Bài học

Thêm bớt hạng tử và đặt biến phụ

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phân tích được một đa thức bậc bốn thành nhân tử khi bảy hằng đẳng thức đáng nhớ và cách nhóm hạng tử quen thuộc không áp dụng trực tiếp được — bằng cách thêm và bớt cùng một hạng tử để lộ ra hiệu hai bình phương, hoặc đặt một biến phụ cho một biểu thức lặp lại để đưa đa thức bậc bốn về một tam thức bậc hai dễ phân tích hơn.

Sau bài này, em phân tích được một đa thức bậc bốn thành nhân tử khi bảy hằng đẳng thức đáng nhớ và cách nhóm hạng tử quen thuộc không áp dụng trực tiếp được — bằng cách **thêm và bớt cùng một hạng tử** để lộ ra hiệu hai bình phương, hoặc **đặt một biến phụ** cho một biểu thức lặp lại để đưa đa thức bậc bốn về một tam thức bậc hai dễ phân tích hơn.

Cần nhớ trước

Em cần nhớ lại: bảy hằng đẳng thức đáng nhớ (đặc biệt $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ ), đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử, và cách giải phương trình bậc hai bằng phân tích nhân tử.

Em cần nhớ lại: bảy hằng đẳng thức đáng nhớ (đặc biệt $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$), đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử, và cách giải phương trình bậc hai bằng phân tích nhân tử.

So với mức chuẩn: đề chuẩn Lớp 8 chỉ cho những đa thức vừa khít với một hằng đẳng thức có sẵn, ví dụ $x^2-6x+9=(x-3)^2$ hoặc $4x^2-9=(2x-3)(2x+3)$ — nhìn là nhận ra ngay. Đề HSG cho những đa thức gần giống một hằng đẳng thức nhưng thiếu hoặc thừa một số hạng, ví dụ $x^4+4$ : không có số hạng bậc hai ở giữa để khớp với $(x^2+2)^2=x^4+4x^2+4$ . Học sinh phải tự tạo ra số hạng còn thiếu.

**So với mức chuẩn:** đề chuẩn Lớp 8 chỉ cho những đa thức vừa khít với một hằng đẳng thức có sẵn, ví dụ $x^2-6x+9=(x-3)^2$ hoặc $4x^2-9=(2x-3)(2x+3)$ — nhìn là nhận ra ngay. Đề HSG cho những đa thức **gần giống** một hằng đẳng thức nhưng thiếu hoặc thừa một số hạng, ví dụ $x^4+4$: không có số hạng bậc hai ở giữa để khớp với $(x^2+2)^2=x^4+4x^2+4$. Học sinh phải tự tạo ra số hạng còn thiếu.

Bài toán mở đầu — vì sao bảy hằng đẳng thức không đủ

Thử phân tích $x^4+4$ thành nhân tử. Không có nhân tử chung, không nhóm được thành hai cặp có nhân tử chung, và cũng không khớp với hằng đẳng thức nào trong bảy hằng đẳng thức đã học — vì thiếu số hạng bậc hai $4x^2$ để thành $(x^2+2)^2$ . Đa thức này không "bó tay", nó chỉ cần một hạng tử được thêm vào một cách khéo léo.

Thử phân tích $x^4+4$ thành nhân tử. Không có nhân tử chung, không nhóm được thành hai cặp có nhân tử chung, và cũng không khớp với hằng đẳng thức nào trong bảy hằng đẳng thức đã học — vì thiếu số hạng bậc hai $4x^2$ để thành $(x^2+2)^2$. Đa thức này không \"bó tay\", nó chỉ cần một hạng tử được thêm vào một cách khéo léo.

Ý tưởng cốt lõi — thêm bớt để lộ hiệu hai bình phương

Ta viết $x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2$ . Phép này không đổi giá trị của đa thức, vì cộng rồi trừ cùng $4x^2$ . Nhưng bây giờ ba số hạng đầu là $(x^2+2)^2$ , và cả biểu thức trở thành $(x^2+2)^2-(2x)^2$ — đúng dạng hiệu hai bình phương. Câu hỏi mấu chốt là: thêm bớt số hạng nào? Ta luôn nhắm tới việc biến phần đầu thành một bình phương hoàn chỉnh của tổng hai số hạng có sẵn, rồi kiểm tra phần còn lại có phải một bình phương hay không.

Ta viết $x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2$. Phép này **không đổi giá trị** của đa thức, vì cộng rồi trừ cùng $4x^2$. Nhưng bây giờ ba số hạng đầu là $(x^2+2)^2$, và cả biểu thức trở thành $(x^2+2)^2-(2x)^2$ — đúng dạng hiệu hai bình phương. Câu hỏi mấu chốt là: **thêm bớt số hạng nào?** Ta luôn nhắm tới việc biến phần đầu thành một bình phương hoàn chỉnh của tổng hai số hạng có sẵn, rồi kiểm tra phần còn lại có phải một bình phương hay không.

Ví dụ

Ví dụ 1 — Phân tích

x^4+4y^4

thành nhân tửVí dụ 1 — Phân tích $x^4+4y^4$ thành nhân tử

1
Đề chuẩn chỉ cho đa thức khớp sẵn một hằng đẳng thức, ví dụ $x^4-4y^4=(x^2-2y^2)(x^2+2y^2)$ (hiệu hai bình phương có sẵn). Ở đây là tổng $x^4+4y^4$ — không hằng đẳng thức nào trong bảy hằng đẳng thức áp dụng trực tiếp cho một tổng hai số hạng bậc chẵn như vậy.
Đề chuẩn chỉ cho đa thức khớp sẵn một hằng đẳng thức, ví dụ $x^4-4y^4=(x^2-2y^2)(x^2+2y^2)$ (hiệu hai bình phương có sẵn). Ở đây là **tổng** $x^4+4y^4$ — không hằng đẳng thức nào trong bảy hằng đẳng thức áp dụng trực tiếp cho một tổng hai số hạng bậc chẵn như vậy.
2
Thêm và bớt $4x^2y^2$ : $x^4+4y^4=x^4+4x^2y^2+4y^4-4x^2y^2=(x^2+2y^2)^2-(2xy)^2$ . Ba số hạng đầu vừa khít $(x^2+2y^2)^2$ vì $(x^2)^2+2\cdot x^2\cdot 2y^2+(2y^2)^2=x^4+4x^2y^2+4y^4$ .
Thêm và bớt $4x^2y^2$: $x^4+4y^4=x^4+4x^2y^2+4y^4-4x^2y^2=(x^2+2y^2)^2-(2xy)^2$. Ba số hạng đầu vừa khít $(x^2+2y^2)^2$ vì $(x^2)^2+2\cdot x^2\cdot 2y^2+(2y^2)^2=x^4+4x^2y^2+4y^4$.
3
Muốn có $(x^2+2y^2)^2$ thì số hạng giữa phải là $2\cdot x^2\cdot 2y^2=4x^2y^2$ — đúng bằng số hạng ta vừa thêm vào. Đây không phải may mắn: với dạng $a^4+4b^4$ , số hạng cần thêm luôn là $4a^2b^2$ , cho hằng đẳng thức tổng quát $a^4+4b^4=(a^2+2b^2)^2-(2ab)^2$ — gọi là hằng đẳng thức Sophie Germain.
Muốn có $(x^2+2y^2)^2$ thì số hạng giữa phải là $2\cdot x^2\cdot 2y^2=4x^2y^2$ — đúng bằng số hạng ta vừa thêm vào. Đây không phải may mắn: với dạng $a^4+4b^4$, số hạng cần thêm luôn là $4a^2b^2$, cho hằng đẳng thức tổng quát $a^4+4b^4=(a^2+2b^2)^2-(2ab)^2$ — gọi là **hằng đẳng thức Sophie Germain**.
4
$x^4+4y^4=(x^2+2y^2)^2-(2xy)^2=(x^2+2y^2-2xy)(x^2+2y^2+2xy)$
$$x^4+4y^4=(x^2+2y^2)^2-(2xy)^2=(x^2+2y^2-2xy)(x^2+2y^2+2xy)$$
5
Khai triển ngược: $(x^2+2y^2-2xy)(x^2+2y^2+2xy)=(x^2+2y^2)^2-(2xy)^2=x^4+4x^2y^2+4y^4-4x^2y^2=x^4+4y^4$ — khớp đề bài.
Khai triển ngược: $(x^2+2y^2-2xy)(x^2+2y^2+2xy)=(x^2+2y^2)^2-(2xy)^2=x^4+4x^2y^2+4y^4-4x^2y^2=x^4+4y^4$ — khớp đề bài.
6
Mẫu chung: $a^4+4b^4=(a^2+2b^2-2ab)(a^2+2b^2+2ab)$ — nhận ra dạng này qua hai số hạng bậc bốn cách nhau một hệ số $4$ . Biến thể: $a^4+64=a^4+4\cdot 2^4$ dùng cùng công thức với $b=2$ (xem phần luyện tập).
**Mẫu chung:** $a^4+4b^4=(a^2+2b^2-2ab)(a^2+2b^2+2ab)$ — nhận ra dạng này qua hai số hạng bậc bốn cách nhau một hệ số $4$. Biến thể: $a^4+64=a^4+4\cdot 2^4$ dùng cùng công thức với $b=2$ (xem phần luyện tập).
7
Ta có $x^4+4y^4=x^4+4x^2y^2+4y^4-4x^2y^2=(x^2+2y^2)^2-(2xy)^2.$ Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ với $A=x^2+2y^2$ , $B=2xy$ : $x^4+4y^4=(x^2+2y^2-2xy)(x^2+2y^2+2xy).$ Vậy $x^4+4y^4=(x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2)$ .
Ta có $$x^4+4y^4=x^4+4x^2y^2+4y^4-4x^2y^2=(x^2+2y^2)^2-(2xy)^2.$$ Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ với $A=x^2+2y^2$, $B=2xy$: $$x^4+4y^4=(x^2+2y^2-2xy)(x^2+2y^2+2xy).$$ Vậy $x^4+4y^4=(x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2)$.

Không phải lúc nào cũng thêm bớt để tạo hiệu hai bình phương từ một tổng bậc bốn hai biến. Đôi khi đề chỉ có một biến, và số hạng cần thêm bớt là một lũy thừa của chính biến đó.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Phân tích

x^4+x^2+1

thành nhân tửVí dụ 2 — Phân tích $x^4+x^2+1$ thành nhân tử

1
$x^4+x^2+1$ không có nhân tử chung, không phải hiệu hai bình phương (toàn dấu cộng), và không khớp $(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1$ vì thừa một $x^2$ ở giữa so với đề bài — thiếu đúng $x^2$ .
$x^4+x^2+1$ không có nhân tử chung, không phải hiệu hai bình phương (toàn dấu cộng), và không khớp $(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1$ vì thừa một $x^2$ ở giữa so với đề bài — thiếu đúng $x^2$.
2
Thêm và bớt $x^2$ để biến $x^2$ (hệ số $1$ ) thành $2x^2$ (hệ số cần cho hằng đẳng thức): $x^4+x^2+1=x^4+2x^2+1-x^2=(x^2+1)^2-x^2$ .
Thêm và bớt $x^2$ để biến $x^2$ (hệ số $1$) thành $2x^2$ (hệ số cần cho hằng đẳng thức): $x^4+x^2+1=x^4+2x^2+1-x^2=(x^2+1)^2-x^2$.
3
$(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1$ cần hệ số $2$ trước $x^2$ , mà đề chỉ có hệ số $1$ — vậy ta thêm đúng phần chênh lệch $x^2$ rồi trừ lại để không đổi giá trị. Đây là bước "cân bằng hệ số" — luôn thêm phần thiếu, bớt đúng phần đó.
$(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1$ cần hệ số $2$ trước $x^2$, mà đề chỉ có hệ số $1$ — vậy ta thêm đúng phần chênh lệch $x^2$ rồi trừ lại để không đổi giá trị. Đây là bước \"cân bằng hệ số\" — luôn thêm phần thiếu, bớt đúng phần đó.
4
$x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+1-x)(x^2+1+x)$
$$x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+1-x)(x^2+1+x)$$
5
$x^4+x^2+1=(x^2-x+1)(x^2+x+1)$ . Thay $x=1$ kiểm tra: vế trái $=3$ , vế phải $=(1)(3)=3$ — khớp.
$x^4+x^2+1=(x^2-x+1)(x^2+x+1)$. Thay $x=1$ kiểm tra: vế trái $=3$, vế phải $=(1)(3)=3$ — khớp.
6
Mẫu chung: $a^4+a^2b^2+b^4=(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)$ (ở đây $b=1$ ). Nhận ra dạng này khi hệ số của số hạng giữa nhỏ hơn hệ số cần cho bình phương của tổng — khác hẳn Ví dụ 1, nơi ta thêm để tạo bình phương của một hiệu hai số hạng bậc bốn.
**Mẫu chung:** $a^4+a^2b^2+b^4=(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)$ (ở đây $b=1$). Nhận ra dạng này khi hệ số của số hạng giữa **nhỏ hơn** hệ số cần cho bình phương của tổng — khác hẳn Ví dụ 1, nơi ta thêm để tạo bình phương của một **hiệu** hai số hạng bậc bốn.
7
Ta có $x^4+x^2+1=x^4+2x^2+1-x^2=(x^2+1)^2-x^2.$ Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương với $A=x^2+1$ , $B=x$ : $x^4+x^2+1=(x^2+1-x)(x^2+1+x)=(x^2-x+1)(x^2+x+1).$ Vậy $x^4+x^2+1=(x^2-x+1)(x^2+x+1)$ .
Ta có $$x^4+x^2+1=x^4+2x^2+1-x^2=(x^2+1)^2-x^2.$$ Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương với $A=x^2+1$, $B=x$: $$x^4+x^2+1=(x^2+1-x)(x^2+1+x)=(x^2-x+1)(x^2+x+1).$$ Vậy $x^4+x^2+1=(x^2-x+1)(x^2+x+1)$.

Đặt biến phụ khi một biểu thức lặp lại

Kỹ thuật thứ hai của bài này không thêm bớt, mà đặt tên cho một cụm biểu thức xuất hiện nhiều lần. Khi đa thức bậc bốn thực chất là một tam thức bậc hai của cụm đó, đặt biến phụ $t$ biến bài toán bậc bốn thành bài toán bậc hai quen thuộc — rồi mới thay lại và phân tích tiếp phần còn lại theo $x$ .

Kỹ thuật thứ hai của bài này không thêm bớt, mà **đặt tên** cho một cụm biểu thức xuất hiện nhiều lần. Khi đa thức bậc bốn thực chất là một tam thức bậc hai của cụm đó, đặt biến phụ $t$ biến bài toán bậc bốn thành bài toán bậc hai quen thuộc — rồi mới thay lại và phân tích tiếp phần còn lại theo $x$.

Ví dụ

Ví dụ 3 — Phân tích

(x^2+x)^2-8(x^2+x)+12

thành nhân tửVí dụ 3 — Phân tích $(x^2+x)^2-8(x^2+x)+12$ thành nhân tử

1
Đề chuẩn chỉ cho tam thức bậc hai của chính $x$ , ví dụ $x^2-8x+12=(x-2)(x-6)$ . Ở đây cụm $x^2+x$ lặp lại hai lần trong một biểu thức bậc bốn — khai triển trực tiếp ra một đa thức bậc bốn rồi mới tìm nghiệm sẽ rất cồng kềnh.
Đề chuẩn chỉ cho tam thức bậc hai của chính $x$, ví dụ $x^2-8x+12=(x-2)(x-6)$. Ở đây cụm $x^2+x$ lặp lại hai lần trong một biểu thức bậc bốn — khai triển trực tiếp ra một đa thức bậc bốn rồi mới tìm nghiệm sẽ rất cồng kềnh.
2
Đặt $t=x^2+x$ . Biểu thức trở thành $t^2-8t+12$ — một tam thức bậc hai quen thuộc của $t$ .
Đặt $t=x^2+x$. Biểu thức trở thành $t^2-8t+12$ — một tam thức bậc hai quen thuộc của $t$.
3
$t^2-8t+12=(t-2)(t-6)$ (nhẩm nghiệm: tổng $2+6=8$ , tích $2\times 6=12$ , đúng dấu của $t^2-8t+12$ ).
$t^2-8t+12=(t-2)(t-6)$ (nhẩm nghiệm: tổng $2+6=8$, tích $2\times 6=12$, đúng dấu của $t^2-8t+12$).
4
Thay $t=x^2+x$ : $(x^2+x-2)(x^2+x-6)$ . Nhưng chưa dừng — mỗi nhân tử còn phân tích được tiếp: $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$ (nhẩm nghiệm $1,-2$ : tổng $-1$ , tích $-2$ ) và $x^2+x-6=(x-2)(x+3)$ (nhẩm nghiệm $2,-3$ : tổng $-1$ , tích $-6$ ).
Thay $t=x^2+x$: $(x^2+x-2)(x^2+x-6)$. Nhưng chưa dừng — mỗi nhân tử còn phân tích được tiếp: $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$ (nhẩm nghiệm $1,-2$: tổng $-1$, tích $-2$) và $x^2+x-6=(x-2)(x+3)$ (nhẩm nghiệm $2,-3$: tổng $-1$, tích $-6$).
5
$(x^2+x)^2-8(x^2+x)+12=(x-1)(x+2)(x-2)(x+3)$ .
$(x^2+x)^2-8(x^2+x)+12=(x-1)(x+2)(x-2)(x+3)$.
6
Quy trình: nhận ra cụm lặp lại $\to$ đặt $t$ $\to$ phân tích tam thức bậc hai của $t$ $\to$ thay lại $\to$ kiểm tra xem mỗi nhân tử theo $x$ còn phân tích được tiếp hay không — bước cuối này hay bị bỏ sót, và là lỗi phổ biến nhất của kỹ thuật đặt biến phụ.
**Quy trình:** nhận ra cụm lặp lại $\to$ đặt $t$ $\to$ phân tích tam thức bậc hai của $t$ $\to$ thay lại $\to$ **kiểm tra xem mỗi nhân tử theo $x$ còn phân tích được tiếp hay không** — bước cuối này hay bị bỏ sót, và là lỗi phổ biến nhất của kỹ thuật đặt biến phụ.
7
Đặt $t=x^2+x$ . Ta có $(x^2+x)^2-8(x^2+x)+12=t^2-8t+12=(t-2)(t-6).\quad(1)$ Thay lại $t=x^2+x$ vào $(1)$ : $t^2-8t+12=(x^2+x-2)(x^2+x-6).\quad(2)$ Xét từng nhân tử: $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$ và $x^2+x-6=(x-2)(x+3)$ (nhẩm nghiệm theo tổng và tích). Kết hợp với $(2)$ : $(x^2+x)^2-8(x^2+x)+12=(x-1)(x+2)(x-2)(x+3).$ Vậy đa thức đã cho phân tích thành nhân tử là $(x-1)(x+2)(x-2)(x+3)$ .
Đặt $t=x^2+x$. Ta có $$(x^2+x)^2-8(x^2+x)+12=t^2-8t+12=(t-2)(t-6).\quad(1)$$ Thay lại $t=x^2+x$ vào $(1)$: $$t^2-8t+12=(x^2+x-2)(x^2+x-6).\quad(2)$$ Xét từng nhân tử: $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$ và $x^2+x-6=(x-2)(x+3)$ (nhẩm nghiệm theo tổng và tích). Kết hợp với $(2)$: $$(x^2+x)^2-8(x^2+x)+12=(x-1)(x+2)(x-2)(x+3).$$ Vậy đa thức đã cho phân tích thành nhân tử là $(x-1)(x+2)(x-2)(x+3)$.

Bẫy thường gặp

Ba lỗi hay gặp: quên rằng thêm và bớt phải cùng một hạng tử — nếu chỉ thêm mà không bớt (hoặc ngược lại), giá trị của đa thức đã bị thay đổi; nhầm dấu khi khai triển $(A-B)(A+B)$ thành $A^2-B^2$ ; và sau khi đặt biến phụ, quên kiểm tra từng nhân tử theo $x$ còn phân tích được tiếp hay không — một nhân tử như $x^2+x-2$ trông có vẻ đã "xong" nhưng vẫn còn phân tích được.

Ba lỗi hay gặp: quên rằng thêm và bớt phải cùng một hạng tử — nếu chỉ thêm mà không bớt (hoặc ngược lại), giá trị của đa thức đã bị thay đổi; nhầm dấu khi khai triển $(A-B)(A+B)$ thành $A^2-B^2$; và sau khi đặt biến phụ, quên kiểm tra từng nhân tử theo $x$ còn phân tích được tiếp hay không — một nhân tử như $x^2+x-2$ trông có vẻ đã \"xong\" nhưng vẫn còn phân tích được.

Quy trình này áp dụng cho cả Ví dụ 1 và Ví dụ 2 ở trên — chỉ khác nhau ở hạng tử cần thêm bớt.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Tóm tắt

Thêm bớt hạng tử biến một đa thức gần-khớp-hằng-đẳng-thức thành hiệu hai bình phương thật sự, bằng cách cộng rồi trừ đúng số hạng còn thiếu — hai dạng hay gặp là $a^4+4b^4$ (Sophie Germain) và $a^4+a^2b^2+b^4$ . Đặt biến phụ biến một đa thức bậc bốn chứa cụm lặp lại thành tam thức bậc hai của cụm đó, dễ phân tích hơn nhiều — nhưng luôn phải quay lại kiểm tra từng nhân tử theo biến gốc còn phân tích tiếp được không.

**Thêm bớt hạng tử** biến một đa thức gần-khớp-hằng-đẳng-thức thành hiệu hai bình phương thật sự, bằng cách cộng rồi trừ đúng số hạng còn thiếu — hai dạng hay gặp là $a^4+4b^4$ (Sophie Germain) và $a^4+a^2b^2+b^4$. **Đặt biến phụ** biến một đa thức bậc bốn chứa cụm lặp lại thành tam thức bậc hai của cụm đó, dễ phân tích hơn nhiều — nhưng luôn phải quay lại kiểm tra từng nhân tử theo biến gốc còn phân tích tiếp được không.

Cả hai kỹ thuật hôm nay đều làm việc với đa thức một biến (hoặc hai biến đối xứng đơn giản). Bài sau mở rộng sang đa thức bậc cao có thật sự nhiều biến, nơi việc nhóm hạng tử và nhận diện tính đối xứng thay thế vai trò của thêm bớt hạng tử.