Bài học

Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải được một hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn bằng cách giải riêng từng bất phương trình rồi lấy giao các tập nghiệm, nhận biết được khi nào hệ vô nghiệm, và tìm được nghiệm nguyên của một hệ khi đề bài yêu cầu.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần thành thạo cách giải một bất phương trình bậc nhất một ẩn ở bài trước — bài này không thêm kỹ thuật giải mới, chỉ hỏi điều gì xảy ra khi phải thoả mãn NHIỀU bất phương trình cùng lúc. Em cũng cần nhớ khái niệm giao của hai tập hợp: phần chung, gồm những phần tử thuộc CẢ HAI tập hợp đang xét.

Khởi động

Một khu vui chơi quy định trẻ em phải cao từ 90 cm trở lên NHƯNG dưới 130 cm mới được chơi trò tàu lượn. Bạn Bin cao 95 cm có được chơi không? Bạn Chi cao 135 cm thì sao? Đề bài thực ra đang đặt ra HAI điều kiện cùng lúc — làm sao viết cả hai điều kiện đó bằng ngôn ngữ bất phương trình, và tìm TẤT CẢ chiều cao thoả mãn đồng thời cả hai?

Kiến thức trọng tâm

Một hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn là hai (hay nhiều) bất phương trình cùng chứa một ẩn x, được xét đồng thời. Nghiệm của hệ là giá trị x thoả mãn TẤT CẢ các bất phương trình trong hệ cùng một lúc — nói cách khác, tập nghiệm của hệ chính là GIAO của các tập nghiệm riêng lẻ, chứ không phải hợp của chúng.

Cách giải: giải riêng từng bất phương trình để được từng tập nghiệm, rồi biểu diễn cả hai lên CÙNG một trục số để tìm phần chung. Nếu hai khoảng nghiệm không hề giao nhau — chẳng hạn một khoảng yêu cầu x lớn hơn 5 còn khoảng kia yêu cầu x nhỏ hơn 2 — thì không có số x nào thoả mãn cả hai, và hệ VÔ NGHIỆM.

Một dạng viết gọn hay gặp là bất phương trình kép, kiểu $-2\le3x+1<7$ — đây thực chất là cách viết tắt của hệ hai bất phương trình $-2\le3x+1$ và $3x+1<7$ xét cùng lúc. Cách giải đơn giản nhất là thực hiện MỘT phép biến đổi trên cả ba vế cùng lúc (trừ, cộng, nhân, chia đều với cả ba vế theo đúng quy tắc đã học), thay vì tách thành hai bất phương trình rồi giải riêng.

Một hệ không nhất thiết chỉ có hai bất phương trình — đề bài có thể đưa ra ba, bốn điều kiện cùng lúc trên cùng một ẩn, và cách làm không đổi: giải hết từng bất phương trình, rồi lấy giao của TẤT CẢ các tập nghiệm, không chỉ hai tập đầu tiên. Khi số điều kiện tăng lên, khoảng nghiệm chung thường càng bị thu hẹp lại — mỗi bất phương trình thêm vào chỉ có thể giữ nguyên hoặc cắt bớt khoảng nghiệm đang có, không bao giờ làm nó rộng ra.

Giao của hai tập nghiệm:

x>0,5

và

x\le4

, cho nghiệm chung

0,5<x\le4

.Giao của hai tập nghiệm: $x>0,5$ và $x\le4$, cho nghiệm chung $0,5<x\le4$.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Giải một hệ hai bất phương trình cơ bản

1
Giải hệ bất phương trình $\begin{cases}2x-1>0\\x+3\le7\end{cases}$ .
Giải hệ bất phương trình $\begin{cases}2x-1>0\\x+3\le7\end{cases}$.
2
$2x-1>0 \iff 2x>1 \iff x>0,5$ . (1)
$2x-1>0 \iff 2x>1 \iff x>0,5$. (1)
3
$x+3\le7 \iff x\le4$ . (2)
$x+3\le7 \iff x\le4$. (2)
4
Kết hợp $x>0,5$ và $x\le4$ : nghiệm chung là $0,5<x\le4$ .
Kết hợp $x>0,5$ và $x\le4$: nghiệm chung là $0,5<x\le4$.
5
Tập nghiệm $S=\{x\mid0,5<x\le4\}$ .
Tập nghiệm $S=\{x\mid0,5<x\le4\}$.

Ví dụ

Nhận biết một hệ bất phương trình vô nghiệm

1
Giải hệ bất phương trình $\begin{cases}2x+1>9\\-x+2\ge1\end{cases}$ .
Giải hệ bất phương trình $\begin{cases}2x+1>9\\-x+2\ge1\end{cases}$.
2
$2x+1>9 \iff 2x>8 \iff x>4$ . (1)
$2x+1>9 \iff 2x>8 \iff x>4$. (1)
3
$-x+2\ge1 \iff -x\ge-1$ . Chia hai vế cho $-1$ (âm, đổi chiều): $x\le1$ . (2)
$-x+2\ge1 \iff -x\ge-1$. Chia hai vế cho $-1$ (âm, đổi chiều): $x\le1$. (2)
4
Từ (1), x phải lớn hơn 4; từ (2), x phải không vượt quá 1. Không có số nào vừa lớn hơn 4 vừa nhỏ hơn hoặc bằng 1, vì hai khoảng nghiệm không hề giao nhau.
5
Hệ bất phương trình VÔ NGHIỆM.

Ví dụ

Giải một bất phương trình kép

1
Giải bất phương trình kép $-2\le3x+1<7$ .
Giải bất phương trình kép $-2\le3x+1<7$.
2
$-2-1\le3x<7-1 \iff -3\le3x<6$ .
$-2-1\le3x<7-1 \iff -3\le3x<6$.
3
$-1\le x<2$ .
$-1\le x<2$.
4
Tập nghiệm $S=\{x\mid-1\le x<2\}$ .
Tập nghiệm $S=\{x\mid-1\le x<2\}$.

Ví dụ

Tìm nghiệm nguyên dương của một hệ bất phương trình

1
Tìm tất cả nghiệm nguyên dương của hệ $\begin{cases}x-1\ge0\\2x-9<0\end{cases}$ .
Tìm tất cả nghiệm nguyên dương của hệ $\begin{cases}x-1\ge0\\2x-9<0\end{cases}$.
2
$x-1\ge0 \iff x\ge1$ . (1)
$x-1\ge0 \iff x\ge1$. (1)
3
$2x-9<0 \iff 2x<9 \iff x<4,5$ . (2)
$2x-9<0 \iff 2x<9 \iff x<4,5$. (2)
4
Kết hợp: $1\le x<4,5$ .
Kết hợp: $1\le x<4,5$.
5
Các số nguyên dương thoả $1\le x<4,5$ là $1,2,3,4$ .
Các số nguyên dương thoả $1\le x<4,5$ là $1,2,3,4$.
6
Hệ có 4 nghiệm nguyên dương là 1, 2, 3 và 4.

Bốn ví dụ trên đi từ một hệ cơ bản, đến việc nhận ra khi nào hệ vô nghiệm, đến cách viết gọn một hệ bằng bất phương trình kép, và cuối cùng là đếm nghiệm nguyên — đúng bốn tình huống em sẽ gặp lại nhiều lần trong các bài tập và đề kiểm tra về hệ bất phương trình.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Khi hai khoảng nghiệm không giao nhau, một số bạn vội lấy HỢP thay vì GIAO — nghĩ rằng cứ thoả mãn một trong hai bất phương trình là đủ. Nhưng hệ đòi hỏi thoả mãn ĐỒNG THỜI cả hai, nên phải lấy đúng phần chung. Một lỗi khác: khi hai đầu mút trùng nhau (ví dụ $x\ge3$ và $x\le3$ ), đừng vội kết luận vô nghiệm — nghiệm chung khi đó chỉ còn đúng một điểm x = 3, không phải một khoảng, nhưng vẫn là một nghiệm hợp lệ.

Khi hai khoảng nghiệm không giao nhau, một số bạn vội lấy HỢP thay vì GIAO — nghĩ rằng cứ thoả mãn một trong hai bất phương trình là đủ. Nhưng hệ đòi hỏi thoả mãn ĐỒNG THỜI cả hai, nên phải lấy đúng phần chung. Một lỗi khác: khi hai đầu mút trùng nhau (ví dụ $x\ge3$ và $x\le3$), đừng vội kết luận vô nghiệm — nghiệm chung khi đó chỉ còn đúng một điểm x = 3, không phải một khoảng, nhưng vẫn là một nghiệm hợp lệ.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Nghiệm của hệ bất phương trình là GIAO của các tập nghiệm riêng lẻ. Luôn giải từng bất phương trình trước, rồi vẽ chung lên một trục số để tìm phần chung. Nếu hai khoảng không giao nhau, hệ vô nghiệm; nếu đề hỏi nghiệm nguyên, chỉ chọn các số nguyên nằm trong khoảng giao đó.

Bài sau dùng đúng kỹ năng giải bất phương trình vừa luyện để giải quyết các tình huống thực tế — khi nào chọn ẩn, đặt điều kiện, và đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện thực tế của bài toán.