|a+b|$ với $a=1-x,\ b=x+2$ : $A\ge|(1-x)+(x+2)|=|3|=3$ . Dấu bằng xảy ra khi $a,b$ cùng dấu, tức $(1-x)(x+2)\ge0$ , giải ra $-2\le x\le1$ . Vậy $A_{\min}=3$ , đạt được với mọi $x$ thỏa $-2\le x\le1$ .
Đặt $A=|x-1|+|x+2|$ với $x\in\mathbb{Q}$. Ta có $A=|1-x|+|x+2|$. Áp dụng bất đẳng thức $|a|+|b|\ge|a+b|$ với $a=1-x,\ b=x+2$: $A\ge|(1-x)+(x+2)|=|3|=3$. Dấu bằng xảy ra khi $a,b$ cùng dấu, tức $(1-x)(x+2)\ge0$, giải ra $-2\le x\le1$. Vậy $A_{\min}=3$, đạt được với mọi $x$ thỏa $-2\le x\le1$.
5
Khi biểu thức là tổng của hai giá trị tuyệt đối mà phần bên trong cộng lại triệt tiêu biến, luôn thử $|a|+|b|\ge|a+b|$ trước — nó biến một bài toán "tìm min trên vô hạn giá trị" thành một phép cộng số học đơn giản.
Khi biểu thức là tổng của hai giá trị tuyệt đối mà phần bên trong cộng lại triệt tiêu biến, luôn thử $|a|+|b|\ge|a+b|$ trước — nó biến một bài toán \"tìm min trên vô hạn giá trị\" thành một phép cộng số học đơn giản.
6
Đổi đề thành tìm GTNN của $|x+2|+|x-5|$ : cách làm y hệt, chọn $a=x+2,\ b=5-x$ , $a+b=7$ , nên GTNN $=7$ , đạt khi $-2\le x\le5$ .
Đổi đề thành tìm GTNN của $|x+2|+|x-5|$: cách làm y hệt, chọn $a=x+2,\ b=5-x$, $a+b=7$, nên GTNN $=7$, đạt khi $-2\le x\le5$.

Ví dụ

Từ chứng minh trực tiếp đến dựng đường phụ để chứng minh thẳng hàng

1
Bài chuẩn: cho sẵn hai tam giác có đủ ba yếu tố bằng nhau theo đúng thứ tự c-g-c, chỉ việc viết ra kết luận. Bài dưới đây chỉ cho MỘT tam giác — không có tam giác thứ hai nào để so sánh, nên trường hợp bằng nhau chưa thể áp dụng ngay.
2
Tự tạo ra tam giác thứ hai bằng một đường phụ: kéo dài trung tuyến $AM$ thêm một đoạn bằng chính nó, tới điểm $D$ sao cho $M$ là trung điểm của cả $BC$ lẫn $AD$ . Khi đó hai tam giác $ABM$ và $DCM$ xuất hiện, đủ điều kiện để áp dụng c-g-c.
Tự tạo ra tam giác thứ hai bằng một đường phụ: kéo dài trung tuyến $AM$ thêm một đoạn bằng chính nó, tới điểm $D$ sao cho $M$ là trung điểm của cả $BC$ lẫn $AD$. Khi đó hai tam giác $ABM$ và $DCM$ xuất hiện, đủ điều kiện để áp dụng c-g-c.
3
$M$ đã là trung điểm $BC$ — dựng thêm để $M$ cũng là trung điểm $AD$ tận dụng đúng điểm có sẵn, không thêm điểm mới ngẫu nhiên. Góc $\widehat{AMB}$ và $\widehat{DMC}$ tự động bằng nhau vì đối đỉnh — đây là dấu hiệu quen thuộc để nhận ra c-g-c có thể dùng được ngay khi vừa dựng xong.
$M$ đã là trung điểm $BC$ — dựng thêm để $M$ cũng là trung điểm $AD$ tận dụng đúng điểm có sẵn, không thêm điểm mới ngẫu nhiên. Góc $\widehat{AMB}$ và $\widehat{DMC}$ tự động bằng nhau vì đối đỉnh — đây là dấu hiệu quen thuộc để nhận ra c-g-c có thể dùng được ngay khi vừa dựng xong.
4
GT: Tam giác $ABC$ , $M$ là trung điểm $BC$ . Trên tia đối của tia $MA$ , lấy $D$ sao cho $MD=MA$ . KL: $AB\parallel CD$ . Chứng minh: Xét $\triangle ABM$ và $\triangle DCM$ có: $MB=MC$ (M là trung điểm BC); $MA=MD$ (cách dựng); $\widehat{AMB}=\widehat{DMC}$ (hai góc đối đỉnh). Do đó $\triangle ABM=\triangle DCM$ (c.g.c). Suy ra $\widehat{ABM}=\widehat{DCM}$ (hai góc tương ứng). Mà $\widehat{ABM}$ và $\widehat{DCM}$ là hai góc so le trong tạo bởi cát tuyến $BC$ với hai đường thẳng $AB$ và $CD$ . Vậy $AB\parallel CD$ (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).
GT: Tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $BC$. Trên tia đối của tia $MA$, lấy $D$ sao cho $MD=MA$. KL: $AB\parallel CD$. Chứng minh: Xét $\triangle ABM$ và $\triangle DCM$ có: $MB=MC$ (M là trung điểm BC); $MA=MD$ (cách dựng); $\widehat{AMB}=\widehat{DMC}$ (hai góc đối đỉnh). Do đó $\triangle ABM=\triangle DCM$ (c.g.c). Suy ra $\widehat{ABM}=\widehat{DCM}$ (hai góc tương ứng). Mà $\widehat{ABM}$ và $\widehat{DCM}$ là hai góc so le trong tạo bởi cát tuyến $BC$ với hai đường thẳng $AB$ và $CD$. Vậy $AB\parallel CD$ (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).
5
Khi đề chỉ cho một tam giác và một trung điểm, kéo dài đoạn qua trung điểm thêm một đoạn bằng chính nó luôn tạo ra một cặp tam giác bằng nhau theo c-g-c nhờ góc đối đỉnh có sẵn — đây là đường phụ "miễn phí" nhất trong hình học lớp 7.
6
Nếu đổi giả thiết thành tam giác $ABC$ cân tại $A$ ( $AB=AC$ ), cách dựng $D$ y hệt còn cho thêm $CD=AB=AC$ , tức tam giác $ACD$ cũng cân — một hệ quả không có trong bài gốc.
Nếu đổi giả thiết thành tam giác $ABC$ cân tại $A$ ($AB=AC$), cách dựng $D$ y hệt còn cho thêm $CD=AB=AC$, tức tam giác $ACD$ cũng cân — một hệ quả không có trong bài gốc.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Lỗi thường gặp

Nhiều bạn thấy đề HSG "trông quen" (vẫn giá trị tuyệt đối, vẫn tam giác) nên áp dụng thẳng công thức của bài chuẩn — thay một giá trị $x$ vào rồi kết luận GTNN, hoặc tìm cách ghép hai tam giác có sẵn mà không dựng thêm gì. Cả hai đều sai vì bài HSG không cho đủ dữ kiện để làm trực tiếp — nó đòi một bước suy luận hoặc dựng hình mà bài chuẩn không có.

Nhiều bạn thấy đề HSG \"trông quen\" (vẫn giá trị tuyệt đối, vẫn tam giác) nên áp dụng thẳng công thức của bài chuẩn — thay một giá trị $x$ vào rồi kết luận GTNN, hoặc tìm cách ghép hai tam giác có sẵn mà không dựng thêm gì. Cả hai đều sai vì bài HSG không cho đủ dữ kiện để làm trực tiếp — nó đòi một bước suy luận hoặc dựng hình mà bài chuẩn không có.

Kiểm tra nhanh

Tóm tắt

Bài HSG không khó vì số liệu lớn — nó khó vì không tự cho sẵn cấu trúc để áp dụng công thức ngay. Với đại số: câu hỏi đổi từ "tính một giá trị" sang "tìm giới hạn trên một khoảng". Với hình học: đề không cho đủ tam giác để so sánh, buộc phải tự dựng thêm. Nhận ra đúng chỗ khó là bước đầu tiên trước khi giải bất kỳ bài HSG nào.

Bài HSG không khó vì số liệu lớn — nó khó vì không tự cho sẵn cấu trúc để áp dụng công thức ngay. Với đại số: câu hỏi đổi từ \"tính một giá trị\" sang \"tìm giới hạn trên một khoảng\". Với hình học: đề không cho đủ tam giác để so sánh, buộc phải tự dựng thêm. Nhận ra đúng chỗ khó là bước đầu tiên trước khi giải bất kỳ bài HSG nào.

Bài tiếp theo học cách viết một chứng minh hình học đúng chuẩn — vì nhận ra ý tưởng mới chỉ là một nửa, nửa còn lại là trình bày sao cho đúng thứ tự và đủ căn cứ để được chấm điểm tối đa.