Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Tổng góc, góc ngoài và suy luận từ tia phân giác
Mục tiêu bài học
Sau bài này em dùng được **tổng bốn góc trong tứ giác bằng $360^\circ$** không chỉ để tính một góc còn thiếu, mà để dựng một lập luận nhiều bước: chứng minh góc tạo bởi hai tia phân giác trong tại hai đỉnh kề một cạnh của tứ giác bằng $90^\circ$ khi và chỉ khi hai góc đó bù nhau. Đây là bài toán "góc" đầu tiên của khoá — không có số đo cụ thể, chỉ có suy luận thuần góc.
Kiến thức cần có trước
Em cần vững ba điều: tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^\circ$, tổng bốn góc trong một tứ giác bằng $360^\circ$ (suy ra từ tổng hai tam giác khi kẻ một đường chéo), và khái niệm tia phân giác của một góc chia góc đó thành hai góc bằng nhau.
Bài chuẩn so với bài HSG
Đề chuẩn thường dừng ở mức: cho ba góc của tứ giác, tính góc còn lại bằng phép trừ $360^\circ$. Bài HSG hôm nay không cho sẵn số đo nào — nó cho một MỐI QUAN HỆ giữa hai góc kề nhau (tổng bằng $180^\circ$) và bắt em chứng minh một hệ quả về giao điểm hai tia phân giác, đúng cho mọi tứ giác thoả điều kiện đó, không phải một trường hợp số cụ thể.
Khởi động
Tứ giác $ABCD$ có $\widehat A = 80^\circ$, $\widehat B = 95^\circ$, $\widehat C = 110^\circ$. Tính $\widehat D$. Em làm ngay: $\widehat D = 360^\circ - 80^\circ - 95^\circ - 110^\circ = 75^\circ$. Phép trừ này chính là công cụ nền — bài học hôm nay dùng lại đúng công thức đó, nhưng đặt nó vào một cấu hình mới: giao điểm của hai tia phân giác.
Bài toán mở đầu
**Bài toán.** Cho tứ giác lồi $ABCD$. Tia phân giác trong của góc $A$ và tia phân giác trong của góc $B$ cắt nhau tại $E$. Chứng minh: $\widehat{AEB} = 90^\circ$ khi và chỉ khi $\widehat A + \widehat B = 180^\circ$.
Không có số đo, không có tam giác vuông cho sẵn — chỉ có hai tia phân giác và một điều kiện tổng góc. Nhìn thoáng qua, nhiều em sẽ nghĩ phải biết chính xác $\widehat A$ và $\widehat B$ bằng bao nhiêu mới tính được $\widehat{AEB}$. Thật ra không cần — chìa khoá nằm ở tam giác $ABE$.
Ý tưởng mấu chốt
Xét tam giác $ABE$: hai góc tại đáy là $\widehat{EAB} = \dfrac{\widehat A}{2}$ và $\widehat{EBA} = \dfrac{\widehat B}{2}$ (vì $AE$, $BE$ là hai tia phân giác). Theo tổng ba góc trong tam giác, $\widehat{AEB} = 180^\circ - \dfrac{\widehat A}{2} - \dfrac{\widehat B}{2}$. Công thức này không cần biết $\widehat A$, $\widehat B$ là bao nhiêu — chỉ cần biết TỔNG của chúng. Đó là lý do bài toán "không cho số" vẫn giải được trọn vẹn.
Vì sao ý tưởng này tự nhiên? Vì đại lượng cần tìm ($\widehat{AEB}$) và đại lượng đề cho ($\widehat A + \widehat B$) đều nằm gọn trong MỘT tam giác duy nhất — tam giác $ABE$ — nên không cần dựng thêm đường phụ nào cả. Việc của em chỉ là viết đúng công thức góc trong tam giác đó theo nửa góc $A$, nửa góc $B$, rồi thay điều kiện đề bài vào.
Lời giải có hình
Tia phân giác góc A, góc B cắt nhau tại E khi A + B = 180°
Bước 1
Cho tứ giác lồi $ABCD$ với $\widehat A + \widehat B = 180^\circ$.
Toạ độ thật dùng để kiểm chứng $\widehat A + \widehat B = 180^\circ \Rightarrow \widehat{AEB} = 90^\circ$.
Ví dụ
Ví dụ 1 — Áp dụng ngược: biết AEB, tìm góc C + góc D
1
Tứ giác $ABCD$ có hai tia phân giác trong của góc $A$, góc $B$ cắt nhau tại $E$ với $\widehat{AEB} = 90^\circ$. Tính $\widehat C + \widehat D$.
2
Từ bổ đề vừa chứng minh, $\widehat{AEB} = 90^\circ \Rightarrow \widehat A + \widehat B = 180^\circ$ (đảo lại đúng, vì công thức $\widehat{AEB} = 180^\circ - \frac{\widehat A + \widehat B}{2}$ là một phép biến đổi một-một).
3
Vì $\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ$ và $\widehat A + \widehat B = 180^\circ$, suy ra $\widehat C + \widehat D = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$.
4
Bài toán không hỏi từng góc $C$, $D$ riêng lẻ — và thật ra không thể tính riêng từng góc đó nếu chỉ biết $\widehat{AEB}$. Bài HSG thường hỏi đúng đại lượng CÓ THỂ xác định được (ở đây là tổng $\widehat C + \widehat D$), không hỏi đại lượng còn thiếu dữ kiện.
5
Ta có $\widehat{AEB} = 180^\circ - \dfrac{\widehat A + \widehat B}{2}$ (tổng ba góc tam giác $ABE$, với $AE$, $BE$ là hai tia phân giác). (1)
Thay $\widehat{AEB} = 90^\circ$ vào (1): $90^\circ = 180^\circ - \dfrac{\widehat A + \widehat B}{2}$, suy ra $\widehat A + \widehat B = 180^\circ$. (2)
Mặt khác, tứ giác $ABCD$ có $\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ$. (3)
Từ (2) và (3): $\widehat C + \widehat D = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$.
Vậy $\widehat C + \widehat D = 180^\circ$.
Ví dụ
Ví dụ 2 — Biến thể: đổi cặp đỉnh, kiểm tra phản xạ
1
Một học sinh chỉ nhớ "$\widehat A + \widehat B = 180^\circ$" theo đúng thứ tự chữ cái sẽ lúng túng khi đề đổi sang cặp đỉnh khác — bài này luyện lại đúng lập luận cho cặp $\widehat B, \widehat C$.
2
Tứ giác $ABCD$, tia phân giác trong góc $B$ và góc $C$ cắt nhau tại $F$. Biết $\widehat{BFC} = 100^\circ$. Tính $\widehat B + \widehat C$ và $\widehat A + \widehat D$.
3
Xét tam giác $BFC$: $\widehat{FBC} + \widehat{FCB} + \widehat{BFC} = 180^\circ$, tức $\dfrac{\widehat B}{2} + \dfrac{\widehat C}{2} + 100^\circ = 180^\circ$, suy ra $\widehat B + \widehat C = 160^\circ$.
4
$\widehat A + \widehat D = 360^\circ - (\widehat B + \widehat C) = 360^\circ - 160^\circ = 200^\circ$.
5
Xét tam giác $BFC$ với $BF$, $CF$ là hai tia phân giác trong của góc $B$, góc $C$: $\widehat{FBC} + \widehat{FCB} + \widehat{BFC} = 180^\circ$, tức $\dfrac{\widehat B + \widehat C}{2} = 180^\circ - \widehat{BFC} = 80^\circ$, suy ra $\widehat B + \widehat C = 160^\circ$. (1)
Ta có $\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ$. (2)
Từ (1) và (2): $\widehat A + \widehat D = 360^\circ - 160^\circ = 200^\circ$.
Vậy $\widehat B + \widehat C = 160^\circ$ và $\widehat A + \widehat D = 200^\circ$.
Sai lầm phổ biến
(1) Nhầm tia phân giác TRONG với tia phân giác NGOÀI — chỉ tia phân giác trong mới cho công thức $\widehat{AEB} = 180^\circ - \frac{\widehat A + \widehat B}{2}$ ở trên; (2) tưởng $\widehat{AEB} = 90^\circ$ là tính chất LUÔN đúng của mọi tứ giác — nó chỉ đúng khi $\widehat A + \widehat B = 180^\circ$, một điều kiện phải kiểm tra hoặc được đề cho, không mặc định có sẵn.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Thử thách
Tổng kết
Khi đề bài cho một mối quan hệ giữa TỔNG hai góc của tứ giác, hãy tìm tam giác nào chứa cả hai nửa góc đó — thường là tam giác tạo bởi hai tia phân giác. Công thức góc trong tam giác đó luôn đưa tổng góc đề cho về đúng đại lượng cần tính, không cần biết từng góc riêng lẻ.
Bài tiếp theo vẫn xoay quanh giao điểm hai đường thẳng trong tứ giác, nhưng đổi đối tượng: thay vì hai tia phân giác, ta xét hai ĐƯỜNG CHÉO cắt nhau, và thay vì tổng góc ta dùng tam giác cân để suy ra hai cạnh đối song song — một kỹ năng nhận diện hình thang hoàn toàn khác với dấu hiệu học ở lớp dưới.
Sau bài này em dùng được tổng bốn góc trong tứ giác bằng 360∘ không chỉ để tính một góc còn thiếu, mà để dựng một lập luận nhiều bước: chứng minh góc tạo bởi hai tia phân giác trong tại hai đỉnh kề một cạnh của tứ giác bằng 90∘ khi và chỉ khi hai góc đó bù nhau. Đây là bài toán "góc" đầu tiên của khoá — không có số đo cụ thể, chỉ có suy luận thuần góc.
Em cần vững ba điều: tổng ba góc trong một tam giác bằng 180∘, tổng bốn góc trong một tứ giác bằng 360∘ (suy ra từ tổng hai tam giác khi kẻ một đường chéo), và khái niệm tia phân giác của một góc chia góc đó thành hai góc bằng nhau.
Đề chuẩn thường dừng ở mức: cho ba góc của tứ giác, tính góc còn lại bằng phép trừ 360∘. Bài HSG hôm nay không cho sẵn số đo nào — nó cho một MỐI QUAN HỆ giữa hai góc kề nhau (tổng bằng 180∘) và bắt em chứng minh một hệ quả về giao điểm hai tia phân giác, đúng cho mọi tứ giác thoả điều kiện đó, không phải một trường hợp số cụ thể.
Tứ giác ABCD có A=80∘, B=95∘, C=110∘. Tính D. Em làm ngay: D=360∘−80∘−95∘−110∘=75∘. Phép trừ này chính là công cụ nền — bài học hôm nay dùng lại đúng công thức đó, nhưng đặt nó vào một cấu hình mới: giao điểm của hai tia phân giác.
Bài toán. Cho tứ giác lồi ABCD. Tia phân giác trong của góc A và tia phân giác trong của góc B cắt nhau tại E. Chứng minh: AEB=90∘ khi và chỉ khi A+B=180∘.
Không có số đo, không có tam giác vuông cho sẵn — chỉ có hai tia phân giác và một điều kiện tổng góc. Nhìn thoáng qua, nhiều em sẽ nghĩ phải biết chính xác A và B bằng bao nhiêu mới tính được AEB. Thật ra không cần — chìa khoá nằm ở tam giác ABE.
Xét tam giác ABE: hai góc tại đáy là EAB=2A và EBA=2B (vì AE, BE là hai tia phân giác). Theo tổng ba góc trong tam giác, AEB=180∘−2A−2B. Công thức này không cần biết A, B là bao nhiêu — chỉ cần biết TỔNG của chúng. Đó là lý do bài toán "không cho số" vẫn giải được trọn vẹn.
Vì sao ý tưởng này tự nhiên? Vì đại lượng cần tìm (AEB) và đại lượng đề cho (A+B) đều nằm gọn trong MỘT tam giác duy nhất — tam giác ABE — nên không cần dựng thêm đường phụ nào cả. Việc của em chỉ là viết đúng công thức góc trong tam giác đó theo nửa góc A, nửa góc B, rồi thay điều kiện đề bài vào.
Cho tứ giác lồi ABCD với A+B=180∘.
Toạ độ thật dùng để kiểm chứng A+B=180∘⇒AEB=90∘.
Tứ giác ABCD có hai tia phân giác trong của góc A, góc B cắt nhau tại E với AEB=90∘. Tính C+D.
Từ bổ đề vừa chứng minh, AEB=90∘⇒A+B=180∘ (đảo lại đúng, vì công thức AEB=180∘−2A+B là một phép biến đổi một-một).
Vì A+B+C+D=360∘ và A+B=180∘, suy ra C+D=360∘−180∘=180∘.
Bài toán không hỏi từng góc C, D riêng lẻ — và thật ra không thể tính riêng từng góc đó nếu chỉ biết AEB. Bài HSG thường hỏi đúng đại lượng CÓ THỂ xác định được (ở đây là tổng C+D), không hỏi đại lượng còn thiếu dữ kiện.
Ta có AEB=180∘−2A+B (tổng ba góc tam giác ABE, với AE, BE là hai tia phân giác). (1)
Thay AEB=90∘ vào (1): 90∘=180∘−2A+B, suy ra A+B=180∘. (2)
Mặt khác, tứ giác ABCD có A+B+C+D=360∘. (3)
Từ (2) và (3): C+D=360∘−180∘=180∘.
Vậy C+D=180∘.
Một học sinh chỉ nhớ "A+B=180∘" theo đúng thứ tự chữ cái sẽ lúng túng khi đề đổi sang cặp đỉnh khác — bài này luyện lại đúng lập luận cho cặp B,C.
Tứ giác ABCD, tia phân giác trong góc B và góc C cắt nhau tại F. Biết BFC=100∘. Tính B+C và A+D.
Xét tam giác BFC: FBC+FCB+BFC=180∘, tức 2B+2C+100∘=180∘, suy ra B+C=160∘.
A+D=360∘−(B+C)=360∘−160∘=200∘.
Xét tam giác BFC với BF, CF là hai tia phân giác trong của góc B, góc C: FBC+FCB+BFC=180∘, tức 2B+C=180∘−BFC=80∘, suy ra B+C=160∘. (1)
Ta có A+B+C+D=360∘. (2)
Từ (1) và (2): A+D=360∘−160∘=200∘.
Vậy B+C=160∘ và A+D=200∘.
(1) Nhầm tia phân giác TRONG với tia phân giác NGOÀI — chỉ tia phân giác trong mới cho công thức AEB=180∘−2A+B ở trên; (2) tưởng AEB=90∘ là tính chất LUÔN đúng của mọi tứ giác — nó chỉ đúng khi A+B=180∘, một điều kiện phải kiểm tra hoặc được đề cho, không mặc định có sẵn.